2025 八年级数学下册正方形的内切圆与外接圆半径课件

一、课程引入：从生活现象到数学本质的联结演讲人01课程引入：从生活现象到数学本质的联结02核心探究：内切圆与外接圆的定义、半径推导与性质对比03应用实践：从公式推导到问题解决的跨越04拓展思考：从正方形到正多边形的一般性05课堂总结：知识脉络与数学思想的凝练目录2025八年级数学下册正方形的内切圆与外接圆半径课件01课程引入：从生活现象到数学本质的联结课程引入：从生活现象到数学本质的联结同学们，上周我在整理教具时，发现办公室的正方形地砖上有一处有趣的设计——瓷砖中心印着一个圆形花纹，刚好贴合瓷砖的四条边；而瓷砖的四个角又各有一个小半圆装饰，四个小半圆的弧恰好经过瓷砖的四个顶点。这让我想到：正方形与圆之间是否存在某种“天然”的联系？今天我们就来探索这种联系的核心——正方形的内切圆与外接圆的半径。大家可以先回忆一下：我们学过的正方形有哪些性质？（四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分）圆的基本要素是什么？（圆心、半径）那么，当圆与正方形“相遇”时，会出现哪两种特殊的位置关系？这就是我们今天的主角——内切圆与外接圆。02核心探究：内切圆与外接圆的定义、半径推导与性质对比1正方形的内切圆：与各边相切的“亲密圆”1.1定义与几何特征内切圆的定义是：与正方形的四条边都相切的圆。要满足“相切”的条件，圆必须同时与四条边有且只有一个公共点。根据正方形的对称性，我们可以推测：这个圆的圆心应该在正方形的中心（即对角线的交点），因为中心到四条边的距离相等，符合圆的“等距性”要求。1正方形的内切圆：与各边相切的“亲密圆”1.2半径的推导为了验证这一推测，我们不妨设正方形的边长为(a)，建立平面直角坐标系（如图1所示，可在黑板上画出正方形ABCD，顶点坐标设为(A(0,0))、(B(a,0))、(C(a,a))、(D(0,a))）。正方形的中心(O)是对角线的交点，坐标为(\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right))。内切圆的圆心是(O)，要与边(AB)（即(y=0)）相切，圆心到这条边的距离必须等于半径(r_{\text{内}})。根据点到直线的距离公式，(O)到(AB)的距离为(\left|\frac{a}{2}-0\right|=\frac{a}{2})，因此(r_{\text{内}}=\frac{a}{2})。同理，圆心到其他三边的距离也都是(\frac{a}{2})，这说明内切圆确实存在且唯一，半径是正方形边长的一半。1正方形的内切圆：与各边相切的“亲密圆”1.3实际案例验证大家可以拿出自己的正方形练习本，用直尺测量中心到任意一边的距离，再测量边长的一半，会发现两者完全相等。例如，若练习本的边长为20cm，中心到边的距离是10cm，这正好是边长的一半，与我们的推导一致。2正方形的外接圆：经过四顶点的“包容圆”2.1定义与几何特征外接圆的定义是：经过正方形四个顶点的圆。要满足“经过四顶点”的条件，圆必须同时包含四个顶点，且圆心到四个顶点的距离相等。同样利用正方形的对称性，圆心仍为正方形的中心(O)，因为中心到四个顶点的距离相等（对角线的一半），符合圆的“等距性”要求。2正方形的外接圆：经过四顶点的“包容圆”2.2半径的推导继续使用上述坐标系，正方形的顶点(A(0,0))到中心(O\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right))的距离即为外接圆的半径(r_{\text{外}})。根据两点间距离公式：[r_{\text{外}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2+\left(\frac{a}{2}-0\right)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}]2正方形的外接圆：经过四顶点的“包容圆”2.2半径的推导我们也可以用对角线的性质简化计算：正方形的对角线长度(d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2})，而中心(O)是对角线的中点，因此(r_{\text{外}}=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2})。2正方形的外接圆：经过四顶点的“包容圆”2.2直观理解强化同学们可以用圆规以正方形中心为圆心，以顶点到中心的距离为半径画圆，会发现圆恰好经过四个顶点。例如，边长为20cm的正方形，对角线长(20\sqrt{2})cm，外接圆半径为(10\sqrt{2})cm（约14.14cm），用圆规测量时，针尖固定在中心，铅笔尖刚好到达顶点，验证了公式的正确性。