2025 九年级数学下册二次函数图像与直线 y=ax 相切条件推导课件

一、知识铺垫：从“位置关系”到“相切”的定义演讲人知识铺垫：从“位置关系”到“相切”的定义总结与升华易错点与思维提升典型例题：相切条件的应用与验证相切条件的推导过程：从“形”到“数”的转化目录2025九年级数学下册二次函数图像与直线y=ax相切条件推导课件各位同学，今天我们要共同探索一个重要的数学问题：二次函数图像与直线(y=ax)相切的条件推导。这个问题既是二次函数与一次函数位置关系的深化，也是后续学习解析几何的基础。作为陪伴大家走过初中数学旅程的数学老师，我希望通过今天的推导，不仅让大家掌握具体的结论，更能理解“用代数方法研究几何问题”的核心思想——这正是数学中“数形结合”的魅力所在。01知识铺垫：从“位置关系”到“相切”的定义1二次函数与直线的三种位置关系在学习一次函数与二次函数的图像时，我们已经知道，平面直角坐标系中，一条直线与抛物线（二次函数图像）的位置关系有三种可能：相交：直线与抛物线有两个不同的公共点；相切：直线与抛物线有且仅有一个公共点（此时直线称为抛物线的切线）；相离：直线与抛物线没有公共点。这三种关系可以通过联立两者的解析式，转化为一元二次方程的解的个数问题：设二次函数为(y=px^2+qx+r)（(p\neq0)），直线为(y=ax+b)，联立后得到方程(px^2+(q-a)x+(r-b)=0)。根据判别式(\Delta=(q-a)^2-4p(r-b))的符号：1二次函数与直线的三种位置关系(\Delta>0)时，方程有两个不同实根，对应相交；(\Delta=0)时，方程有两个相同实根（重根），对应相切；(\Delta<0)时，方程无实根，对应相离。1.2本节课的特殊情形：直线为(y=ax)今天我们聚焦的是直线为(y=ax)（即常数项(b=0)）的特殊情形。这种直线过原点，斜率为(a)，是一类常见的“正比例函数”图像。我们需要推导：当二次函数(y=px^2+qx+r)（(p\neq0)）与直线(y=ax)相切时，参数(p,q,r,a)需满足什么条件？02相切条件的推导过程：从“形”到“数”的转化1联立方程，建立代数模型要研究二次函数与直线(y=ax)的相切条件，首先需要将两者的解析式联立，得到关于(x)的方程。具体步骤如下：设二次函数为(y=px^2+qx+r)（(p\neq0)），直线为(y=ax)。联立得：[px^2+qx+r=ax]整理后得到一元二次方程：[px^2+(q-a)x+r=0\quad(1)]2利用判别式分析根的个数根据二次函数与直线相切的定义，两者有且仅有一个公共点，即方程(1)有且仅有一个实根（重根）。对于一元二次方程(Ax^2+Bx+C=0)（(A\neq0)），当判别式(\Delta=B^2-4AC=0)时，方程有重根。因此，方程(1)的判别式需满足：[\Delta=(q-a)^2-4\cdotp\cdotr=0]展开后得到：[2利用判别式分析根的个数(q-a)^2=4pr\quad(2)]这就是二次函数(y=px^2+qx+r)与直线(y=ax)相切的条件。3对条件的进一步解读为了更直观地理解条件(2)，我们可以从以下角度分析：几何意义：判别式(\Delta=0)意味着直线(y=ax)恰好“触碰到”抛物线的最低点或最高点（当(p>0)时，抛物线开口向上，最低点为顶点；当(p<0)时，开口向下，最高点为顶点），此时直线是抛物线在该点的切线。代数关系：条件((q-a)^2=4pr)揭示了二次函数的系数(p,q,r)与直线斜率(a)之间的定量联系。已知其中三个参数时，可以求出第四个参数。03典型例题：相切条件的应用与验证典型例题：相切条件的应用与验证3.1已知二次函数与直线，求相切时的斜率(a)例1：已知二次函数(y=2x^2-4x+3)，求与直线(y=ax)相切时的(a)值，并求出切点坐标。解析：联立方程(2x^2-4x+3=ax)，整理得(2x^2-(4+a)x+3=0)；相切时判别式(\Delta=0)，即([-(4+a)]^2-4\times2\times3=0)；计算得((4+a)^2=24)，解得(a=-4\pm2\sqrt{6})；典型例题：相切条件的应用与验证求切点坐标：当(a=-4+2\sqrt{6})时，方程的重根为(x=\frac{4+a}{2\times2}=\frac{4+(-4+2\sqrt{6})}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2})，代入直线方程得(y=ax=(-4+2\sqrt{6})\times\frac{\sqrt{6}}{2}=-2\sqrt{6}+6)，即切点为(\left(\frac{\sqrt{6}}{2},6-2\sqrt{6}\right))；同理可求(a=-4-2\sqrt{6})时的切点。