2025 九年级数学下册二次函数区间最值典型例题课件

一、知识铺垫：二次函数的基本性质回顾演讲人CONTENTS知识铺垫：二次函数的基本性质回顾核心突破：二次函数区间最值的分析逻辑典型例题解析：从单一到综合的思维训练易错点警示：避免常见思维漏洞实际应用：二次函数区间最值的生活场景总结与升华：二次函数区间最值的核心思想目录2025九年级数学下册二次函数区间最值典型例题课件各位同学、老师们：大家好！作为一名深耕初中数学教学十余年的教师，我始终记得第一次讲解二次函数区间最值时的场景——学生们盯着题目中“x∈[1,5]”的条件，皱着眉头问：“老师，以前学的顶点最值不是整个抛物线的吗？现在限制了x的范围，该怎么找最大最小值呢？”这个问题，正是我们今天要解决的核心：当二次函数的定义域不再是全体实数，而是某个有限区间时，如何精准找到其最大值与最小值？这节课，我们将从二次函数的基本性质出发，结合典型例题，逐步拆解区间最值的分析逻辑，最终形成一套可操作的解题方法。希望通过今天的学习，大家能彻底掌握“看开口、定顶点、判位置、比大小”的解题四步法，让区间最值问题不再是“拦路虎”。01知识铺垫：二次函数的基本性质回顾知识铺垫：二次函数的基本性质回顾要解决区间最值问题，首先需要扎实掌握二次函数的基础性质。我们从最熟悉的表达式开始梳理：1二次函数的三种表达式二次函数的一般形式为(y=ax^2+bx+c)（(a≠0)），其图像是一条抛物线。为了更直观分析顶点和对称轴，我们常将其化为顶点式(y=a(x-h)^2+k)，其中顶点坐标为((h,k))，对称轴为直线(x=h)。此外，当已知抛物线与x轴交点时，还可表示为交点式(y=a(x-x_1)(x-x_2))，但今天我们重点关注前两种形式。2抛物线的开口方向与单调性开口方向由二次项系数(a)决定：当(a>0)时，抛物线开口向上，顶点是图像的最低点；当(a<0)时，抛物线开口向下，顶点是图像的最高点。单调性则以对称轴为分界：开口向上时，在对称轴左侧（(x<h)），函数单调递减；右侧（(x>h)），函数单调递增；开口向下时，在对称轴左侧（(x<h)），函数单调递增；右侧（(x>h)），函数单调递减。3全体实数定义域下的最值当(x∈ℝ)时，二次函数的最值由顶点直接决定：开口向上时，最小值为(k)（顶点纵坐标），无最大值；开口向下时，最大值为(k)，无最小值。但实际问题中，变量(x)往往受限于某个区间（如时间、长度等不能为负数或超过某个范围），此时最值可能出现在顶点，也可能出现在区间的端点。这正是我们接下来要重点研究的“区间最值”。02核心突破：二次函数区间最值的分析逻辑核心突破：二次函数区间最值的分析逻辑区间最值的关键在于“比较”——比较顶点函数值与区间端点函数值的大小。具体可分为以下两种情况：2.1情况一：顶点横坐标(h)在给定区间内假设区间为闭区间([m,n])（(m<n)），若(m≤h≤n)，即顶点横坐标落在区间内，则：开口向上时，顶点是区间内的最低点（最小值），最大值在离顶点较远的端点；开口向下时，顶点是区间内的最高点（最大值），最小值在离顶点较远的端点。关键验证：如何判断(h)是否在区间内？只需计算(h=-\frac{b}{2a})（从一般式推导），并验证(m≤h≤n)是否成立。核心突破：二次函数区间最值的分析逻辑2.2情况二：顶点横坐标(h)不在给定区间内若(h<m)或(h>n)，即顶点横坐标落在区间左侧或右侧，则：开口向上时，函数在区间内单调（左侧时单调递增，右侧时单调递减），最值在端点；开口向下时，函数在区间内单调（左侧时单调递减，右侧时单调递增），最值在端点。