2026届高三数学二轮复习课件：专题6 函数与导数 培优拓展12 抽象函数问题

培优拓展(十二)抽象函数问题类型一赋值法类型二特殊函数模型法目录索引类型三抽象函数性质的综合抽象函数是指未给出具体解析式,仅通过某些特征或性质来定义的函数.以抽象函数为背景的综合题型,通常借助函数性质的代数描述,全面考查学生的数学符号语言理解与运用能力、代数推理与论证能力,以及对一般性与特殊性关系的把握.这类问题既体现了高考命题对学生能力的深度考查,也是近年来高考的热点与难点之一.类型一赋值法例1

(多选题)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(

)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点ABC解析

对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.

D

类型二特殊函数模型法

A解析

(方法一

赋值法)令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,

BC

类型三抽象函数性质的综合

ABD

ABD

【对点训练3】(多选题)(2025江西宜春二模)已知函数f(x)(x∈R),对任意a,b∈R,均有f(a+b)-f(a-b)=2f(1-a)f(b),且f(1)=1,f'(x)为f(x)的导函数,则下列选项正确的是(

)A.f(2025)=1B.f(x)为偶函数C.f'(1)+f'(2)+…+f'(2025)=0D.[f(x)]2+[f(1-x)]2=1ACD解析

f(a+b)-f(a-b)=2f(1-a)f(b),令a=1,b=0,得2f(0)f(0)=0,解得f(0)=0;令a=0,则f(b)-f(-b)=2f(1)f(b),又f(1)=1,所以f(b)-f(-b)=2f(b),得-f(-b)=f(b),对于任意的b∈R都成立,所以y=f(x)为奇函数,故B错误;令a=1-x,b=x,得f(1)-f(1-2x)=2f(x)f(x),①把x换成1-x,得f(1)-f(2x-1)=2f(1-x)f(1-x),②又f(x)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(1-2x),又f(1)=1,所以①+②得1=[f(x)]2+[f(1-x)]2,故D正确;令a=1+x,b=1,得f(x+1+1)-f(x+1-1)=2f(1-x-1)f(1),所以f(x+2)-f(x)=2f(-x),又f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,得f(2

025)=f(1)=1,故A正确;f(a+b)-f(a-b)=2f(1-a)f(b),等式两边同时对b求导,得f'(a+b)+f'(a-b)=2f(1-a)f'(b),令b=0,得f'(a)+f'(a)=2f(1-a)f'(0),即f'(a)=f(1-a)f'(0),③由f(-x)=-f(x),得f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数,由f(x+2)=-f(x),得f'(x+2)=-f'(x),所以f'(x+4)=-f'(x+2)=f'(x),所以函数f'(x)的周期为4.令a=1,b=0,由③得f'(1)=f(0)f'(0)=0,则f'(3)=-f'(1)=0,即f'(1)+f'(3)=0.f'(2)+f'(4)=f'(2)+f'(0)=f