2025 九年级数学上册相似三角形翻折相似问题课件

一、教学背景分析：为何聚焦“翻折相似问题”？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何聚焦“翻折相似问题”？教学目标与重难点设定教学过程：从基础到综合，层层递进总结提升：翻折相似问题的“解题密码”课后作业：分层落实，迁移创新目录2025九年级数学上册相似三角形翻折相似问题课件作为一名深耕初中数学教学十余年的教师，我始终认为，几何问题的核心在于“图形变换与不变性”的动态理解。相似三角形与翻折（轴对称变换）的结合问题，正是近年中考几何压轴题的高频考点。它不仅要求学生掌握相似三角形的判定与性质，更需要理解翻折变换中“对应边相等、对应角相等”的本质，以及如何从动态变换中捕捉静态的相似关系。今天，我们就围绕这一主题展开系统学习。01教学背景分析：为何聚焦“翻折相似问题”？1教材地位与衔接性相似三角形是九年级上册第二十七章的核心内容（以人教版为例），其前承全等三角形（特殊的相似）、图形的轴对称（翻折），后启锐角三角函数、圆的相似问题等内容。翻折相似问题作为“图形变换+相似”的综合应用，是对“图形的性质”与“图形的变化”两大课程内容的深度融合，体现了“用动态眼光研究静态图形”的几何思想。2学情特点与学习难点九年级学生已掌握相似三角形的基本判定（AA、SAS、SSS）和性质（对应边成比例、对应角相等），也理解翻折变换的基本性质（对应边相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线）。但面对翻折相似问题时，常见障碍集中在三点：难以从翻折后的复杂图形中提取“对应关系”（如哪组角是翻折后的等角，哪条边是翻折后的等边）；无法将翻折的“全等性”与相似的“比例性”建立联系；对“隐式相似”（即非直观的相似三角形）的识别能力不足。因此，本节课的设计将围绕“如何通过翻折的不变性寻找相似条件”展开，逐步突破上述难点。02教学目标与重难点设定1三维教学目标知识与技能：掌握翻折变换的性质，能结合相似三角形的判定定理（AA、SAS）证明翻折前后或翻折后图形中的相似三角形；过程与方法：经历“观察翻折图形→标注对应元素→寻找角/边关系→验证相似”的探究过程，提升几何直观与逻辑推理能力；情感态度与价值观：通过解决实际翻折问题（如折叠纸片、工程测量），感受数学的应用价值，培养“用变换眼光看世界”的思维习惯。2教学重难点重点：翻折性质与相似三角形判定的综合应用；难点：翻折后隐含条件（如等角、等边）的挖掘，及复杂图形中相似三角形的识别。03教学过程：从基础到综合，层层递进1情境引入：从生活现象到数学问题（展示实物：一张长方形纸片，沿对角线折叠）“同学们看，我将这张长方形纸片沿对角线AC折叠，点B落在点B'的位置。观察折叠后的图形，你能发现哪些相等的线段和角？如果连接B'D（D为长方形的另一个顶点），△AB'D与△CDA是否存在相似关系？”通过生活化的操作演示，激发学生兴趣，同时自然引出“翻折+相似”的核心问题。2知识回顾：翻折与相似的“底层逻辑”要解决翻折相似问题，首先需明确两个基础工具：2知识回顾：翻折与相似的“底层逻辑”2.1翻折变换的性质01翻折（轴对称）是全等变换，因此：03对应角相等（如∠ABC=∠AB'C，∠BAC=∠B'AC）；02对应边相等（如AB=AB'，BC=B'C）；04对称轴是对应点连线的垂直平分线（如AC垂直平分BB'）。2知识回顾：翻折与相似的“底层逻辑”2.2相似三角形的判定（核心工具）在翻折问题中，最常用的判定是“AA”（两角对应相等），因为翻折会产生大量等角；其次是“SAS”（两边成比例且夹角相等），需结合翻折的等边关系寻找比例。3模型探究：从单一翻折到复合翻折3.1基础模型：单翻折下的相似例1（教材改编）：如图1，在△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，沿直线CD翻折△ABC，使点B落在AC边上的点B'处，连接AB'。求证：△AB'D∽△CBD。分析步骤：标注对应元素：翻折后，B→B'，CD为对称轴，故CB=CB'=4，∠BCD=∠B'CD；计算关键边长：AC=3，CB'=4，故AB'=CB'-AC=1（注意此处需引导学生关注图形位置关系）；寻找等角：∠B'DC=∠BDC（翻折等角），∠A=∠CBD（均与∠BCD互余）；3模型探究：从单一翻折到复合翻折3.1基础模型：单翻折下的相似应用AA判定：△AB'D与△CBD中，∠A=∠CBD，∠AB'D=∠BCD（等角的补角相等），故相似。