2025 九年级数学下册相似三角形对应角平分线的比推导课件

一、课程引入：从生活现象到数学问题的自然衔接演讲人1.课程引入：从生活现象到数学问题的自然衔接2.知识回顾：构建推导的“地基”3.核心推导：从特殊到一般的严谨论证4.例题应用：从理论到实践的迁移5.总结与拓展：知识网络的构建与思维的延伸6.课后思考：带着问题继续探索目录2025九年级数学下册相似三角形对应角平分线的比推导课件01课程引入：从生活现象到数学问题的自然衔接课程引入：从生活现象到数学问题的自然衔接作为一线数学教师，我常观察到学生在学习相似三角形时，容易被“对应线段成比例”的直观现象吸引——比如用放大镜看三角形，边被拉长了，但角的大小不变，角平分线的位置似乎也“同步”被拉长。这时候总会有学生举手问：“老师，相似三角形的角平分线长度也会成比例吗？”这个问题正是我们今天要深入探讨的核心。数学来源于生活，也服务于生活。比如建筑设计中，缩小版的建筑模型与实际建筑是相似图形，若要在模型中画出某一墙角的角平分线，其长度与实际建筑中对应角平分线的长度有何关系？解决这类问题，就需要我们从数学本质出发，推导相似三角形对应角平分线的比。02知识回顾：构建推导的“地基”知识回顾：构建推导的“地基”要解决这个问题，我们需要先回顾相似三角形的基础性质，并明确相关概念。这部分内容是推导的“地基”，只有根基稳固，后续的推导才能水到渠成。1相似三角形的定义与判定相似三角形的定义是：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比（通常用(k)表示）。判定两个三角形相似的常用方法有：两角分别相等（AA）；两边成比例且夹角相等（SAS）；三边成比例（SSS）；直角三角形中斜边和一条直角边成比例（HL）。这些判定方法是后续构造相似关系的关键工具。2相似三角形的基本性质根据定义，相似三角形的核心性质可总结为“两等两比”：对应角相等（(\angleA=\angleA')，(\angleB=\angleB')，(\angleC=\angleC')）；对应边成比例（(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=k)）；周长比等于相似比（(\frac{C_{\triangleABC}}{C_{\triangleA'B'C'}}=k)）；面积比等于相似比的平方（(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}=k^2)）。2相似三角形的基本性质这些性质中，“对应角相等”和“对应边成比例”是最本质的，后续推导角平分线的比时，我们会反复用到这两点。3角平分线的定义与定理角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等角的射线。在三角形中，角平分线与对边相交，将对边分成与邻边成比例的两段，这就是角平分线定理：在(\triangleABC)中，若(AD)是(\angleBAC)的角平分线，则(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC})。这个定理是连接角平分线与边长的桥梁，也是今天推导的关键工具之一。03核心推导：从特殊到一般的严谨论证核心推导：从特殊到一般的严谨论证现在，我们正式进入核心问题：若(\triangleABC\sim\triangleA'B'C')，相似比为(k)，(AD)和(A'D')分别是(\angleBAC)和(\angleB'A'C')的角平分线，求证：(\frac{AD}{A'D'}=k)。为了让推导更清晰，我们分步骤进行，从构造图形开始，逐步应用已知定理，最终得出结论。1构造相似三角形与对应角平分线首先，画出两个相似三角形(\triangleABC)和(\triangleA'B'C')，其中(\angleA)对应(\angleA')，(\angleB)对应(\angleB')，(\angleC)对应(\angleC')，相似比为(k)，即(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k)。在(\triangleABC)中，作(\angleBAC)的角平分线(AD)，交(BC)于点(D)；在(\triangleA'B'C')中，作(\angleB'A'C')的角平分线(A'D')，交(B'C')于点(D')。我们的目标是证明(\frac{AD}{A'D'}=k)。2应用角平分线定理，建立边长比例关系根据角平分线定理，在(\triangleABC)中，(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC})；在(\triangleA'B'C')中，(\frac{B'D'}{D'C'}=\frac{A'B'}{A'C'})。由于(\triangleABC\sim\triangleA'B'C')，且(AB)与(A'B')、(AC)与(A'C')是对应边，因此(\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'})（相似三角形对应边成比例）。结合角平分线定理的结论，可得(\frac{BD}{DC}=\frac{B'D'}{D'C'})，即(BD:DC=B'D':D'C')。2应用角平分线定理，建立边长比例关系这说明点(D)和(D')在各自三角形的对边上的分比相同，这为后续证明三角形相似奠定了基础。3证明包含角平分线的子三角形相似接下来，我们需要观察由角平分线分割出的子三角形是否相似。