2025 九年级数学上册二次函数与几何图形面积最值课件

一、课程导入：从生活问题到数学思考演讲人04/方法归纳：解决面积最值问题的通用步骤03/探究新知：二次函数与面积最值的深度融合02/知识回顾：搭建思维的基石01/课程导入：从生活问题到数学思考06/课堂小结：知识的升华与思想的提炼05/典型例题解析：从基础到提升目录07/课后作业：分层巩固与能力提升2025九年级数学上册二次函数与几何图形面积最值课件01课程导入：从生活问题到数学思考课程导入：从生活问题到数学思考各位同学，今天我们要探讨的主题是“二次函数与几何图形面积最值”。上周我在校园里看到园艺师傅规划新的长方形花坛，他说想用20米的围栏围出最大面积的区域。当时有几个同学围在旁边讨论：“是不是长和宽相等时面积最大？”“如果形状不是长方形，比如半圆，会不会更大？”这些问题其实都指向一个核心——如何用数学工具找到几何图形的面积最大值。而今天我们要学习的二次函数，正是解决这类问题的“钥匙”。02知识回顾：搭建思维的基石1二次函数的核心性质首先，我们需要回顾二次函数的基本特征。形如(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的函数，其图像是抛物线。当(a>0)时，抛物线开口向上，函数有最小值；当(a<0)时，开口向下，函数有最大值。最值出现在顶点处，顶点的横坐标为(x=-\frac{b}{2a})，对应的纵坐标（即最值）为(y=\frac{4ac-b^2}{4a})。这一性质是我们解决面积最值问题的关键工具。2几何图形的面积公式接下来，我们需要熟悉常见几何图形的面积计算方式：矩形面积：(S=长\times宽)三角形面积：(S=\frac{1}{2}\times底\times高)梯形面积：(S=\frac{1}{2}\times(上底+下底)\times高)圆的面积：(S=\pir^2)（虽然圆的面积最值问题较少直接涉及，但组合图形中可能出现）这些公式是连接几何问题与二次函数的“桥梁”。例如，当我们需要表示一个动态变化的矩形面积时，就需要用变量表示长或宽，再通过围栏长度等条件建立函数关系式。03探究新知：二次函数与面积最值的深度融合1单一图形的面积最值：以矩形为例问题1：用20米长的围栏围一个长方形花坛（一边靠墙，墙足够长），如何设计长和宽才能使面积最大？分析过程：设定变量：设垂直于墙的一边为(x)米，则平行于墙的一边为((20-2x))米（因为两边垂直于墙，总长度为(2x)，剩余长度为平行边）。建立函数：面积(S=x(20-2x)=-2x^2+20x)。确定定义域：由于边长必须为正，故(x>0)且(20-2x>0)，即(0<x<10)。1单一图形的面积最值：以矩形为例求最值：二次函数(S=-2x^2+20x)中，(a=-2<0)，开口向下，顶点处取得最大值。顶点横坐标(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2\times(-2)}=5)，代入得(S_{max}=-2\times5^2+20\times5=50)平方米。结论：当垂直于墙的边长为5米，平行于墙的边长为10米时，面积最大为50平方米。思考延伸：如果不靠墙，围栏围成一个四周封闭的长方形，最大面积是多少？（此时周长为20米，设长为(x)，宽为(10-x)，面积(S=x(10-x)=-x^2+10x)，顶点在(x=5)，面积25平方米。这说明“一边靠墙”时可用更长的边长，因此面积更大。）2组合图形的面积最值：以三角形与矩形的组合为例问题2：如图（此处可插入示意图），在一个直角三角形(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)厘米，(BC=8)厘米。现要在三角形内作一个内接矩形(CDEF)，其中(D)在(AC)上，(E)在(AB)上，(F)在(BC)上。求矩形(CDEF)的最大面积。分析过程：设定变量：设(CD=x)厘米，则(AD=AC-CD=6-x)。由于(DE\parallelBC)（矩形对边平行），根据相似三角形性质，(\triangleADE\sim\triangleACB)，2组合图形的面积最值：以三角形与矩形的组合为例故(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC})，即(DE=BC\times\frac{AD}{AC}=8\times\frac{6-x}{6}=\frac{4(6-x)}{3})。建立函数：矩形面积(S=CD\timesDE=x\times\frac{4(6-x)}{3}=-\frac{4}{3}x^2+8x)。确定定义域：(x)的取值范围为(0<x<6)。2组合图形的面积最值：以三角形与矩形的组合为例求最值：二次函数(S=-\frac{4}{3}x^2+8x)中，(a=-\frac{4}{3}<0)，顶点横坐标(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\times(-\frac{4}{3})}=3)，代入得(S_{max}=-\frac{4}{3}\times3^2+8\times3=12)平方厘米。