2025 九年级数学上册一元二次方程根的情况与系数关系课件

一、教学目标设计：明确知识脉络与能力提升方向演讲人课堂练习：分层巩固，提升应用能力新课讲授：从“根的存在性”到“根的数量关系”，层层深入知识回顾：夯实基础，搭建新旧知识桥梁教学目标设计：明确知识脉络与能力提升方向总结归纳：提炼核心，构建知识网络课后作业（略）654321目录2025九年级数学上册一元二次方程根的情况与系数关系课件01教学目标设计：明确知识脉络与能力提升方向教学目标设计：明确知识脉络与能力提升方向作为九年级数学教师，我始终认为，一节好的数学课既要让学生掌握“是什么”“为什么”，更要让他们明白“怎么用”。基于此，本节课的教学目标围绕“知识-能力-情感”三维目标展开：知识目标231理解一元二次方程根的判别式（Δ）的定义及推导过程，能准确运用Δ判断方程根的情况（无实根、有两个相等实根、有两个不等实根）。掌握韦达定理（根与系数关系）的内容及推导方法，能熟练运用定理计算两根之和、两根之积，解决与根相关的代数式求值问题。明确判别式与韦达定理的联系与区别，理解二者在分析一元二次方程时的互补作用。能力目标通过判别式的推导，提升逻辑推理能力与代数运算能力；通过韦达定理的应用，培养从特殊到一般的归纳能力及逆向思维能力。能综合运用判别式与韦达定理解决含参数的一元二次方程问题，如“已知根的情况求参数范围”“已知两根关系求方程系数”等，提高分析问题、解决问题的综合能力。情感目标通过探究根与系数的内在联系，感受数学的对称美与简洁美，激发对代数规律的探索兴趣。在合作交流中体会“从具体到抽象”“从现象到本质”的数学研究方法，增强学习自信心与数学应用意识。02知识回顾：夯实基础，搭建新旧知识桥梁知识回顾：夯实基础，搭建新旧知识桥梁在正式学习“根的情况与系数关系”前，我们需要先回顾一元二次方程的核心基础知识，这些内容是本节课的“地基”。一元二次方程的定义与一般形式定义：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，称为一元二次方程。一般形式：(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），其中(ax^2)是二次项，(a)是二次项系数；(bx)是一次项，(b)是一次项系数；(c)是常数项。举例：方程(2x^2-3x+1=0)中，(a=2)，(b=-3)，(c=1)；而方程(x^2=5)可整理为(x^2+0x-5=0)，此时(b=0)，(c=-5)。一元二次方程的求根公式通过配方法，我们可以推导出一元二次方程的求根公式：对于方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），当(b^2-4ac\geq0)时，方程的根为：(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a})这个公式是连接“系数”与“根”的关键纽带，本节课的核心内容——判别式与韦达定理，都将基于此公式展开推导。03新课讲授：从“根的存在性”到“根的数量关系”，层层深入第一重探索：根的判别式——判断根的存在情况在实际解题中，我们常遇到这样的问题：“方程(x^2+2x+3=0)有实数根吗？”直接代入求根公式计算根号内的部分，会发现(\sqrt{4-12}=\sqrt{-8})无意义，说明方程无实根。这里的“根号内部分”就是我们要学习的根的判别式。第一重探索：根的判别式——判断根的存在情况判别式的定义与推导定义：我们将(b^2-4ac)称为一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的根的判别式，记作(\Delta)（希腊字母，读作“德尔塔”）。从求根公式可知，当(\Delta>0)时，根号内为正数，方程有两个不相等的实数根；当(\Delta=0)时，根号内为0，方程有两个相等的实数根（即一个实根，重根）；当(\Delta<0)时，根号内为负数，在实数范围内无意义，方程无实数根。第一重探索：根的判别式——判断根的存在情况根的情况与判别式的对应关系为了更直观理解，我们可以用表格总结：|判别式Δ的值|根的情况|几何意义（二次函数(y=ax^2+bx+c)与x轴交点）||--------------|----------|----------------------------------------------||Δ>0|两个不等实根|抛物线与x轴有两个不同交点||Δ=0|两个相等实根|抛物线与x轴有一个公共点（顶点在x轴上）||Δ<0|无实根|抛物线与x轴无交点|举例验证：第一重探索：根的判别式——判断根的存在情况根的情况与判别式的对应关系方程(x^2-5x+6=0)，Δ=((-5)^2-4×1×6=25-24=1>0)，有两个不等实根（x=2和x=3）。01方程(x^2-4x+4=0)，Δ=((-4)^2-4×1×4=16-16=0)，有两个相等实根（x=2，重根）。02方程(x^2+x+1=0)，Δ=(1^2-4×1×1=1-4=-3<0)，无实根。03第一重探索：根的判别式——判断根的存在情况判别式的应用场景在教学中，我发现学生最常遇到的判别式应用有两类：（1）判断方程根的情况：直接计算Δ，根据其符号得出结论。（2）已知根的情况求参数范围：通过Δ的符号建立不等式（或等式），解出参数的取值范围。典型例题1：已知方程((k-1)x^2+2kx+k+3=0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围。分析：首先，方程是一元二次方程，故二次项系数(k-1\neq0)，即(k\neq1)；其次，有两个不等实根需Δ>0。计算Δ：Δ=((2k)^2-4(k-1)(k+3)=4k^2-4(k^2+2k-3)=4k^2-4k^2-8k+12=-8k+12)第一重探索：根的判别式——判断根的存在情况判别式的应用场景令Δ>0，即(-8k+12>0)，解得(k<\frac{3}{2})。综上，k的取值范围是(k<\frac{3}{2})且(k\neq1)。第二重探索：韦达定理——根与系数的数量关系当我们确定方程有实根后，自然会想：这些根与系数之间是否存在某种固定的数量关系？比如，两根之和、两根之积能否用系数表示？