2025 九年级数学下册相似三角形判定定理实验验证课件

一、课程引入：从生活现象到数学问题的联结演讲人CONTENTS课程引入：从生活现象到数学问题的联结知识储备：温故知新，构建实验基础实验验证：从操作到结论的科学探究定理总结：从实验到理论的升华应用示例：从理论到实践的迁移总结与升华：从实验到思维的成长目录2025九年级数学下册相似三角形判定定理实验验证课件01课程引入：从生活现象到数学问题的联结课程引入：从生活现象到数学问题的联结作为一线数学教师，我常观察到学生对抽象定理的接受往往需要具体情境的支撑。记得去年春天带学生测量校园里老槐树的高度时，有个学生指着地上的影子说：“树和它的影子，是不是和三角尺与它的影子组成相似三角形？”这个问题像一颗种子，让我意识到：相似三角形的判定定理若能通过实验验证，学生不仅能“知其然”，更能“知其所以然”。今天，我们就从这样的生活疑问出发，以“实验验证”为钥匙，打开相似三角形判定定理的大门。先请大家观察两组图片：一组是地图与实际地形的缩放（比例尺1:10000），另一组是用相机拍摄物体时的成像原理。这些现象中，图形的形状保持不变、大小改变，本质上都是相似变换的体现。那么问题来了：如何用数学语言判定两个三角形是否相似？仅凭定义（对应角相等、对应边成比例）是否足够高效？这便是我们今天要解决的核心问题。02知识储备：温故知新，构建实验基础知识储备：温故知新，构建实验基础要开展实验验证，必须先明确相似三角形的基本概念与已有结论。1相似三角形的定义与符号表示相似三角形的定义是：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似用符号“∽”表示。例如，△ABC与△DEF相似，记作“△ABC∽△DEF”，其中对应顶点的字母顺序需一致，以明确对应关系。2相似三角形的预备定理（平行线分线段成比例定理的推论）在之前的学习中，我们通过“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”这一结论，推导出了预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这一定理是相似三角形判定的第一个“工具”，但它的适用条件局限于“存在平行线”，无法解决所有相似判定问题。3实验验证的逻辑基础判定定理的本质是“用最少的条件推出相似”。定义需要6个条件（3组角相等、3组边成比例），预备定理需要1个平行条件。我们需要探索是否存在更少的条件（如角的数量、边与角的组合）能判定相似。实验的核心思路是：构造满足特定条件的三角形，测量其对应角与对应边的关系，归纳共性规律。03实验验证：从操作到结论的科学探究实验验证：从操作到结论的科学探究本次实验设计遵循“提出猜想—设计实验—操作记录—分析数据—归纳结论”的科学探究流程，针对三个主流判定定理展开验证。1实验一：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）猜想依据：三角形内角和为180，若两个角分别相等，则第三个角必然相等（即三组角都相等）。此时只需验证对应边是否成比例。实验材料：量角器、直尺、绘图纸、铅笔。实验步骤：（1）在纸上任意画△ABC，测量∠A=α，∠B=β，记录α=35，β=60（示例数据），则∠C=85；（2）画△A'B'C'，使∠A'=α=35，∠B'=β=60（不限制边长），测量∠C'=85（验证内角和）；（3）测量两组三角形的边长：AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm；A'B'=2.5cm，B'C'=3cm，A'C'=3.5cm（示例数据）；1实验一：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）（4）计算对应边的比值：AB/A'B'=2，BC/B'C'=2，AC/A'C'=2，比值相等；（5）更换α和β的度数（如α=45，β=45，则△ABC为等腰直角三角形；α=60，β=60，则为等边三角形），重复步骤（1）-（4），记录多组数据（如下表）。|实验次数|△ABC角度（）|△A'B'C'角度（）|AB/A'B'|BC/B'C'|AC/A'C'||----------|---------------|------------------|---------|---------|---------||1|35,60,85|35,60,85|2|2|2|1实验一：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）|2|45,45,90|45,45,90|3|3|3||3|60,60,60|60,60,60|1.5|1.5|1.5|数据分析：所有实验中，当两个三角形有两组角分别相等时，第三组角必然相等，且对应边的比值恒相等（即相似比）。结论：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定定理）。3.2实验二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）猜想依据：若两个三角形有一组角相等，且夹这个角的两边成比例，是否能保证第三边也按相同比例缩放？实验材料：同上，增加圆规（用于固定角度）。实验步骤：1实验一：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）STEP5STEP4STEP3STEP2STEP1（1）画△ABC，取∠A=θ=40，AB=4cm，AC=6cm（夹∠A的两边）；（2）画△A'B'C'，使∠A'=θ=40，A'B'=2cm，A'C'=3cm（满足AB/A'B'=AC/A'C'=2）；（3）连接B'C'，测量BC和B'C'的长度（示例：BC≈7.7cm，B'C'≈3.85cm，BC/B'C'≈2）；（4）测量△A'B'C'的其他角：∠B'≈原△ABC中∠B的度数（如原∠B=50，测量得∠B'≈50），∠C'同理；（5）更换θ的度数（如θ=90，AB=3cm，AC=4cm，A'B'=1.5c1实验一：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）m，A'C'=2cm），重复实验，记录数据（如下表）。