《画法几何与机械制图(同济版)》教学课件-第三章点、直线、面的投影

第3章点、直线、面的投影掌握基本几何元素点、线、面的投影规律。【学习目标】【学习重点】立体上各种点、线、面的投影特性。点、直线和平面是构成几何体的基本元素，为了迅速而准确地绘制形体的三面视图，必须进一步研究构成形体的基本几何元素(点、线、面)的投影规律。点的投影3.1通过第2章的讨论知道，通常把物体放在三面投影体系中进行投影。为此，下面先研究点在三面投影体系中的投影。如图3-1（a）所示，设有一空间点A，由点A分别向H、V和W面投影，可得到A点的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″。图中每两条投射线分别确定一个平面，它们与三投影轴分别相交于ax、ay和az，则以空间点A，三个投影a、a′和a″，ax、ay、az和原点O为顶点可构成一个长方体。将各投影面展开，可得A点的展开图[图3-1（b）]。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称和点ax、ay、az等，而只画出坐标轴OX、OY、OZ轴（简称X、Y、Z轴）及点的投影a、a′、a″[图3-1（c）]。3.1.1点在三面投影体系中的投影图3-1点在三面投影体系中的投影3.1.1点在三面投影体系中的投影如果把三面投影体系看作空间直角坐标系，以及把投影面H、V、W视为坐标面，投影轴OX、OY、OZ视为坐标轴，则空间点A分别到三个投影面的距离Aa″、Aa′、Aa可用该点的三个直角坐标系XA、YA和ZA表示，记为（XA、YA、ZA）。同时，A点的三个投影a、a′、a″也可以用坐标来确定，水平投影a可由XA和YA确定，反映了空间点A到W面和V面的距离Aa″和Aa′；正面投影a′可由XA和ZA确定，反映了空间点A到W面和H面的距离Aa″和Aa；侧面投影a″可由YA和ZA确定，反映了空间点A到V面和H面的距离Aa′和Aa。空间点用大写的英文字母表示，空间点的投影用小写英文字母表示。如图3-2所示，用A、B、C、S表示空间点。由空间点A、B、C、S分别作垂直于H面、V面和W面的投射线，点的主视图也称为正面投影，正面投影用相应的小写英文字母加一撇a′、b′、c′、s′表示。点的俯视图也称为水平投影，水平投影用相应的小写英文字母a、b、c、s表示。点的左视图也称为侧面投影，侧面投影用相应小写英文字母加两撇a″、b″、c″、s″表示。3.1.2点的三面投影图图3-2点的投影标记和投影连线在三视图上用细实线画出立体上某些特征点的投影连线。点的三面投影连线是保证立体上各点的三面投影具有正确投影关系的重要作图线。因为主、左视图“高平齐”的关系，点的正面投影与侧面投影连线应是一条水平线。因为主、俯视图“长对正”的关系，点的正面投影与水平投影连线应是一条竖直线。因为俯、左视图“宽相等”的关系，点的正面投影与侧面投影用相交于同一条45°斜线的水平线和竖直线连接[图3-2(b）]。45°斜线的作用是保证俯、左视图宽相等。该斜线的位置只与物体到投影面的距离有关，而与物体和视图的形状无关。按照三面投影图的形成方法将H面向下、W面向右旋转到与V面重合，可以得到以下投影规律：3.1.3点的投影规律图3-2（b）（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX投影轴。（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ投影轴。（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。综上所述，可以得出以下几点重要结论：（1）给出一点的坐标，如A（XA，YA，ZA），即可确定该点的空间位置和唯一的一组投影a、a′、a″，即可作出A点的投影图。（2）已知A点的任意两个投影（a、a′或a、a″或a′、a″），均可确定点的三个坐标和点的空间位置，也就可以作出其投影图，即可求出点的第三面投影。（3）在需要利用点的投影规律aax=a″az=Oay=YA来作图时（如由a、a′求a″或由a′、a″求a），即可用分规量取aax=a″az=Oay=YA；但通常由以原点O为圆心，以Oay（YA）为半径作圆弧求得，或自O点作45°辅助线求得，如图3-1（c）所示。3.1.3点的投影规律图3-1（c）【例3-1】如图3-3所示，已知空间点（10,7,14），求它的三面投影。3.1.3点的投影规律图3-3由点的坐标作点的三面投影图（一）作图：（1）由原点O向左沿OX轴量取10mm得ax，过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取7mm得a，向上量取14mm得a′。（2）过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于az，在垂线上自az向右量取7mm得a″（a″也可由a通过作圆弧或45°辅助线求得）。