总结规律：无论顶点是否在区间内，区间最值的候选点只有两个——顶点（若在区间内）和区间的两个端点。因此，解决区间最值问题的步骤可归纳为：确定抛物线的开口方向（由(a)的符号）；计算顶点横坐标(h=-\frac{b}{2a})；判断(h)是否在区间([m,n])内；核心突破：二次函数区间最值的分析逻辑计算顶点函数值(k)及端点函数值(f(m)、f(n))；比较这三个值（或两个端点值，若顶点不在区间内），确定最大、最小值。03典型例题解析：从单一到综合的思维训练典型例题解析：从单一到综合的思维训练为了让大家更直观理解上述逻辑，我们通过三道典型例题逐步拆解，覆盖不同开口方向、顶点位置的情况。例题1：开口向上，顶点在区间内题目：已知二次函数(y=x^2-4x+5)，求其在区间([1,4])上的最大值与最小值。解析步骤：开口方向：(a=1>0)，开口向上；顶点横坐标：(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2)；典型例题解析：从单一到综合的思维训练判断顶点位置：区间为([1,4])，(1≤2≤4)，顶点在区间内；计算函数值：顶点纵坐标(k=f(2)=2^2-4×2+5=4-8+5=1)；左端点(f(1)=1-4+5=2)；右端点(f(4)=16-16+5=5)；比较大小：开口向上，顶点是最小值（1），最大值在右端点（5）。结论：最小值为1（x=2时），最大值为5（x=4时）。典型例题解析：从单一到综合的思维训练教学反思：这道题是最基础的情况，学生容易忽略的是“顶点在区间内时，仍需比较两个端点的函数值”。我曾在批改作业时发现，有同学直接认为“开口向上，最大值在右端点”，但如果区间是([1,3])，右端点(f(3)=9-12+5=2)，反而小于左端点(f(1)=2)，此时最大值其实在两个端点（相等）。因此，必须严格计算并比较。例题2：开口向下，顶点在区间左侧题目：已知二次函数(y=-2x^2+8x-3)，求其在区间([3,5])上的最大值与最小值。解析步骤：开口方向：(a=-2<0)，开口向下；典型例题解析：从单一到综合的思维训练顶点横坐标：(h=-\frac{8}{2×(-2)}=2)；判断顶点位置：区间为([3,5])，(2<3)，顶点在区间左侧；分析单调性：开口向下，顶点在左侧，说明区间([3,5])位于对称轴右侧，函数在此区间单调递减（因为开口向下时，对称轴右侧单调递减）；计算端点值：左端点(f(3)=-2×9+8×3-3=-18+24-3=3)；右端点(f(5)=-2×25+8×5-3=-50+40-3=-13)；确定最值：单调递减时，左端点为最大值（3），右端点为最小值（-13）。典型例题解析：从单一到综合的思维训练教学反思：这道题的关键是判断单调性。学生容易混淆开口方向与单调性的关系，比如可能错误认为“开口向下，右侧应该递增”。此时可以结合图像辅助理解：开口向下的抛物线，像一座山，左侧（x<h）是上山坡（递增），右侧（x>h）是下山坡（递减）。因此，当顶点在区间左侧时，区间内的图像处于“下山坡”，函数值随x增大而减小。例题3：开口向上，顶点在区间右侧题目：已知二次函数(y=0.5x^2-2x+3)，求其在区间([-1,2])上的最大值与最小值。解析步骤：开口方向：(a=0.5>0)，开口向上；顶点横坐标：(h=-\frac{-2}{2×0.5}=2)；典型例题解析：从单一到综合的思维训练判断顶点位置：区间为([-1,2])，(h=2)正好是区间的右端点；分析单调性：开口向上，对称轴为x=2，区间([-1,2])位于对称轴左侧，函数在此区间单调递减；计算端点值：左端点(f(-1)=0.5×1-2×(-1)+3=0.5+2+3=5.5)；右端点（顶点）(f(2)=0.5×4-2×2+3=2-4+3=1)；确定最值：单调递减时，左端点为最大值（5.5），右端点（顶点）为最小值（1）。