结论：当(a=-4\pm2\sqrt{6})时，直线(y=ax)与该二次函数相切，切点分别为上述坐标。2已知相切条件，求二次函数的系数例2：已知二次函数(y=px^2+2x+1)与直线(y=4x)相切，求(p)的值。解析：联立方程(px^2+2x+1=4x)，整理得(px^2-2x+1=0)；相切时判别式(\Delta=(-2)^2-4\timesp\times1=0)；解得(4-4p=0)，即(p=1)。2已知相切条件，求二次函数的系数验证：当(p=1)时，二次函数为(y=x^2+2x+1=(x+1)^2)，其顶点为((-1,0))，直线(y=4x)与抛物线联立得(x^2+2x+1=4x)，即(x^2-2x+1=0)，解得(x=1)（重根），对应(y=4)，切点为((1,4))，验证无误。3结合顶点性质的综合应用例3：二次函数(y=-x^2+bx+c)的顶点在直线(y=2x)上，且该二次函数与直线(y=ax)相切，求(a)与(b,c)的关系。解析：二次函数的顶点横坐标为(x=-\frac{b}{2\times(-1)}=\frac{b}{2})，纵坐标为(y=-\left(\frac{b}{2}\right)^2+b\times\frac{b}{2}+c=\frac{b^2}{4}+c)；顶点在直线(y=2x)上，故(\frac{b^2}{4}+c=2\times\frac{b}{2})，即(c=b-\frac{b^2}{4})；3结合顶点性质的综合应用联立二次函数与直线(y=ax)，得(-x^2+bx+c=ax)，整理为(-x^2+(b-a)x+c=0)；相切时判别式(\Delta=(b-a)^2-4\times(-1)\timesc=0)，代入(c=b-\frac{b^2}{4})得：[(b-a)^2+4\left(b-\frac{b^2}{4}\r3结合顶点性质的综合应用ight)=0]展开化简得((b-a)^2+4b-b^2=0)，即(a^2-2ab+4b=0)，进一步整理为(a^2=2b(a-2))。结论：(a)与(b,c)满足(a^2=2b(a-2))（其中(c=b-\frac{b^2}{4})）。04易错点与思维提升1常见误区分析混淆二次函数与直线的系数：例如，二次函数设为(y=ax^2+bx+c)时，直线若为(y=ax)，需注意两者的(a)是不同参数，避免符号冲突（建议二次函数用(y=px^2+qx+r)表示）。忽略二次项系数非零：二次函数的定义要求(p\neq0)，若题目中未明确说明，需验证(p\neq0)。误用判别式条件：相切对应(\Delta=0)，但需确保联立后的方程是一元二次方程（即二次项系数非零），若二次项系数为零，则退化为一次方程，此时直线与抛物线可能平行（无交点）或重合（无数交点），但不可能相切。2思维方法总结数形结合：通过图像理解相切的几何意义（仅有一个公共点），再通过代数方法（联立方程、判别式）转化为数量关系，这是解决此类问题的核心思路。01分类讨论：当二次函数的开口方向（(p>0)或(p<0)）不同时，切线可能位于抛物线的上方或下方，但判别式条件(\Delta=0)对所有情况均适用，无需额外分类。02逆向思维：已知相切条件时，可通过判别式反推参数值，这是解决“存在性问题”的常用方法（如“是否存在某个(a)使直线与抛物线相切”）。0305总结与升华总结与升华今天我们通过“联立方程—分析判别式—验证应用”的步骤，推导出了二次函数(y=px^2+qx+r)与直线(y=ax)相切的条件：((q-a)^2=4pr)。这一结论不仅是二次函数与一次函数位置关系的具体应用，更体现了“用代数方法研究几何问题”的数学思想——这是贯穿整个中学数学的重要方法，也是后续学习解析几何的基础。同学们，数学的魅力在于“从特殊到一般”的归纳，也在于“从具体到抽象”的升华。今天的推导过程中，我们从“相切”这一特殊位置出发，通过代数运算得到了普遍适用的条件；未来在学习更复杂的曲线（如圆、椭圆）与直线的位置关系时，这种方法依然有效。希望大家记住：遇到几何问题时，不妨先尝试用代数语言描述，再通过方程与不等式求解——这就是数学的“翻译”艺术。总结与升华最后，让我们用一句话总结今天的核心：二次函数与直线(y=ax)相切的充要条件是联立后的一元二次方程判别式为零，即((q-a)^2=4pr)。课后练习：已知二次函数(y