以(\triangleABD)和(\triangleA'B'D')为例：角的关系：因为(\triangleABC\sim\triangleA'B'C')，所以(\angleB=\angleB')；又因为(AD)和(A'D')是角平分线，所以(\angleBAD=\frac{1}{2}\angleBAC)，(\angleB'A'D'=\frac{1}{2}\angleB'A'C')，而(\angleBAC=\angleB'A'C')（相似三角形对应角相等），因此(\angleBAD=\angleB'A'D')。3证明包含角平分线的子三角形相似边的关系：由相似比(k)，可知(\frac{AB}{A'B'}=k)；同时，由(BD:DC=B'D':D'C')，可设(BD=k\cdotB'D')，(DC=k\cdotD'C')（因为(BC=BD+DC=k\cdot(B'D'+D'C')=k\cdotB'C')，符合相似比），因此(\frac{BD}{B'D'}=k)。根据“两角分别相等”的相似判定（AA），(\triangleABD\sim\triangleA'B'D')，且相似比为(k)。4由子三角形相似推出角平分线的比由于(\triangleABD\sim\triangleA'B'D')，且相似比为(k)，其对应边成比例，因此(\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k)。这就证明了相似三角形的对应角平分线的比等于相似比。5验证特殊情况，确保结论普适性为了确保结论的普适性，我们需要验证两种特殊情况：当相似比(k=1)时：此时两个三角形全等，对应角平分线长度相等，(\frac{AD}{A'D'}=1=k)，符合结论。当三角形为直角三角形时：例如(\triangleABC)和(\triangleA'B'C')均为直角三角形，(\angleC=\angleC'=90^\circ)，角平分线(AD)和(A'D')分别平分(\angleA)和(\angleA')。通过计算具体边长（如设(AB=2k)，(A'B'=2)，则(AC=k)，(A'C'=1)），利用角平分线长度公式(AD=\frac{2AB\cdotAC\cos\frac{\angleA}{2}}{AB+AC})，可验证(\frac{AD}{A'D'}=k)，结论成立。5验证特殊情况，确保结论普适性通过特殊情况的验证，我们确认了推导结论的普适性。04例题应用：从理论到实践的迁移例题应用：从理论到实践的迁移数学知识的价值在于应用。接下来，我们通过两道例题，帮助同学们巩固“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”这一结论，并学会在具体问题中灵活运用。1基础题：已知相似比，求角平分线长度题目：如图，(\triangleABC\sim\triangleDEF)，相似比为(3:2)，(BM)是(\angleABC)的角平分线，长度为(9,\text{cm})，求(\triangleDEF)中对应角平分线(EN)的长度。分析：根据推导结论，对应角平分线的比等于相似比。已知相似比为(3:2)，即(\frac{BM}{EN}=\frac{3}{2})，代入(BM=9,\text{cm})，解得(EN=9\times\frac{2}{3}=6,\text{cm})。答案：(6,\text{cm})。2提升题：已知角平分线比，反推相似比题目：(\triangleXYZ)与(\triangleX'Y'Z')相似，(XP)和(X'P')分别是(\angleX)和(\angleX')的角平分线，长度分别为(5,\text{cm})和(3,\text{cm})。若(\triangleXYZ)的周长为(25,\text{cm})，求(\triangleX'Y'Z')的周长。分析：首先，由对应角平分线的比等于相似比，可得相似比(k=\frac{XP}{X'P'}=\frac{5}{3})。又因为相似三角形的周长比等于相似比，即(\frac{C_{\triangleXYZ}}{C_{\triangleX'Y'Z'}}=k=\frac{5}{3})，2提升题：已知角平分线比，反推相似比已知(C_{\triangleXYZ}=25,\text{cm})，代入得(C_{\triangleX'Y'Z'}=25\times\frac{3}{5}=15,\text{cm})。答案：(15,\text{cm})。3拓展题：结合角平分线定理的综合应用题目：(\triangleABC\sim\triangleA'B'C')，相似比为(2:1)，(AD)和(A'D')是对应角平分线，(BC=8,\text{cm})，(B'C'=4,\text{cm})。若(BD=5,\text{cm})，求(B'D')的长度。分析：由相似比(k=2)，可知(\frac{BC}{B'C'}=2)，符合题目条件。根据角平分线定理，(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC})，(\frac{B'D'}{D'C'}=\frac{A'B'}{A'C'})。由于(\triangleABC\sim\triangleA'B'C')，3拓展题：结合角平分线定理的综合应用(\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'})，因此(\frac{BD}{DC}=\frac{B'D'}{D'C'})。设(B'D'=x)，则(D'C'=4-x)，(DC=8-5=3,\text{cm})，故(\frac{5}{3}=\frac{x}{4-x})，解得(x=\frac{20}{8}=2.5,\text{cm})。答案：(2.5,\text{cm})。通过这三道例题，我们可以看到，“对应角平分线的比等于相似比”这一结论不仅能直接解决长度计算问题，还能与角平分线定理、周长比等性质结合，解决更复杂的综合问题。05总结与拓展：知识网络的构建与思维的延伸1核心结论回顾通过本节课的推导，我们得出了重要结论：相似三角形的对应角平分线的比等于它们的相似比。这