2025 九年级数学上册投影长度与时间关系课件

一、教学背景与设计思路演讲人01.02.03.04.05.目录教学背景与设计思路教学目标与重难点教学过程设计（递进式探究）课后作业与拓展建议结语：数学，是生活的精确注脚2025九年级数学上册投影长度与时间关系课件01教学背景与设计思路教学背景与设计思路作为九年级数学教师，我在备课过程中常思考：如何让抽象的数学知识与学生的生活经验产生深度联结？《投影长度与时间关系》这一课题恰好提供了极佳的切入点——它既是“投影与视图”章节的延伸，也是函数应用的典型场景，更能让学生在“用数学眼光观察世界”的过程中，体会“数学建模”的核心素养。本章内容上承“平行投影与中心投影”的基础概念，下启“用函数模型解决实际问题”的综合应用，是几何与代数的交汇点。学生通过本课题的学习，不仅能深化对投影本质的理解，更能掌握“从现象到数据，从数据到模型”的研究方法，这对培养他们的科学思维与应用意识至关重要。基于此，我将本节课的设计定位为“以实验为载体，以问题为驱动，以建模为主线”，力求让知识“活”起来，让思维“动”起来。02教学目标与重难点1教学目标从“三会”（会用数学眼光观察、会用数学思维思考、会用数学语言表达）的核心素养出发，我将教学目标细化为三个维度：知识与技能：理解投影长度随时间变化的规律，能区分平行投影（如太阳投影）与中心投影（如灯光投影）下的不同模型；掌握通过实验测量、数据拟合建立函数关系式的方法；能利用模型解决“某时刻投影长度”“最短投影时间”等实际问题。过程与方法：经历“提出问题—设计实验—收集数据—分析规律—建立模型—验证应用”的完整探究过程，提升数据处理能力、图像分析能力及数学建模能力。情感态度与价值观：通过观察生活中的投影现象（如旗杆影子、路灯下的行人），感受数学与生活的紧密联系；在小组合作中体会团队协作的价值，在模型构建中增强解决实际问题的信心。2教学重难点重点：建立投影长度与时间的函数模型，理解不同投影类型对模型的影响。难点：从实际情境中抽象出数学模型，区分平行投影与中心投影下的变量关系；处理实验数据中的误差，合理选择函数类型（一次函数、二次函数或反比例函数）。03教学过程设计（递进式探究）1情境导入：从生活现象到数学问题（5分钟）“同学们，上周体育课自由活动时，我看到大家在讨论：为什么上午的影子越来越短，下午又越来越长？现在，我们就用数学的眼光来破解这个‘影子的秘密’。”我展示两段视频：一段是校园旗杆从7:00到17:00的影子变化延时摄影（平行投影），另一段是路灯下学生从远到近走过时影子长度的变化（中心投影）。学生观察后，我抛出问题链：1情境导入：从生活现象到数学问题（5分钟）影子长度与时间有什么关系？两种投影（太阳vs路灯）下的变化规律一样吗？01如何用数学工具描述这种关系？02通过直观现象引发认知冲突，学生自然产生“想探究、想验证”的学习动机。032实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。我们需要用数据说话！”2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）2.1实验设计（师生共商）分工协作：4人一组，1人记录时间，1人测量影长，1人复核数据，1人整理表格（如表1）。实验对象：选择校园内固定物体（如旗杆、篮球架），或自制2米高的标杆（确保高度不变，控制变量）。测量时间：选择晴天，从8:00到16:00，每2小时测量一次（共5组数据）；若条件允许，可增加测量频率（如每小时一次）以提高精度。测量工具：卷尺（测影长）、电子手表（记录时间）、量角器（辅助测量太阳高度角，可选）。|时间（时）|8:00|10:00|12:00|14:00|16:00|2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）2.1实验设计（师生共商）|------------|------|-------|-------|-------|-------||影长（米）||||||2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）2.2实验操作（学生实践）我带领学生到操场，强调注意事项：测量时标杆需垂直地面（可用直角尺检查）；影长测量需从标杆底部到影子顶端的直线距离；同一时间重复测量2次，取平均值减少误差。过程中，学生们边操作边讨论：“12:00的影子最短，是不是和太阳直射有关？”“下午的影长和上午对称吗？”这些自发的疑问，正是思维激活的体现。2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）2.3数据整理（初步分析）实验结束后，各组汇总数据。以某组实测数据为例（标杆高2米）：在右侧编辑区输入内容|时间（时）|8:00|10:00|12:00|14:00|16:00|在右侧编辑区输入内容|------------|------|-------|-------|-------|-------|在右侧编辑区输入内容|影长（米）|4.2|2.1|0.8|2.3|4.5|在右侧编辑区输入内容学生观察表格，很快发现规律：“上午影长逐渐缩短，12:00左右最短，下午逐渐变长，整体呈对称趋势。”