这就是法国数学家韦达（Vieta）在16世纪提出的“根与系数关系”，也称为韦达定理。第二重探索：韦达定理——根与系数的数量关系韦达定理的推导假设一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的两个根为(x_1)和(x_2)，根据求根公式：(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})，(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})计算两根之和：(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a})计算两根之积：第二重探索：韦达定理——根与系数的数量关系韦达定理的推导(x_1x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a})由此得出韦达定理：对于一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），若有两个实根(x_1)、(x_2)，则：(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})第二重探索：韦达定理——根与系数的数量关系韦达定理的推导特别说明：即使方程无实根（Δ<0），在复数范围内韦达定理仍然成立，但九年级阶段我们仅讨论实数根的情况，因此使用韦达定理时需默认Δ≥0。第二重探索：韦达定理——根与系数的数量关系韦达定理的应用场景韦达定理的核心价值在于“不求出根，直接通过系数计算根的和与积”，这在解决以下问题时尤为高效：（1）已知一根求另一根：利用两根之和或积的关系，直接求解。（2）求与根相关的代数式值：如(x_1^2+x_2^2)、(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})等，可通过变形为((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)、(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2})等形式，用韦达定理计算。（3）构造新方程：已知两根的和与积，可构造以这两根为根的一元二次方程（(x^2第二重探索：韦达定理——根与系数的数量关系韦达定理的应用场景-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0)）。典型例题2：已知方程(2x^2-5x+k=0)的一个根是1，求另一个根及k的值。分析：设另一根为(x_2)，根据韦达定理：(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{5}{2})，已知(x_1=1)，则(1+x_2=\frac{5}{2})，解得(x_2=\frac{3}{2})。又(x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{k}{2})，即(1×\frac{3}{2}=\frac{k}{2})，解得(k=3)。第二重探索：韦达定理——根与系数的数量关系韦达定理的应用场景典型例题3：设方程(x^2-4x+2=0)的两根为(x_1)、(x_2)，求(x_1^2+x_2^2)和(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})的值。分析：由韦达定理得(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=2)。(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×2=16-4=12)；(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{4}{2}=2)。判别式与韦达定理的联系与区别在教学中，我常提醒学生：判别式与韦达定理是分析一元二次方程的“左右眼”，缺一不可。01联系：两者均基于求根公式推导，判别式（Δ）决定了根是否存在，韦达定理（和与积）描述了根的数量关系，共同构成“根的情况与系数关系”的完整体系。02区别：判别式关注“根是否存在”（存在性），韦达定理关注“根的和与积”（数量关系）；使用韦达定理时需隐含Δ≥0的条件（否则无实根，和与积无实数意义）。0304课堂练习：分层巩固，提升应用能力课堂练习：分层巩固，提升应用能力为了帮助学生更好地掌握本节内容，我设计了分层练习，从基础到综合逐步提升。基础题（巩固判别式与韦达定理的基本应用）判断下列方程根的情况：（1）(3x^2-2x+1=0)；（2）(x^2-4\sqrt{3}x+12=0)。已知方程(x^2+2mx+m^2-1=0)有两个相等的实数根，求m的值。若方程(2x^2+kx-3=0)的两根之和为2，求k的值及两根之积。综合题（结合判别式与韦达定理解决复杂问题）已知关于x的方程(x^2-(2k+1)x+k^2+k=0)。（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根(x_1)、(x_2)满足(x_1^2+x_2^2=10)，求k的值。设α、β是方程(x^2+2x-2025=0)的两个根，求(α^3+4α^2+2023β+2025)的值（提示：利用方程变形，将高次幂降次）。拓展题（联系实际，培养应用意识）某工厂计划生产一种矩形零件，其面积为12cm²，且长比宽多4cm。设宽为xcm，可列方程(x(x+4)=12)（即(x^2+4x-12=0)）。（1）判断该方程是否有实数根；（2）若有实根，求零件的长和宽（结果保留根号）；（3）若实际生产中要求长和宽均为整数，该方程是否满足要求？说明理由。05总结归纳：提炼核心，构建知识网络核心内容回顾判别式Δ：(\Delta=b^2-4ac)，Δ>0（两不等实根），Δ=0（两相等实根），Δ<0（无实根）。韦达定理：(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})（需Δ≥0）。应用逻辑