a、a′、a″即为A点的三面投影，可记为A（a、a′、a″）。【例3-2】已知空间点B的正面投影b′和水平投影b，如图3-4（a）所示，求该点的侧面投影b″。3.1.3点的投影规律图3-4由点的两面投影求第三面投影（一）分析：由点的投影规律可知b′b″⊥OZ轴，所以b″一定在过b′且垂直于OZ轴的直线上，又b到OX轴的距离bbx等于b″到OZ轴的距离b″bz，便可以求得b″。作图：如图3-4（b）所示，由b′作OZ轴的垂线与OZ轴交于bz，在此垂线上自bz向前量取bzb″=bbx，即可得B点的侧面投影b″（或由b通过作45°辅助线求得b″）。【例3-3】已知点（15,10,20），求点A的三面投影图。3.1.3点的投影规律图3-5由点的坐标作点的三面投影图（二）作图：步骤如图3-5所示。（1）画出投影轴OX、OYH、OYW、OZ。（2）在OX轴上量取Oax=15，如图3-5（a）所示。（3）过ax作OX轴的垂线，并量取a′ax=20，aax=10，如图3-5（b）所示。（4）过a作OX轴的平行线与∠YWOYH的角平分线相交，过交点作OYW轴的垂线与过a′所作OZ轴的垂线相交于a″，即得点A的三面投影图，如图3-5（c）所示。3.1.3点的投影规律点是构成几何体的最基本元素，一切几何形体都可以看作点的集合。为便于分析物体三视图中点、线、面的投影关系，常需要在三视图中标出物体某些特殊点的投影标记。空间点既无形状又无大小，对其进行投影是为了确定点在空间中所处的位置。运用点的三投影连线，可以由点的两面投影求出第三面投影。3.1.4根据点的两面投影求点的第三面投影图3-6由点的两面投影求第三面投影（二）作图：如图3-6（b）所示，首先在适当的位置作一条45°斜线。然后过a″向下作垂线与45°斜线相交，过交点向右作水平线。再过a′向下作垂线与水平线相交，交点即为所求投影a。用这种方法可求出三棱锥上的其他点。这种已知点的两面投影求第三面投影的作图方法又称为点的二求三作图法，此方法是很重要的基本作图法，所以必须熟练掌握和灵活运用。【例3-4】如图3-6（a）所示，已知三棱锥上某一点A的两投影a′、a″，用作图法求出第三面投影a。3.1.4根据点的两面投影求点的第三面投影图3-7求切割三棱锥切口线的俯视图作图：（1）过a′向下作垂线，再过a″向下作垂线与45°斜线相交，过交点向左作水平线，即可求出点的水平投影a，如图3-7（c）所示。（2）过b′向下作垂线，再过b″向下作垂线与45°斜线相交，过交点向左作水平线，即可求出点的水平投影b，如图3-7（c）所示。（3）过c′向下作垂线，再过c″向下作垂线与45°斜线相交，过交点向左作水平线，即可求出点的水平投影c，如图3-7（c）所示。【例3-5】图3-7（a）所示为切割三棱锥立体图，求切口线的水平投影，即用点的二求三作图法求出点A、B、C的水平投影，如图3-7（b）所示。3.1.5两点的相对位置关系图3-8两点的特殊位置根据两点的投影和它们同面投影的坐标差，可以判别出该两点在空间的位置关系。在图3-8中，根据俯视图可判断点B在点S的左前方，根据左视图可判断点B在点S的下前方。若两点到某投影面的距离相等，则两点的连线平行于该投影面，这两点称为对该投影面的等距点。如图3-8中的点A、B是对H面的等距点。若两点位于某投影面的同一条垂线上，则两点在该投影面上的投影重合，这样的两点称为对该投影面的重影点。如图3-8所示，点A、C为对W面的重影点。图中点C在点A的正右方，在W面上的投影c″不可见。在投影图中，不可见点的投影加括号表示。3.1.6读点的投影读图是本课程的学习重点，从最基本的几何元素（点）开始讨论读图问题，有利于培养正确的读图思维方式，从而为识读体的投影图打好基础。读点的投影图，首先应分析每个点的空间位置，然后根据其坐标确定各点的相对位置，最后在此基础上通过想象建立起空间概念，使各点在脑海中呈现出立体状态[图3-9(b)]。这样才算真正将图看懂。3.1.6读点的投影图3-9识读A、B两点的三面投影图解：由图3-9（a）可见，点B的V、W面投影b′、b″分别在OX、OYW轴上，说明点B的Z坐标为0，点B在H面上（点的分析从略）。判别A、B两点的空间位置：左、右相对位置：xB-xA=10，故点A在点B右方10mm。前、后相对位置：yA-yB=10，故点A在点B前方10mm。上、下相对位置：zA-zB=10，故点A在点B上方10mm。即点A在点B的右、前、上方各10mm处，如图3-9（b）所示。【例3-6】识读A、B两点的三面投影图。直线的投影3.23.2.1直线的三面投影直线的投影一般仍为直线，在特殊情况下，直线的投影可积聚成一点。在作直线的投影时，可作出确定该直线的任意两点的投影，连接其同面投影，便可得到直线的投影。如图3-10（a）所示，欲求直线AB的三面投影，可分别作出两端点A、B的三面投影a、a′、a″和b、b′、b″，如图3-10（b）所示；然后用粗实线连接两点的同面投影，则求出直线AB的三面投影，如图3-10（c）所示。图3-10直线的三面投影3.2.2各种位置的直线及其投影特性根据直线相对于投影面的位置不同，直线可分为一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三类。后两类统称为特殊位置直线。如图3-11所示，SB为一般位置直线，SA为投影面平行线，AB为投影面垂直线。直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角分别称为该直线对H、V、W面的倾角，分别用α、β、γ表示。图3-113.2.2各种位置的直线及其投影特性

