2025 九年级数学下册三棱柱展开图折叠后顶点对应课件

一、教学背景与目标定位演讲人目录01.教学背景与目标定位02.教学过程设计：从直观感知到理性归纳03.基础题（全体学生）04.总结与升华：从操作经验到数学思想05.板书设计（精简版）06.核心原理：边重合→顶点重合2025九年级数学下册三棱柱展开图折叠后顶点对应课件01教学背景与目标定位教学背景与目标定位作为九年级数学教师，我深知“空间观念”是初中几何核心素养的重要组成部分。三棱柱展开图与顶点对应的学习，既是对七年级“立体图形与平面图形”的深化，也是为后续学习“投影与视图”“立体几何初步”奠定基础。经过前期调研，我发现学生虽能识别三棱柱的基本结构（3个矩形侧面+2个三角形底面，共5个面；9条棱，6个顶点），但面对展开图时，常因“平面到立体”的转化障碍，无法准确判断折叠后顶点的对应关系。这一痛点正是本节课的突破方向。教学目标知识与技能：掌握三棱柱展开图的常见类型，能通过折叠操作明确展开图中各顶点与原三棱柱顶点的对应关系；理解“边重合即顶点重合”的核心原理，能运用该原理解决展开图与立体图形的顶点对应问题。01过程与方法：经历“观察-猜想-操作-验证”的探究过程，通过手工折叠、小组合作、动态演示等活动，提升空间想象能力与几何直观素养；学会用“标记法”“邻面分析法”分析顶点对应关系。02情感态度与价值观：在“平面-立体”的转化中感受数学的对称美与结构美，体会“转化思想”在几何学习中的应用价值；通过解决真实问题（如包装盒设计），增强数学学习的应用意识与成就感。03教学重难点重点：三棱柱展开图的顶点对应规律，即如何通过展开图的邻接关系确定折叠后顶点的位置。难点：从展开图的二维平面信息（边的长度、面的邻接顺序）到三维立体顶点位置的空间映射，尤其是非标准展开图（如侧棱未完全展开的“错位型”展开图）的顶点对应分析。02教学过程设计：从直观感知到理性归纳情境导入：从生活实例到数学问题上课伊始，我展示了一个学生熟悉的三棱柱实物——手工制作的三角形礼品盒（底面为等边三角形，侧棱高10cm）。“大家看，这个盒子拆开后是什么样子？”边说边沿着侧棱剪开，将其平铺在讲台上。学生立刻被吸引，纷纷猜测展开图的形状。我顺势提问：“展开图中每个顶点（用彩色贴纸标记为A₁、B₁、C₁、A₂、B₂、C₂），折叠后会和原盒子的哪些顶点重合？”这个问题直接指向本节课核心，激发了学生的探究欲望。知识铺垫：三棱柱的基本结构再认识为避免“展开图分析”成为无源之水，我引导学生用“三要素法”回顾三棱柱结构：顶点：上下底面各3个顶点，分别记为上底面△ABC的A、B、C，下底面△A'B'C'的A'、B'、C'（默认侧棱AA'、BB'、CC'垂直于底面）。面：2个三角形底面（△ABC、△A'B'C'），3个矩形侧面（ABB'A'、BCC'B'、CAA'C'）。棱：6条侧棱（AA'、BB'、CC'）与底面6条边（AB、BC、CA、A'B'、B'C'、C'A'），其中侧棱长度相等，底面边长由三角形类型决定（本节课以直三棱柱为例，底面为任意三角形）。通过板书画图（图1：直三棱柱立体图，标注所有顶点），学生明确了“顶点由面的交线决定”这一基本事实，为后续分析展开图的邻接面关系埋下伏笔。展开图的类型与顶点分布规律三棱柱展开图的本质是将5个面（2底3侧）按一定顺序平铺成平面图形，关键是“侧面展开方式”与“底面连接位置”。我通过实物演示、PPT动态展开、学生动手剪拼三个维度，归纳出三类常见展开图：展开图的类型与顶点分布规律标准“1-3-1”型展开图（最常见）结构特征：3个矩形侧面沿一条侧棱展开成“一”字形（长度为底面周长，宽度为侧棱长），上下各连接一个三角形底面（分别与首尾两个矩形侧面的上下边重合）。顶点分布（结合图2：标准展开图，标注顶点）：中间三个矩形的左右边依次对应侧棱AA'、BB'、CC'（如左数第一个矩形左边为AA'，右边为BB'；第二个矩形左边为BB'，右边为CC'；第三个矩形左边为CC'，右边为AA'，形成闭环）。上底面△ABC连接在三个矩形的上边，顶点A与第一个矩形上边左端点重合，B与第一个矩形上边右端点（即第二个矩形上边左端点）重合，C与第二个矩形上边右端点（即第三个矩形上边左端点）重合，第三个矩形上边右端点回到A（因底面是三角形，CA边闭合）。