《平面》教案上学课件

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面学习目标素养要求1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面直观想象2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系直观想象3．了解基本事实1,2,3，理解基本事实1,2,3的地位与作用直观想象、逻辑推理|自学导引|平面1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是________________的．向四周无限延展2．平面的画法(1)我们常用_____________表示平面，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_____向，当平面竖直放置时，常把平行四边形一边画成_____向．水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图1．平行四边形横竖(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用______画出来．如图2．虚线3．平面的表示法图1的平面可表示为_______、__________、_________或_______．平面α

平面ABCD

平面AC

平面BD

【预习自测】有下列说法：①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100m，宽是90m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．其中正确的个数为 (

)A．0

B．1C．2

D．3【答案】B【解析】①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误，因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念．平面的基本性质基本事实内容图形符号基本事实1过________________的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α不在一条直线上基本事实内容图形符号基本事实2如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒

______基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________P∈α，P∈β⇒

________________两个点l⊂α

公共直线α∩β＝l，且P∈l

特别提醒三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)三点可以确定一个平面． (

)(2)一条直线和一个点可以确定一个平面． (

)(3)四边形是平面图形． (

)(4)两条相交直线可以确定一个平面． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√【解析】(1)不共线的三点可以确定一个平面．(2)一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面．(3)四边形不一定是平面图形．(4)两条相交直线可以确定一个平面．|课堂互动|题型1立体几何三种语言的相互转化用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与平面α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．解：(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图1．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图2．三种语言的转换的注意点(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先注意观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，如图1．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，如图2．图1图2

题型2点线共面问题如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ⊂α．证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β．∴直线a⊂β，点P∈β．∵P∈b，b⊂α，∴P∈α．又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α．解决点线共面问题的基本方法2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．解：已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：(方法一)因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α．因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．(方法二)因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α．因为B∈BC，所以B∈α，又因为A∈α，所以AB⊂α．同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．(方法三)因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α．因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α．同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．题型3点共线、线共点问题如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．所以AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M．又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共点(相交于一点)．证明点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β．又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与平面β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．易错警示应用公理或其推论时忽略条件致误已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？错解：A，B，C，D，E五点一定共面．因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内．因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内．所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．易错防范：错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三点”这个重要条件．实际上B，C，D三点有可能共线．正解：①如果B，C，D三点不共线，则B，C，D三点确定一个平面α．因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内．因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内．所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．②如果B，C，D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．|素养达成|1．立体几何的三种语言．(体现逻辑推理、直观想象核心素养)图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．2．三个基本事实的作用：基本事实1——判定点共面、线共面的依据；基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．3．证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．1．(题型2)下列说法中正确的是 (

)A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点【答案】C【解析】不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C．2．(题型1)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是 (

)A．A∈l，l∉α

B．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄α

D．A⊂l，l∉α【答案】B【解析】点与直线、直线与平面间的关系分别用“∈”或“∉”和“⊂”或“⊄”表示．3．(题型2,3)如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是 (

)A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行【答案】B【解析】两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．4．(题型1)设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________．【答案】C【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB．∴AB∩β＝C．5．(题型3)如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R．求证：