《平面与平面垂直》教案上学课件

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时学习目标素养要求1．理解平面与平面垂直的性质定理直观想象2．会应用面面垂直的性质定理证明空间位置关系的简单命题逻辑推理|自学导引|

平面与平面垂直的性质定理一个平面内交线垂直a⊂α

a⊥l

【预习自测】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是

(

)A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直 D．相交且垂直【答案】D

【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又∵EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，故选D．如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？【提示】正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.|课堂互动|题型1面面垂直性质定理的应用如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．平面与平面垂直的性质及应用若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：一是两个平面垂直是前提条件；二是直线必须在其中一个平面内；三是直线必须垂直于它们的交线．1．如图，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．证明：∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面VAB．又∵VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA．又∵VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA．又∵VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC．∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC．题型2线线、线面、面面垂直的综合应用如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD．(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE．所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD．又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF．所以CD⊥EF．又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF．又因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．垂直关系的互化及解题策略(1)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件．(2)对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题，充分利用好“平行关系链”与“垂直关系链”．2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．易错警示对面面垂直性质定理的条件把握不准确致误

已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是 (

)A．3 B．2 C．1 D．0错解：B易错防范：④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内．

对于④，很容易认为是正确的而错选B．“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过一点作的直线不一定在平面内．正解：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD．对于①，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②显然正确；对于③，AD1⊂平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故③错误；对于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，过点D作AD的垂线，假设为C1D，易证C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD显然不成立，故④错误．综上，正确命题的个数为1．故选C．|素养达成|面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归、转化思想，其转化关系如下：1．(题型1)下列命题中错误的是 (

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D

【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．2．(题型1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 (

)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【答案】D

【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面、相交直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．3．(题型1)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是 (

)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【答案】D

【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D．4．(题型1)如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．【答案】6

【解析】∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB．又∵平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD．∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△A