典型例题解析：从单一到综合的思维训练教学反思：这道题的特殊点在于顶点正好是区间的右端点。此时，顶点是否属于区间？因为区间是闭区间([-1,2])，x=2是包含在内的，因此顶点函数值需要参与比较。学生可能疑惑：“顶点在端点上，是否需要单独考虑？”其实，当顶点与端点重合时，它既是顶点又是端点，直接计算其函数值即可，无需额外处理。04易错点警示：避免常见思维漏洞易错点警示：避免常见思维漏洞通过上述例题，我们发现区间最值问题的易错点主要集中在以下三个方面：1忽略开口方向对单调性的影响部分同学会直接认为“左端点一定是最小值，右端点一定是最大值”，但这仅在开口向上且顶点在区间左侧时成立。若开口向下，结论可能完全相反。例如，例题2中开口向下，顶点在区间左侧，函数在区间内单调递减，此时左端点反而是最大值。2错误判断顶点是否在区间内计算顶点横坐标(h)时，符号错误是常见问题。例如，对于(y=-2x^2+8x-3)，正确的(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-2)}=2)，但有同学可能误算为(h=\frac{8}{4}=2)（虽然结果正确，但符号逻辑不清晰）。更严重的是，部分同学会忘记比较(h)与区间端点(m、n)的大小，直接默认顶点在区间内，导致错误。3遗漏端点函数值的计算当顶点在区间内时，部分同学会仅比较顶点与其中一个端点的函数值，而忽略另一个端点。例如，在例题1中，若只比较顶点（1）与左端点（2），可能错误认为最大值是2，而实际右端点（5）更大。因此，必须计算所有候选点（顶点及两个端点）的函数值，再统一比较。05实际应用：二次函数区间最值的生活场景实际应用：二次函数区间最值的生活场景数学的价值在于解决实际问题。二次函数区间最值在生活中有着广泛应用，例如：1销售利润问题题目：某商店销售一种商品，售价为x元（5≤x≤15），每天销量为(200-10x)件，成本为每件3元。求每天利润的最大值。分析：利润(L=(x-3)(200-10x)=-10x^2+230x-600)，这是一个开口向下的二次函数（(a=-10<0)），顶点横坐标(h=-\frac{230}{2×(-10)}=11.5)。区间为([5,15])，(5≤11.5≤15)，顶点在区间内，因此最大值在顶点处，计算得(L(11.5)=-10×(11.5)^2+230×11.5-600=722.5)元。2抛物线型建筑问题题目：某桥拱的形状是抛物线，其解析式为(y=-\frac{1}{20}x^2+4)（x为水平距离，y为高度，单位：米），求当x∈[-10,10]时，桥拱的最高高度和最低高度。分析：开口向下（(a=-\frac{1}{20}<0)），顶点在x=0处（(h=0)），区间([-10,10])包含顶点。顶点纵坐标(y=4)是最高点；最低点在端点，计算(x=10)或(x=-10)时，(y=-\frac{1}{20}×100+4=-5+4=-1)米（注意：实际中高度不能为负，这里可能表示桥拱在水面下的部分）。06总结与升华：二次函数区间最值的核心思想总结与升华：二次函数区间最值的核心思想回顾整节课的内容，我们可以用“四字诀”概括解题关键：1看开口（定趋势）通过(a)的符号确定抛物线开口方向，这是判断单调性和最值类型（最大/最小）的基础。2定顶点（找核心）计算顶点横坐标(h)，明确抛物线的对称轴位置，这是分析区间内函数行为的