有理数的乘方+课件+2025-2026学年人教版七年级数学上册

人教版（2024）版数学7年级上册第二章

有理数的运算2.3.1.1有理数的乘方知道有理数乘方的意义，能说出乘方运算、幂、底数、指数等概念.能正确进行有理数乘方运算.2.3.1.1有理数的乘方有理数的乘方七年级数学·上册核心内容：乘方概念、符号法则及基础运算学习目标1.理解：乘方、幂、底数、指数的定义及意义，掌握乘方的表示方法2.掌握：有理数乘方运算的符号规律，能准确进行乘方运算3.应用：运用乘方解决简单实际问题，体会“化繁为简”的数学思想旧知衔接：1.有理数乘法法则——同号得正，异号得负，绝对值相乘；2.乘法本质——相同加数的加法简便运算，如3×4=3+3+3+3；3.混合运算基础——已掌握加减乘除的运算顺序，为后续含乘方的混合运算铺垫情境导入：生活中的“倍乘”现象问题1：折纸中的层数变化一张白纸对折1次得2层，对折2次得4层，对折3次得8层……对折n次后，层数是多少？记录：对折1次：2=2；对折2次：2×2=4；对折3次：2×2×2=8；对折5次：2×2×2×2×2=？问题2：细胞分裂中的数量增长一个细胞每小时分裂1次（1个变2个），3小时后细胞总数是多少？5小时后呢？记录：1小时后：2；2小时后：2×2；3小时后：2×2×2；5小时后：2×2×2×2×2=？思考：当相同因数的乘法中，因数个数较多时（如10个2相乘），书写和计算都很繁琐，有没有简便的表示方法？探究一：乘方的本质——相同因数的乘法简便运算1.概念建立观察：2×2×2×2×2（5个2相乘），这种求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。表示方法：n个a相乘记为a，读作“a的n次幂”或“a的n次方”。a=a×a×...×a（共n个a）其中：a——底数（相同的因数）；n——指数（相同因数的个数，正整数）2.基础辨析乘方表示底数指数读法展开形式3343的4次幂3×3×3×3(-2)-23负2的3次幂(-2)×(-2)×(-2)-2232的3次幂的相反数-(2×2×2)(1/2)1/22二分之一的2次幂(1/2)×(1/2)关键提醒：负数或分数作底数时，必须加小括号，否则符号或分母不参与乘方运算（如(-2)与-2意义完全不同）；一个数的1次幂就是它本身，指数1通常省略，如5=5探究二：有理数乘方的符号规律根据有理数乘法法则，结合乘方与乘法的关系，通过计算下列乘方，总结符号规律：正数的乘方2=2×2=4（正）2=2×2×2=8（正）(1/3)=(1/3)×(1/3)×(1/3)×(1/3)=1/81（正）结论：正数的任何次幂都是正数负数的乘方(-2)=(-2)×(-2)=4（正）(-2)=(-2)×(-2)×(-2)=-8（负）(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)=1/16（正）(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)=-1/32（负）结论：负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数0的乘方0=0×0=00=0×0×0×0×0=00=0结论：0的任何正整数次幂都是0记忆口诀：正幂全正不用愁，负幂符号看指数；奇次负来偶次正，0的任何次幂都为0典例解析：规范乘方运算过程题型1：直接计算乘方（确定符号→算绝对值）例1：计算(1)3；(2)(-3)；(3)-3；(4)(2/5)解：(1)3：正数的偶次幂为正，3×3×3×3=81→

结果81；

(2)(-3)：负数的奇次幂为负，3×3×3=27→

结果-27；

(3)-3：先算3=81，再取相反数

→

结果-81；

(4)(2/5)：正数的偶次幂为正，(2×2)/(5×5)=4/25→

结果4/25。题型2：乘方与四则运算结合（先乘方，后乘除，再加减）例2：计算2×(-3)-4÷(-2)解：①先算乘方：(-3)=9，(-2)=-8；

②再算乘除：2×9=18，4÷(-8)=-0.5，即-4÷(-8)=0.5；

③最后算加减：18+0.5=18.5（或37/2）；结果：18.5题型3：利用乘方解决实际问题例3：若纸的厚度为0.1mm，将纸连续对折8次后，总厚度是多少mm？解：对折n次的层数为2，总厚度=层数×单张厚度；对折8次的层数：2=256；总厚度：256×0.1=25.6（mm）；答：总厚度是25.6mm。易错点警示：避开乘方“陷阱”易错类型错误示例错误原因正确解法底数范围混淆-2=(-2)×(-2)=4未加括号时，负号不属于底数，不参与乘方-2=-(2×2)=-4分数乘方错误1/2=1/(2)=1/8（此步正确）；错例：(1/2)=1/2×3=3/2将指数与底数相乘，混淆乘方与乘法意义(1/2)=(1×1×1)/(2×2×2)=1/8符号判断错误(-1)=-1，(-1)=1记错负数乘方的符号规律，奇次幂为负、偶次幂为正记反(-1)=1（偶次正），(-1)=-1（奇次负）运算顺序颠倒2×3=(2×3)=36先算乘法后算乘方，违背“先乘方后乘除”的顺序2×3=2×9=18综合提升：乘方的拓展技巧1.乘方的符号特性应用例：已知|a-2|+(b+3)=0，求(a+b)的值。解：∵绝对值和平方数均为非负数，和为0则各自为0；

