2026年教师资格（数学学科·高中）模拟考试题及解析

2026年教师资格（数学学科·高中）模拟考试题及解析

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号填在括号内）1.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，则\(f(x)\)的定义域为（）A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)D.\(R\)2.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A.5B.7C.11D.133.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，则\(a_5\)的值为（）A.7B.9C.11D.134.曲线\(y=x^3-3x^2+1\)在点\((1,-1)\)处的切线方程为（）A.\(y=-3x+2\)B.\(y=3x-4\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-5\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(-\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{3}{5}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)6.函数\(y=\log_2(x^2-4x+3)\)的单调递增区间为（）A.\((3,+\infty)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)7.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，则该双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)8.若\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，则\(z=2x+y\)的最大值为（）A.3B.4C.5D.69.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=2^x-1\)，则\(f(-2)\)的值为（）A.-3B.3C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)10.设函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，若\(f(a)=\frac{1}{2}\)，则\(a\)的值为（）A.-1B.\(\sqrt{2}\)C.-1或\(\sqrt{2}\)D.1或\(-\sqrt{2}\)二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在题中的横线上）1.函数\(f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{1}{x-2}\)的定义域为______。2.已知向量\(\vec{a}=(m,2)\)，\(\vec{b}=(1,-3)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(m\)的值为______。3.等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，则公比\(q\)的值为______。4.曲线\(y=\sinx\)在点\((\pi,0)\)处的切线方程为______。5.已知函数\(f(x)=x^3-3x\)，则\(f(x)\)的极大值为______。三、解答题（总共4题，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)，求\(f(x)\)的最小正周期和单调递增区间。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=2^{a_n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。3.已知函数\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)在区间\((-2,+\infty)\)上单调递增，求实数\(a\)的取值范围。4.已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，短轴长为2。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A,B\)两点，且\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(\triangleAOB\)面积的最大值。四、材料分析题（1题，15分）阅读以下材料：在数学教学中，培养学生的数学思维能力是非常重要的。例如，在讲解函数单调性时，可以通过具体的函数图像，引导学生观察函数值随自变量的变化情况，从而理解单调性的概念。然后，让学生通过分析函数的表达式，运用定义法来证明函数的单调性。在这个过程中，学生需要进行逻辑推理、归纳总结等思维活动。再如，在解决数列问题时，常常需要运用等差数列和等比数列的通项公式、前\(n\)项和公式，通过对已知条件的分析、转化，建立方程或不等式来求解。这要求学生具备良好的运算能力和逻辑思维能力。问题：（1）结合材料，谈谈在数学教学中培养学生数学思维能力的重要性。（5分）（2）请举例说明在数学教学中如何培养学生的逻辑推理能力。（10分）五、教学设计题（1题，15分）请设计一份关于“直线、平面垂直的判定”的教学方案，要求：（1）教学目标明确，符合高中学生的认知水平。（5分）（2）教学重难点突出，能有效突破教学难点。（5分）（3）教学过程设计合理，包括教学方法的选择、教学环节的安排等，能够体现学生的主体地位。（5分）答案：一、1.C2.D3.B4.A5.A6.A7.A8.C9.A10.C二、1.\([-1,2)\cup(2,+\infty)\)2.63.24.\(y=-x+\pi\)5.2三、1.\(f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{\cos2x}{2}+\frac{1}{2}=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)，最小正周期\(T=\pi\)；单调递增区间\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}],k\inZ\)。2.（1）\(S_3=3a_1+3d=9\)，\(a_1=1\)，得\(d=2\)，\(a_n=2n-1\)；（2）\(b_n=2^{2n-1}\)，\(T_n=\frac{2(4^n-1)}{3}\)。3.\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}\)，在\((-2,+\infty)\)递增，则\(1-2a\lt0\)，\(a\gt\frac{1}{2}\)。4.（1）\(b=1\)，\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a=2\)，椭圆方程\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)；（2）设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，联立方程得\((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0\)，\(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0\)，得\(5m^2=4(1+k^2)\)，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{4\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{1+4k^2-m^2}}{1+4k^2}\)，\(O\)到直线距离\(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}\)，\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{2|m|\sqrt{