3内切圆与外接圆的关系：从半径比到几何关联3.1半径比与面积比通过对比两者的半径公式：[r_{\text{内}}=\frac{a}{2},\quadr_{\text{外}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}]可以得出半径比(r_{\text{外}}:r_{\text{内}}=\sqrt{2}:1)。进一步计算面积比：[3内切圆与外接圆的关系：从半径比到几何关联3.1半径比与面积比\frac{S_{\text{外}}}{S_{\text{内}}}=\frac{\pir_{\text{外}}^2}{\pir_{\text{内}}^2}=\left(\frac{r_{\text{外}}}{r_{\text{内}}}\right)^2=(\sqrt{2})^2=2:1]这说明外接圆的面积是内切圆的2倍，这种比例关系体现了正方形对称性的数学美感。3内切圆与外接圆的关系：从半径比到几何关联3.2圆心的同一性无论是内切圆还是外接圆，它们的圆心都是正方形的中心。这是因为正方形是中心对称图形，其对称中心（即对角线交点）到各边的距离相等（内切圆的条件），到各顶点的距离也相等（外接圆的条件），这种“双重等距性”是正方形区别于其他四边形的重要特征。03应用实践：从公式推导到问题解决的跨越1基础计算：已知边长求半径例1：一个正方形的边长为8cm，求它的内切圆半径和外接圆半径。解析：内切圆半径(r_{\text{内}}=\frac{a}{2}=\frac{8}{2}=4,\text{cm})外接圆半径(r_{\text{外}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2},\text{cm})（约5.66cm）答案：内切圆半径4cm，外接圆半径(4\sqrt{2},\text{cm})。2逆向求解：已知半径求边长例2：正方形的外接圆半径为(5\sqrt{2},\text{cm})，求正方形的边长及内切圆半径。解析：由(r_{\text{外}}=\frac{a\sqrt{2}}{2})，可得(a=\frac{2r_{\text{外}}}{\sqrt{2}}=\frac{2\times5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10,\text{cm})。内切圆半径(r_{\text{内}}=\frac{a}{2}=5,\text{cm})。答案：正方形边长10cm，内切圆半径5cm。3实际问题：生活中的数学应用例3：某小区要设计一个正方形花坛，中间建造一个圆形喷泉（内切圆），周围铺设环形石子路（外接圆与内切圆之间的区域）。已知正方形花坛的边长为12米，求喷泉的半径和石子路的面积。解析：喷泉半径（内切圆半径）(r_{\text{内}}=\frac{12}{2}=6,\text{米})外接圆半径(r_{\text{外}}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2},\text{米})3实际问题：生活中的数学应用石子路面积=外接圆面积-内切圆面积=(\pir_{\text{外}}^2-\pir_{\text{内}}^2=\pi((6\sqrt{2})^2-6^2)=\pi(72-36)=36\pi,\text{平方米})（约113.1平方米）答案：喷泉半径6米，石子路面积(36\pi,\text{平方米})。04拓展思考：从正方形到正多边形的一般性拓展思考：从正方形到正多边形的一般性同学们，今天我们研究的是正方形的内切圆与外接圆，但数学的魅力在于“从特殊到一般”的归纳。如果将正方形推广到正n边形（n≥3），是否也存在内切圆和外接圆？它们的半径又有什么规律？事实上，所有正多边形都有一个内切圆（与各边相切）和一个外接圆（经过各顶点），且两圆同心（称为正多边形的“中心”）。对于正n边形，设边长为(a)，内切圆半径（边心距）为(r)，外接圆半径（半径）为(R)，则两者的关系为(r=R\cos\frac{\pi}{n})。当(n=4)（正方形）时，(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2})，因此(r=R\times\frac{\sqrt{2}}{2})，即(R=r\times\sqrt{2})，拓展思考：从正方形到正多边形的一般性这与我们今天推导的(r_{\text{外}}=\sqrt{2}r_{\text{内}})完全一致。这说明正方形的内切圆与外接圆关系是正多边形一般规律的一个特例，未来我们会在九年级深入学习这部分内容。05课堂总结：知识脉络与数学思想的凝练课堂总结：知识脉络与数学思想的凝练01回顾本节课，我们沿着“观察现象—定义概念—推导公式—应用验证—拓展联系”的路径，系统学习了正方形的内切圆与外接圆半径：02内切圆：与正方形各边相切，圆心为正方形中心，半径(r_{\text{内}}=\frac{a}{2})；03外接圆：经过正方形四顶点，圆心同为正方形中心，半径(r_{\text{外}}=\frac{a\sqrt{2}}{2})；04核心关系：两圆同心，半径比(\sqrt{2}:1)，面积比(2:1