∴a-2=0→a=2；b+3=0→b=-3；

∴a+b=2+(-3)=-1；

∴(a+b)=(-1)=-1。2.乘方的规律探究例：观察3=3，3=9，3=27，3=81，3=243……猜想3的个位数字是多少？解：个位数字周期为4：3、9、7、1循环；

2025÷4=506……1，余数为1对应周期第一个数字；

∴3的个位数字是3。分层练习：巩固提升基础题（必做）1.计算：(-5)=______，-5=______，(1/4)=______2.计算：3×(-2)-(-1)=______3.判断：(-1/3)与-1/3的结果相等吗？为什么？提升题（选做）1.计算：(-0.125)×8（提示：利用乘法结合律）2.某细胞初始数量为1个，每天数量变为前一天的2倍，7天后细胞总数是多少？3.已知x=4，求x的值（提示：考虑平方的符号特性）中考链接：真题感知1.（2024·济南）计算(-2)的结果是（

）A.-8B.8C.-6D.6（答案：A）2.（2024·成都）计算2+(-3)（注：任何非0数的0次幂为1）的结果是（

）A.5B.4C.3D.2（答案：A）3.（2024·广州）已知|m+1|+(n-2)=0，则m的值为______（答案：1）课堂总结1.核心概念：乘方是相同因数乘法的简便运算，a中a为底数，n为指数，结果为幂2.符号规律：正正任意，负奇负、负偶正，0的正整数次幂为03.运算顺序：含乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减作业布置-必做：课本对应练习题（标注每步运算依据，如“负数奇次幂为负”）-选做：收集生活中运用乘方的实例（如人口增长、细菌繁殖等），并尝试用乘方表示其数量关系-预习：含乘方的有理数混合运算谢谢观看！祝大家概念清晰，运算精准！边长为2cm的正方形的面积是2×2=4（cm2）棱长为2cm的正方体的体积是2×2×2=8（cm3）这两个算式有什么特点？2×2，2×2×2都是相同乘数的乘法.为了简便，我们将它们分别记作22，23.22读作“2的平方”（或“2的2次方”）23读作“2的立方”（或“2的3次方”）记作_______，记作_______，读作______________.读作______________.的

4次方的

5次方如果是几个负整数、负分数相乘呢？同样地，(-2)×(-2)×(-2)×(-2)

记作_______，读作______________.(-2)4-2的

4次方记作_______，读作______________.-的

5次方乘方的概念类型概念示例乘方幂底数指数求n

个相同乘数的积的运算，叫作乘方a·a·…

·a=ann个乘方的结果叫作幂在an

中，a

叫作底数在an

中，n

叫作指数an底数幂指数an

看作一种运算，读作“a

的n

次方”；an

看作乘方的结果，也可读作“a

的n

次幂”.读法：特别提醒（1）an

表示n

个a

相乘，其中a

表示相同的乘数，n

表示相同乘数的个数.（2）一个数可以看作这个数本身的1次方.例如，5就是51.指数1通常省略不写.指数是2时可读作平方，指数是3时可读作立方.思考－24

和(－2)4

的意义一样吗？结果一样吗？－24

的意义是24

的相反数，(－2)4

的意义是－2的四次方，－24

和(－2)4

的意义不一样.－24=－(2×2×2×2)=－16，(－2)4=(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16，－24

和(－2)4

的结果不一样.例题【教材P51】例1计算：

（1）(-4)3；（2）(-2)4；（3）.解：（1）(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64；（2）(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；（3）.探究请再举一些计算乘方的例子，结合例1，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？(-3)4(-5)3

(-1)5(-1)6

=81=-125=-1=1幂的奇/偶结果偶数正数奇数负数奇数负数偶数正数有理数的乘方运算的符号规律：归纳符号规律负数正数0负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数0的任何正整数次幂都是0巩固训练1.把乘法形式写成幂的形式.（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)=______.（2）－5×5×5=______.(－3)4－53（2）=2.把幂的形式写成乘法形式.（1）=拓展（1）互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数.若a+b=0，则a2n+1+b2n+1=0（n为自然数）.（2）互为相反数的两个数的偶次幂相等.若a+b=0，则a2n=b2n

（n为正整数）.an，－an

与(－a)n

的异同点与联系：幂an－an(－a)n相同点不同点意义不同底数不同联系n为奇数n为偶数n为正整数指数都是nn个a相乘的积n个a相乘的积的相反数n个-a相乘的积

a

a

-a－an

=(－a)n，它们分别与an

互为相反数（a

≠0）an

=(－a)n，它们分别与－an

互为相反数（a

≠0）当a=0时，an=－an=(－a)n=0例题【教材P52】例2用计算器计算(-8)5

和

(-3)6.解：用带符号键的计算器，有(-)((-)8)5=显示结果为-32768((-)3)6=显示结果为729因此，(-8)5=-32768,(-3)6=729.练习1.（1）(-7)8中，底数、指数各是什么？（2）(