展开图的类型与顶点分布规律标准“1-3-1”型展开图（最常见）下底面△A'B'C'连接在三个矩形的下边，顶点A'与第一个矩形下边左端点重合，B'与第一个矩形下边右端点（即第二个矩形下边左端点）重合，C'与第二个矩形下边右端点（即第三个矩形下边左端点）重合，第三个矩形下边右端点回到A'。关键结论：标准展开图中，顶点沿“侧面矩形的边”呈线性排列，上下底面顶点分别对应侧面矩形的上下边端点，相邻顶点的间隔等于底面边长（如AB的长度对应第一个矩形的上边长度）。2.错位“2-2-1”型展开图（次常见）结构特征：两个矩形侧面沿一条侧棱展开，第三个矩形侧面“错位”连接在其中一个矩形的侧边，两个底面分别连接在不同位置的边（如图3：第二个矩形右侧连接第三个矩形，上底面连接在第一个矩形上边，下底面连接在第三个矩形下边）。展开图的类型与顶点分布规律标准“1-3-1”型展开图（最常见）顶点分布：此类展开图的顶点不再严格线性排列，需通过“邻面边重合”判断。例如，若第一个矩形的右边是BB'，第二个矩形的左边是BB'（与第一个矩形右边重合），第二个矩形的右边是CC'，第三个矩形的左边是CC'（与第二个矩形右边重合），则三个矩形的侧棱AA'、BB'、CC'仍通过边重合形成闭环，但上下底面的连接位置可能偏离“一”字中心，导致顶点位置更分散。易错点提醒：学生常因“错位”导致顶点对应混乱，需强调“每条侧棱在展开图中表现为两条等长的线段（如AA'在展开图中可能被拆分为两段，分别位于不同矩形的边），折叠时这两段必须完全重合，对应顶点A与A'也随之重合”。展开图的类型与顶点分布规律标准“1-3-1”型展开图（最常见）3.特殊“3-3”型展开图（较少见，但需了解）结构特征：三个矩形侧面以“品”字形展开（如第一个矩形水平放置，第二个矩形连接在其上方左边，第三个矩形连接在其上方右边），两个底面分别连接在“品”字的顶部和底部（如图4）。顶点分布：此类展开图的顶点分布最分散，需通过“面的邻接关系”逐层分析。例如，第一个矩形的上边是AB，左边是AA'，右边是BB'；第二个矩形的下边是AB（与第一个矩形上边重合），左边是AC，上边是CC'；第三个矩形的下边是BC（与第二个矩形右边重合），右边是BB'，上边是CC'。折叠时，所有标注为A的顶点必须重合为原三棱柱的顶点A，同理B、C、A'、B'、C'。教学策略：通过3D动态软件（如GeoGebra）演示折叠过程，让学生观察顶点从展开图的分散位置逐步汇聚到立体图的对应位置，直观理解“边重合→顶点重合”的本质。折叠操作：从实践中验证顶点对应关系为突破“空间想象”难点，我设计了“三步折叠法”实践活动：折叠操作：从实践中验证顶点对应关系准备材料（小组合作）每组发放一张印有展开图的硬纸板（图5：标准“1-3-1”型展开图，顶点标注为a、b、c、a'、b'、c'，未标注对应关系）、彩色马克笔、直尺。要求学生先观察展开图的面分布，猜测哪些顶点折叠后会重合。折叠操作：从实践中验证顶点对应关系标记与折叠第一步：标记边：用不同颜色笔标出所有侧棱（如红色标AA'，蓝色标BB'，绿色标CC'），观察展开图中每条侧棱被分成了几段（标准展开图中每侧棱对应一段，错位展开图中可能分成两段）。第二步：预折叠：沿侧棱虚线（手工图中用虚线表示折叠线）轻轻按压，形成折痕，感受面与面的邻接顺序。第三步：完全折叠：将展开图折叠成三棱柱，用透明胶带固定接口，确保各面紧密贴合。折叠操作：从实践中验证顶点对应关系验证与记录折叠完成后，用马克笔在立体图的顶点位置标注原展开图的字母（如折叠后顶部三角形的一个顶点是展开图的a，标注为A；底部对应顶点是a'，标注为A'）。小组讨论后，派代表上台展示并说明“为何a与A对应”（因a位于上底面三角形的一个端点，该端点所在边与第一个矩形的上边重合，而第一个矩形的上边对应原三棱柱的AB边，故a对应A）。规律归纳：顶点对应的“三看”原则通过实践操作与小组讨论，师生共同归纳出顶点对应的核心规律——“三看”原则：看面的邻接关系：展开图中相邻的面，折叠后必为立体图中相邻的面，其公共边的两个端点即为对应顶点。