这为后续建模奠定了直观基础。在右侧编辑区输入内容3.3模型构建：从数据到函数，揭示本质（25分钟）“数据是现象的语言，函数是规律的密码。我们需要用数学工具翻译这些数据。”2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）3.1绘制散点图，判断函数类型我引导学生以时间为x轴（以12:00为原点，记为t=0，8:00为t=-4，10:00为t=-2，14:00为t=2，16:00为t=4），影长为y轴，绘制散点图（如图1）。观察图像，学生发现：“点的分布近似抛物线，开口向上”“以t=0为对称轴”。这提示影长y与时间t可能满足二次函数关系，即y=at²+b（因对称轴为t=0，一次项系数b=0）。2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）3.2代入数据，求解函数关系式选取三组数据（t=-4,y=4.2；t=-2,y=2.1；t=0,y=0.8）代入y=at²+c：1当t=0时，y=c=0.8；2当t=-2时，2.1=a×(-2)²+0.8→4a=1.3→a=0.325；3验证t=-4时，y=0.325×16+0.8=5.2+0.8=6.0，但实测值为4.2，存在误差。4“为什么会有误差？”学生讨论后意识到：5太阳高度角的变化并非严格对称（受季节、纬度影响，本节课假设为理想情况）；6测量时间间隔较大（每2小时一次），无法捕捉更精确的变化；72实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）3.2代入数据，求解函数关系式标杆高度是否完全垂直？影长是否受地面坡度影响？针对误差，我补充说明：“数学模型是对现实的近似描述，关键是抓住主要因素。若增加测量频率（如每半小时一次），散点图会更接近抛物线。”2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）3.3对比中心投影：另一种模型为区分平行投影与中心投影，我展示另一组实验数据（路灯高5米，学生身高1.6米，从距离路灯8米处走向路灯，记录影长变化）：|人到路灯距离（米）|8|6|4|2|0||--------------------|---|---|---|---|---||影长（米）|4|2.4|1.6|0.8|0|学生绘制散点图后发现：“影长y与人到路灯的距离x成正比例关系”“y=(1.6/5)x=0.32x”（根据相似三角形原理，身高/路灯高=影长/(影长+人到路灯距离)，推导得y=(h/H-h)x，其中h为身高，H为路灯高）。通过对比，学生明确：2实验探究：测量数据，感知规律（20分钟）3.3对比中心投影：另一种模型平行投影（太阳）下，影长随时间变化的模型是二次函数（因太阳高度角随时间呈周期性变化）；中心投影（灯光）下，影长随物体与光源距离的变化模型是一次函数（因光线从点光源出发，遵循相似三角形规律）。4应用拓展：用模型解决实际问题（15分钟）“数学的价值在于应用。现在，我们用模型解决生活中的问题。”4应用拓展：用模型解决实际问题（15分钟）4.1平行投影案例：预测影长与最短时间问题1：根据之前的二次函数模型（假设修正后为y=0.2t²+0.8，t为12:00为原点的小时数），预测11:00（t=-1）的影长是多少？学生计算：y=0.2×(-1)²+0.8=1.0米，与实测值（假设11:00影长1.1米）接近，验证模型合理性。问题2：一天中影子最短的时刻是几点？学生分析：二次函数y=at²+c的最小值在t=0（即12:00），对应正午太阳高度角最大时，符合生活经验。4应用拓展：用模型解决实际问题（15分钟）4.2中心投影案例：设计路灯高度问题3：某小区需在道路旁安装路灯，要求当行人距离路灯5米时，影长不超过1米（行人身高1.7米）。求路灯至少多高？学生利用相似三角形模型：h/H=y/(y+x)→H=h(x+y)/y=1.7×(5+1)/1=10.2米。通过这些问题，学生体会到“模型建立—验证—应用”的完整流程，真正实现“学数学、用数学”。5总结反思：从知识到思维，升华认知（5分钟）“今天的探究，我们不仅知道了影子长度与时间的关系，更重要的是学会了用数学方法研究生活现象。”我引导学生从三方面总结：知识层面：平行投影下影长与时间的二次函数模型，中心投影下的一次函数模型；方法层面：“实验测量—数据拟合—模型验证—实际应用”的研究方法；思维层面：数学建模的核心是“抽象本质，简化问题，用数学语言描述规律”。学生分享收获时，有位同学说：“原来影子的变化不是随机的，而是可以用函数精确描述的！以后看太阳影子，我会不自觉地想它的函数表达式。”这种“数学眼光”的养成，正是本节课最珍贵的成果。04课后作业与拓展建议1基础作业整理实验数据，绘制影长-时间散点图，尝试用不同函数（一次、二次）拟合，比较哪种更符合实际。查阅资料，了解“日晷”的工作原理，分析其如何利用太阳投影与时间的关系计时。2拓展作业选择不同日期（如春分、夏至）重复实验，观察影长-时间模型的变化，思考原因（提示：太阳直射点移动影响正午太阳高度角）。拍摄自家阳台植物在一天中的影子变化，用手机计时软件记录关键时间点的影长，建立模型并预测次日同一时间的影长，验证模型准确性。0