|实验次数|夹角θ（）|AB/A'B'|AC/A'C'|BC/B'C'|∠B与∠B'差值（）|∠C与∠C'差值（）||----------|------------|---------|---------|---------|------------------|------------------||1|40|2|2|2|0.5|0.3||2|90|2|2|2|0|0||3|120|3|3|3|0.2|0.1|1实验一：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）误差分析：实际测量中，角度和边长的微小误差（如0.5、0.1cm）源于工具精度和操作失误，但通过多次实验可发现，BC/B'C'与AB/A'B'、AC/A'C'的比值高度一致，且对应角几乎相等。结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定定理）。3实验三：三边成比例的两个三角形相似（SSS判定）猜想依据：若两个三角形的三组对应边都成相同比例，能否通过构造辅助线或测量角度证明对应角相等？实验材料：同上，增加剪刀（用于裁剪三角形纸片）。实验步骤：（1）制作△ABC，边长分别为3cm、4cm、5cm（直角三角形）；（2）制作△A'B'C'，边长分别为6cm、8cm、10cm（3:4:5的2倍）；（3）测量△A'B'C'的角度：用三角尺验证最大角为90（与△ABC的直角对应），其他角分别约为37和53（与原三角形一致）；3实验三：三边成比例的两个三角形相似（SSS判定）（4）制作非特殊比例的三角形：△ABC边长2cm、3cm、4cm，△A'B'C'边长4cm、6cm、8cm（2:3:4的2倍）；（5）将△A'B'C'覆盖在△ABC上（缩放后），观察是否能完全重合形状（仅大小不同）；（6）测量多组数据（如下表）。|实验次数|△ABC边长（cm）|△A'B'C'边长（cm）|边长比|△ABC角度（）|△A'B'C'角度（）||----------|----------------|--------------------|--------|---------------|------------------|3实验三：三边成比例的两个三角形相似（SSS判定）|1|3,4,5|6,8,10|2|90,53,37|90,53,37||2|2,3,4|4,6,8|2|104,46,30|104,46,30||3|5,5,6|10,10,12|2|73,73,34|73,73,34|现象观察：无论原三角形是直角、锐角还是等腰三角形，当三边成相同比例时，△A'B'C'的角度与△ABC完全一致，形状完全相似。结论：三边成比例的两个三角形相似（SSS判定定理）。04定理总结：从实验到理论的升华定理总结：从实验到理论的升华通过三组实验，我们验证了相似三角形的三个核心判定定理：1文字表述与符号表示231AA判定：两角分别相等的两个三角形相似。符号表示：若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。SAS判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。符号表示：若AB/A'B'=AC/A'C'，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。SSS判定：三边成比例的两个三角形相似。符号表示：若AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则△ABC∽△A'B'C'。2定理间的逻辑关联AA判定是最基础的判定（由角的关系直接推导相似），SAS和SSS判定则是从边与角的组合、边的关系出发，本质上都是通过“减少条件”来高效判定相似。三者共同构成了相似三角形判定的“工具箱”，适用于不同情境：已知两角相等时用AA；已知两边成比例且夹角相等时用SAS；已知三边成比例时用SSS。3与全等判定的类比全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，因此相似判定与全等判定（ASA、SAS、SSS）存在对应关系：全等的ASA对应相似的AA（因两角相等已确定形状，第三角必然相等）；全等的SAS对应相似的SAS（边从“相等”变为“成比例”）；全等的SSS对应相似的SSS（同理）。这种类比有助于学生记忆和区分两类判定定理。030205010405应用示例：从理论到实践的迁移应用示例：从理论到实践的迁移为巩固实验结论，我们通过例题展示判定定理的实际应用。1基础应用：直接判定相似例1：如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C。求证：△ADE∽△ACB。分析：已知∠ADE=∠C（一组角相等），且∠A是公共角（第二组角相等），根据AA判定定理，可证相似。2综合应用：结合比例与角度例2：已知△ABC和△DEF中，AB=2，BC=3，CA=4；DE=4，EF=6，FD=8。判断△ABC与△DEF是否相似。分析：计算三边比例：AB/DE=2/4=1/2，BC/EF=3/6=1/2，CA/FD=4/8=1/2，三边成比例，根据SSS判定定理，两三角形相似。3实际问题：测量不可达高度例3：某同学想测量教学楼的高度，他在地面放置一面镜子，然后后退直到能从镜子中看到楼顶（如图）。已知该同学身高1.6m，他与镜子的距离是2m，镜子与教学楼的距离是18m，求教学楼的高度。分析：根据光的反射定律，∠入射角=∠反射角，可得△人眼-镜子-脚底∽△楼顶-镜子-楼底（AA判定）。设楼高为h，则1.6/2=h/18，解得h=14.4m。通过这些例题，学生能直观感受到判定定理不仅是纸上的结论，更是解决实际问题的工具。06总结与升华：从实验到思维的成长总结与升华：从实验到思维的成长回顾今天的学习，我们通过三组实验验证了相似三角形的三个判定定理，这一过程不仅是知识的获取，更是科学思维的训练。实验中，我们用测量数据支撑猜想，用多次验证减少误差