2026届高三数学二轮复习课件：专题6 函数与导数 第7讲 导数与函数的零点

第7讲导数与函数的零点考点一判断函数零点的个数考点二根据函数零点的个数求参数的取值范围目录索引考点一判断函数零点的个数理知识判断函数零点个数的方法1.利用函数单调性和零点存在定理(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.2.利用数形结合函数的零点个数即函数图象与x轴交点的个数,因此借助数形结合思想,可通过函数图象判断函数的零点个数.(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况,并结合函数值的正负情况及变化趋势,作出函数f(x)的大致图象,然后根据图象判断零点个数.(2)若函数f(x)的图象不易直接作出,可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根,再将方程进行变形,转化为两个函数的图象交点问题,从而判断函数的零点个数.链高考(多选题)(2022新高考Ⅰ卷,10)已知函数f(x)=x3-x+1,则(

)A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线AC

∵f(x)+f(-x)=2,∴点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心.由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;曲线y=f(x)在点(-1,1)处的切线方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直线y=2x与曲线y=f(x)不相切.故选AC.例1

(2025广东珠海模拟)已知函数f(x)=ax-lnx-2.(1)当a≤0时,讨论f(x)的零点个数;(2)当a=1时,证明:f(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点.

【对点训练1】(2025山东临沂模拟)已知函数f(x)=x2lnx-ax2+a,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最值;(2)讨论f(x)的零点个数.

考点二根据函数零点的个数求参数的取值范围理知识已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法链高考1.(2023全国乙,文8)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2) B.(-∞,-3)C.(-4,-1) D.(-3,0)B

x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增a-1单调递减

x(0,1)1f'(x)+0-0+f(x)单调递增a-1单调递减1-a+(a+1)ln

a单调递增

x1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增1-a+(a+1)ln

a单调递减a-1单调递增

例2

(2022全国乙,理21)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,所以当x>0时,g(x)>0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,不符合题意,舍去.若a<-1,则g(0)<0,又g(-1)=1>0,g(1)=1>0,当x>1时,g(x)>0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x)=0.所以f(x)在区间(-1,x1),(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)<f(0)=0,当x∈(x1,0)时,f(x)>0恒成立;当x∈(0,x2)时,f(x)<0恒成立.令h(x)=xe-x,则h'(x)=e-x(1-x),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x>1时,0<h(x)<h(1)=e-1<1.又a<-1,所以当x>1时,axe-x>a.取x=e-a,因为a<-1,0<x2<1,所以e-a>e>x2,所以f(e-a)>ln(1+e-a)+a>ln

e-a+a=0.又f(x2)<0,所以f(x)在区间(x2,+∞)内只有一个零点,即f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点.由h'(x)=e-x(1-x),知当-1<x<0时,h'(x)>0,所以h(x)在区间(-1,0)内单调递增,所以当-1<x<0时,h(-1)<h(x),即xe-x>-e.又a<-1,所以axe-x<-ae.取x=e3a-1∈(-1,0),则f(e3a-1)<ln(1+e3a-1)-ae