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第6讲导数与不等式的证明考点一构造差函数证明不等式考点二分离函数法证明不等式目录索引考点三放缩法证明不等式考点一构造差函数证明不等式理知识在证明不等式f(x)>0(f(x)<0)时,可通过证明f(x)min>0(f(x)max<0)来实现,因此关键是求出函数f(x)的最小值(最大值).在求函数f(x)的最值时,主要利用导数通过单调性及极值求得,有以下几种情形:(1)直接求得f(x)的最值,且最值是一个具体的实数.(2)求得f(x)的最值,且最值是一个含有参数的代数式,再说明该代数式的最值大于0(小于0).(3)通过隐零点求得f(x)的最值,再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0).链高考(2023新高考Ⅱ,22节选)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x.证明

设h(x)=sin

x-x,x∈[0,1],则h'(x)=cos

x-1≤0对∀x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0时有h'(0)=0,所以函数h(x)在[0,1]上单调递减.所以对∀x∈(0,1),有h(x)<h(0)恒成立.又因为h(0)=0,所以sin

x-x<0恒成立.所以sin

x<x,x∈(0,1).设g(x)=sin

x-(x-x2),则g'(x)=cos

x+2x-1.令G(x)=cos

x+2x-1,则G'(x)=-sin

x+2>0对∀x∈[0,1]恒成立,所以g'(x)在x∈[0,1]上单调递增,且因为g'(0)=1+0-1=0,所以对∀x∈[0,1],g'(x)≥0恒成立,且仅在x=0时有g'(0)=0,所以函数y=g(x)在[0,1]上单调递增.所以对∀x∈(0,1),有g(x)>g(0)恒成立.又因为g(0)=0,所以sin

x+x2-x>0对∀x∈(0,1)恒成立.所以x-x2<sin

x,x∈(0,1).综上可知,x-x2<sin

x<x,x∈(0,1)成立.

x(-∞,-ln

a)-ln

a(-ln

a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln

a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln

a).综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln

a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln

a).

随a的变化,g'(a),g(a)的变化如下表:ag'(a)

-0+g(a)↘极小值↗

考点二分离函数法证明不等式

考点三放缩法证明不等式理知识

链高考

(1)解

当a=1时,f(x)=xex-ex,f'(x)=xex.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(

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