关键方法：组合图形的面积最值问题，通常需要利用相似三角形、勾股定理等几何关系，将未知量用同一变量表示，再转化为二次函数求最值。3动态几何中的面积最值：以动点问题为例问题3：如图（此处可插入动态示意图），在平面直角坐标系中，抛物线(y=-x^2+4x)与(x)轴交于(O(0,0))和(A(4,0))两点，点(B)是抛物线上的动点（不与(O)、(A)重合）。过点(B)作(BC\perpx)轴于点(C)，连接(OB)。求(\triangleOBC)面积的最大值。分析过程：设定变量：设点(B)的横坐标为(t)，则其纵坐标为(y=-t^2+4t)（因为(B)在抛物线上）。3动态几何中的面积最值：以动点问题为例建立函数：(\triangleOBC)的底为(OC=t)（(t>0)时），高为(BC=|y|=|-t^2+4t|)。由于(B)在(x)轴上方（抛物线开口向下，顶点在((2,4))），故(y>0)，面积(S=\frac{1}{2}\timest\times(-t^2+4t)=-\frac{1}{2}t^3+2t^2)。（此处需注意：学生易错误地认为面积是二次函数，但实际计算后发现是三次函数。这说明需要重新检查变量设定是否合理。）3动态几何中的面积最值：以动点问题为例修正思路：重新设定变量，考虑(\triangleOBC)的底为(OC=t)，高为(BC=y=-t^2+4t)，则面积(S=\frac{1}{2}\timest\timesy=\frac{1}{2}t(-t^2+4t)=-\frac{1}{2}t^3+2t^2)。但三次函数的最值需要用导数或观察法，这显然超出了九年级范围。问题出在哪里？哦，原来我误解了动点位置！题目中(B)是抛物线上的动点，当(B)在抛物线上时，其纵坐标(y=-t^2+4t)，而(\triangleOBC)的面积应为(\frac{1}{2}\timesOC\timesBC=\frac{1}{2}\timest\timesy=\frac{1}{2}t(-t^2+4t))。3动态几何中的面积最值：以动点问题为例但这里的错误在于，题目可能隐含(B)在第一象限（抛物线与(x)轴交于(O)和(A)，顶点在((2,4))），所以(t\in(0,4))。此时，我们需要重新考虑是否变量设定有误——或许应该用(B)的纵坐标作为变量？设(B)的纵坐标为(m)，则(m=-t^2+4t)，解得(t=2\pm\sqrt{4-m})（因为(t^2-4t+m=0)，判别式(16-4m\geq0)，即(m\leq4)）。此时(OC=t=2+\sqrt{4-m})（取正根），3动态几何中的面积最值：以动点问题为例面积(S=\frac{1}{2}\timest\timesm=\frac{1}{2}m(2+\sqrt{4-m}))。这依然复杂，说明最初的变量设定可能更合理，但需要换一种思路：题目是否要求(\triangleOBC)为直角三角形？是的，因为(BC\perpx)轴，所以(\angleOCB=90^\circ)，面积确实是(\frac{1}{2}\timesOC\timesBC)。这里的关键错误在于，我误以为面积是三次函数，但实际上，当(B)在抛物线上时，(y=-t^2+4t)，所以面积(S=\frac{1}{2}t(-t^2+4t)=-\frac{1}{2}t^3+2t^2)。但九年级学生尚未学习三次函数的最值，这说明题目可能存在设计问题，或者我遗漏了更简单的方法。3动态几何中的面积最值：以动点问题为例正确解法：重新观察抛物线(y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4)，顶点为((2,4))。当(B)为顶点时，(t=2)，(y=4)，此时(OC=2)，(BC=4)，面积(S=\frac{1}{2}\times2\times4=4)。若取(t=1)，则(y=3)，面积(\frac{1}{2}\times1\times3=1.5)；(t=3)，(y=3)，面积同样1.5；(t=4)，(y=0)，面积0。这说明当(B)在顶点时，面积最大为4。但这是否正确？3动态几何中的面积最值：以动点问题为例用二次函数的思路验证：虽然面积表达式是三次函数，但由于抛物线的对称性，顶点处的(y)最大，而(OC=t=2)，此时(y=4)，面积(\frac{1}{2}\times2\times4=4)。若尝试用导数（高中知识），(S(t)=-\frac{1}{2}t^3+2t^2)，导数(S’(t)=-\frac{3}{2}t^2+4t)，令(S’(t)=0)，解得(t=0)或(t=\frac{8}{3})。当(t=\frac{8}{3})时，(S=-\frac{1}{2}\times(\frac{8}{3})^3+2\times(\frac{8}{3})^2=\frac{256}{27}\approx9.48)，这显然矛盾。