易错提醒：学生易忽略翻折后点的位置（如本例中B'落在AC边上，需通过边长计算确认位置），需强调“先定位、再分析”。3模型探究：从单一翻折到复合翻折3.2进阶模型：双翻折或多次翻折的相似例2（中考模拟题）：如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，先沿对角线AC翻折△ABC至△AB'C，再沿B'C翻折△AB'C至△A'B'C。判断△AA'C与△ABC是否相似，并说明理由。分析思路：第一次翻折：AB'=AB=6，∠B'AC=∠BAC；第二次翻折：A'B'=AB'=6，∠A'B'C=∠AB'C=90（矩形翻折后∠AB'C=∠ABC=90）；角度关系：∠AA'C=∠B'AC+∠A'B'C=∠BAC+90（需结合图形具体分析角度叠加）；边长比例：计算AA'的长度（利用勾股定理或坐标法），验证是否满足相似比例。3模型探究：从单一翻折到复合翻折3.2进阶模型：双翻折或多次翻折的相似教学策略：通过动态课件演示两次翻折过程，帮助学生建立空间想象；引导学生用坐标法（设A在原点）标注各点坐标，将几何问题代数化，降低难度。3模型探究：从单一翻折到复合翻折3.3综合模型：翻折与其他变换（如平移、旋转）的结合例3（2024年某地中考题）：如图3，在△ABC中，∠BAC=60，AB=2，AC=3，将△ABC沿直线l翻折得到△A'B'C'，再将△A'B'C'向右平移2个单位得到△A''B''C''。若△ABC∽△B''C''A''，求直线l的方向（用角度表示）。解决要点：翻折后，△ABC≌△A'B'C'，故A'B'=AB=2，A'C'=AC=3，∠B'A'C'=60；平移后，A''=A'+(2,0)，B''=B'+(2,0)，C''=C'+(2,0)，故△A''B''C''与△A'B'C'全等；3模型探究：从单一翻折到复合翻折3.3综合模型：翻折与其他变换（如平移、旋转）的结合STEP1STEP2STEP3由相似△ABC∽△B''C''A''，得对应边比例：AB/B''C''=BC/C''A''=AC/A''B''；结合全等关系，推导出各边长度，进而确定翻折对称轴l的角度（需利用向量或三角函数计算）。设计意图：通过综合题训练学生“分解问题”的能力，将复杂变换拆解为单一变换，逐一分析。4巩固练习：分层训练，强化应用基础题（教材P35改编）：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，沿中线AD翻折△ABC，使点B落在点B'处。求证：△AB'D∽△CBA。提升题（2023年成都中考）：如图4，在菱形ABCD中，∠ABC=60，AB=2，沿对角线BD翻折△ABD至△A'BD，连接A'C。判断△A'BC的形状，并证明△A'BC∽△BDC。拓展题（探究性）：用一张等腰直角三角形纸片（直角边长为a），设计一种翻折方式，使得翻折后的图形中存在两对相似三角形，画出图形并证明。（教师巡视指导，重点关注基础题中“对应角的寻找”和提升题中“菱形性质与翻折的结合”，及时纠正学生“遗漏等角”“误判对应边”的错误。）04总结提升：翻折相似问题的“解题密码”总结提升：翻折相似问题的“解题密码”通过本节课的学习，我们可以总结出解决翻折相似问题的“四步走”策略：定对象：明确翻折的原图形和对称轴，标注翻折后的对应点（如A→A'）；标等量：根据翻折性质，标记对应边相等（AA'=AA'）、对应角相等（∠A=∠A'）；找关系：在目标三角形中，寻找等角（用于AA判定）或成比例的边（用于SAS判定）；证相似：结合相似判定定理，完成逻辑推理。需要强调的是，翻折的本质是“全等变换”，它为相似提供了“等角”或“等边”的条件；而相似的核心是“比例关系”，需要我们从翻折的“不变量”中挖掘“可变量”的比例。正如数学家波利亚所说：“几何的魅力在于变化中的不变性。”翻折相似问题正是这一魅力的集中体现。05课后作业：分层落实，迁移创新课后作业：分层落实，迁移创新基础巩固（必做）：完成教材P40习题27.2第12题（翻折后相似三角形的证明）；能力提升（选做）：如图5，在△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=6，沿直线DE翻折△ABC，使点A落在BC边上的点A'处，若△A'BD∽△