例如，展开图中矩形面1与三角形底面1相邻，公共边的两个端点折叠后必为底面三角形的两个顶点（如A和B）。看边的长度匹配：展开图中某条边的长度若等于原三棱柱底面边长（如AB=5cm），则该边的两个端点必对应底面顶点A和B；若等于侧棱长（如AA'=10cm），则对应侧棱端点A和A'。看顶点的出现次数：展开图中每个原三棱柱的顶点（如A）会在展开图中出现多次（标准展开图中A出现2次：上底面三角形的一个端点，第三个矩形右侧边的端点），折叠后这些点必须重合为同一个顶点A。典型例题：从理论到应用为巩固知识，我设计了分层例题：03基础题（全体学生）基础题（全体学生）题目：图6为一个直三棱柱的展开图（标准“1-3-1”型），其中上底面△abc的边长ab=3cm，bc=4cm，ca=5cm，侧棱长h=6cm。折叠后，展开图中的点a、b、c、a'、b'、c'分别对应原三棱柱的哪些顶点？解析：上底面△abc的边ab=3cm，对应原三棱柱上底面的AB边（AB=3cm），故a对应A，b对应B；边bc=4cm对应BC边，故c对应C；下底面△a'b'c'与上底面全等，且通过侧棱与上底面对应顶点连接，故a'对应A'（与a通过侧棱aa'=h=6cm连接），b'对应B'，c'对应C'。提高题（中等生）基础题（全体学生）题目：图7为一个错位展开图，其中矩形面1的右边与矩形面2的左边重合（均为BB'=6cm），矩形面2的右边与矩形面3的左边重合（均为CC'=6cm），矩形面3的右边与矩形面1的左边重合（均为AA'=6cm）；上底面△abc连接在矩形面1的上边（ab=3cm，bc=4cm，ca=5cm），下底面△a'b'c'连接在矩形面3的下边。折叠后，展开图中标记为x的点（位于矩形面2的上边中点）对应原三棱柱的哪个顶点？解析：矩形面2的上边长度=bc=4cm（因矩形面2的左右边为BB'和CC'，对应原三棱柱的侧面BCC'B'，其上边为BC=4cm），故矩形面2的上边左端点为B，右端点为C；基础题（全体学生）点x位于该上边中点，无对应顶点（原三棱柱顶点均为端点），但可通过邻面关系验证：若x到B的距离为2cm（4cm的一半），则折叠后x位于侧面BCC'B'的上边BC的中点，非顶点。拓展题（学优生）题目：是否存在一种展开图，使得原三棱柱的顶点A在展开图中仅出现1次？为什么？解析：三棱柱有6个顶点，每个顶点由3条棱相交而成（如A由AB、AC、AA'相交）；展开图中，每个顶点至少对应展开图中两条边的交点（如A在展开图中是上底面三角形的顶点，同时是矩形面1左边与矩形面3右边的交点）；基础题（全体学生）若展开图中A仅出现1次，则意味着该点是三条边的交点（上底面边AB、AC，以及侧面边AA'），但平面展开图中任意一点最多是四条边的交点（如矩形顶点），而三条边交于一点在展开图中是可能的（如将上底面△ABC的顶点A与侧面矩形的顶点A重合），但此时需满足AB、AC、AA'三条边在展开图中共点，这要求底面三角形为退化三角形（三点共线），与三棱柱定义矛盾（底面为三角形，三点不共线）。因此，不存在这样的展开图。04总结与升华：从操作经验到数学思想核心知识回顾本节课围绕“三棱柱展开图折叠后顶点对应”这一主题，通过“结构分析-展开图类型-折叠操作-规律归纳-应用验证”的学习路径，得出以下结论：三棱柱展开图的顶点对应本质是“边重合即顶点重合”，展开图中每条侧棱（或底面边）的两个端点折叠后必为原三棱柱的对应顶点；分析顶点对应时，需结合“面的邻接关系”“边的长度匹配”“顶点出现次数”三个维度，避免因展开图形式变化（标准/错位/特殊）导致的判断错误。数学思想渗透本节课蕴含了“转化思想”（平面与立体的转化）、“数形结合思想”（展开图的图形分析与顶点坐标的数量关系）、“归纳思想”（从具体展开图到一般规律的总结），这些思想是解决几何问题的核心工具，需在后续学习中持续强化。课后延伸任务为巩固学习效果，布置分层作业：01基础层：用硬纸板制作一个直三棱柱（底面为等腰三角形），画出其展开图并标注所有顶点，折叠后验证对应关系；02提高层：收集生活中的三棱柱包装盒（如巧克力三角盒），观察其展开图类型，分析顶点对应是否符合本节课规律；03拓展层：研究“斜三棱柱”（侧棱不垂直于底面）的展开图与顶点对应关系，对比直三棱柱的异同。04