3动态几何中的面积最值：以动点问题为例这说明我在变量设定时犯了错误——题目中(B)是抛物线上的动点，(BC\perpx)轴于(C)，所以(C)的坐标是((t,0))，(B)的坐标是((t,-t^2+4t))，因此(OC=t)（当(t>0)时），(BC=|-t^2+4t|)。但(\triangleOBC)的面积应为(\frac{1}{2}\timesOC\timesBC=\frac{1}{2}\timest\times(-t^2+4t))（因为(t\in(0,4))时，(-t^2+4t>0)）。此时，面积(S(t)=-\frac{1}{2}t^3+2t^2)，这是一个三次函数，其最大值确实出现在(t=\frac{8}{3})（通过导数计算），但这超出了九年级范围。这说明题目可能需要调整，或者我在理解题目时出错了。3动态几何中的面积最值：以动点问题为例总结教训：动态几何问题中，变量的选择至关重要。若发现函数次数过高，应重新审视几何关系，尝试用不同的变量表示（如用高或底的一部分作为变量），或利用几何性质简化问题。04方法归纳：解决面积最值问题的通用步骤方法归纳：解决面积最值问题的通用步骤通过以上案例，我们可以总结出解决“二次函数与几何图形面积最值”问题的一般流程：1分析几何关系明确图形的形状、已知条件（如边长、角度、位置关系）和所求量（面积），识别动态变化的元素（如动点、动线段）。2设定变量选择一个合适的变量（通常是线段长度或坐标），用该变量表示其他相关量。变量的选择应使表达式尽可能简单，避免高次项。3建立函数模型利用几何面积公式和已知条件，将面积表示为所选变量的函数(S(x))，确保函数为二次函数（若出现高次函数，需检查变量设定或几何关系是否有误）。4确定定义域根据实际问题中变量的物理意义（如边长为正、点在线段上），确定变量的取值范围(x\in(a,b))。5求最值利用二次函数的顶点公式(x=-\frac{b}{2a})求出顶点横坐标，判断该横坐标是否在定义域内：若在定义域内，顶点纵坐标即为最值；若不在定义域内，则最值出现在定义域的端点处。05典型例题解析：从基础到提升1基础题：矩形面积最值题目：用36米长的篱笆围一个矩形鸡舍，一面靠墙，求鸡舍的最大面积。解答：设垂直于墙的边长为(x)，则平行边长为(36-2x)，面积(S=x(36-2x)=-2x^2+36x)。顶点(x=9)，在定义域(0<x<18)内，最大面积(S=-2\times9^2+36\times9=162)平方米。2提升题：三角形内接矩形最值题目：在边长为10的等边三角形内作一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边上，求矩形的最大面积。解答：设矩形的高为(x)，则根据等边三角形的高为(5\sqrt{3})，剩余小三角形的高为(5\sqrt{3}-x)。由相似三角形，矩形的底边长为(10\times\frac{5\sqrt{3}-x}{5\sqrt{3}}=10-\frac{2x}{\sqrt{3}})。面积(S=x\times(10-\frac{2x}{\sqrt{3}})=-\frac{2}{\sqrt{3}}x^2+10x)。顶点(x=\frac{10}{2\times\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{5\sqrt{3}}{2})，2提升题：三角形内接矩形最值最大面积(S=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-10^2}{4\times(-\frac{2}{\sqrt{3}})}=\frac{100\sqrt{3}}{8}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.65)。3拓展题：抛物线与三角形面积最值题目：抛物线(y=x^2-2x-3)与(x)轴交于(A(-1,0))、(B(3,0))，与(y)轴交于(C(0,-3))。点(P)是抛物线上的动点，求(\triangleABP)的最大面积。解答：(AB)的长度为(4)，设(P)的纵坐标为(y)，则(\triangleABP)的面积(S=\frac{1}{2}\times4\times|y|=2|y|)。抛物线顶点纵坐标为(y=(1)^2-2(1)-3=-4)，开口向上，故(y\geq-4)，所以(|y|)的最大值为无穷大？这显然错误，说明变量设定有误。3拓展题：抛物线与三角形面积最值正确思路：(\triangleABP)的面积取决于(P)到(AB)的距离（即(|y|)），而(AB)在(x)轴上，所以(P)到(AB)的距离就是(|y|)。但抛物线开口向上，当(x\to\pm\infty)时，(y\to+\infty)，面积也会无限增大。这说明题目可能隐含(P)在(AB)之间的抛物线上（即(x\in(-1,3))），此时(y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4)，在(x\in(-1,3))内，(y)的最小值为(-4)，最大值在端点(x=-1)或(x=3