1.一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线的三个投影均为类似投影，均与轴倾斜，且都不反映直线与投影面的倾角，如图3-11（c）所示。图3-11各种位置的立体棱线一般位置直线的投影特性如下：（1）三个投影都与投影轴倾斜且投影长度小于直线的实长。（2）各投影与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。3.2.2各种位置的直线及其投影特性2.投影面平行线只平行于一个投影面（与另两个投影面倾斜）的直线称为投影面平行线。投影面平行线又分为以下三种：（1）只平行于H面的直线，称为水平线。（2）只平行于V面的直线，称为正平线。（3）只平行于W面的直线，称为侧平线。如图3-12所示，三棱锥的棱线中，SA为正平线，AB为水平线，SB称为侧平线。图3-12三种投影面平行线和投影面垂直线3.2.2各种位置的直线及其投影特性2.投影面平行线只平行于一个投影面（与另两个投影面倾斜）的直线称为投影面平行线。投影面平行线又分为以下三种：（1）只平行于H面的直线，称为水平线。（2）只平行于V面的直线，称为正平线。（3）只平行于W面的直线，称为侧平线。如图3-12所示，三棱锥的棱线中，SA为正平线，AB为水平线，SB称为侧平线。图3-12三种投影面平行线和投影面垂直线3.2.2各种位置的直线及其投影特性投影面平行线的投影特性如下：（1）在两端点等距的投影面上（在直线所平行的投影面上），投影反映线段的实长，且该投影反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。（2）在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别平行于两条相应的投影轴（构成直线所平行的投影面的两条投影轴）。三种投影面平行线的立体图、投影图及投影特性见表3-1。3.2.2各种位置的直线及其投影特性3.2.2各种位置的直线及其投影特性3.投影面垂直线垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。其中，投影面垂直线又分为以下三种：（1）垂直于V面的直线，称为正垂线。（2）垂直于H面的直线，称为铅垂线。（3）垂直于W面的直线，称为侧垂线。在图3-12所示的三棱锥棱线中，BC为正垂线，CS为铅垂线，CA为侧垂线。投影面垂直线的投影特性如下：（1）在直线所垂直的投影面上，直线的投影积聚成一点。（2）在其余两个投影面上，直线的投影反映实长，且分别垂直于两条相应的投影轴（构成直线所垂直的投影面的两条投影轴）。三种投影面垂直线的立体图、投影图及投影特性见表3-2。3.2.2各种位置的直线及其投影特性3.2.3直线上的点的投影根据直线的投影特性，当点在直线上时，点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例。相反，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，且符合投影规律，则该点必定在直线上，并将空间直线分割成和各个投影相同的比例。3.2.3直线上的点的投影【例3-7】如图3-13（a）所示，点M在棱线SA上，则其投影m′在s′a′上，m在sa上，m″在s″a″上。已知三棱锥棱线SA上一点M的正面投影m′[图3-13（b）]，试求另外两投影。解：根据从属性，如图3-13（c）所示，过m′向下作垂线，与sa相交，则得点M的水平投影m。过m′向右作水平线，与s″a″相交，则得点M的侧面投影m″。图3-13棱线上取点3.2.3直线上的点的投影【例3-8】已知侧平线SB上的一点N的正面投影n′[图3-14（b）]，试求水平投影n。解法1：根据定比性作图。如图3-14（c）所示，过s向任意方向作一射线sb1，在射线上取sb1=s′b′，sn1=s′n′，连接bb1，作nn1平行于bb1，得交点n，则sn∶nb=s′n′∶n′b′，即点N在直线上。解法2：根据从属性作图。如图3-14（d）所示，在适当位置作一45°斜线，并求出直线SB的侧面投影s″b″。运用直线上取点基本作图方法，过n′向右作线，求得n″。过n″向下、向左作线求得n。图3-14侧平线上取点3.2.4直线与点的相对位置

3.2.4直线与点的相对位置在投影图上判别点是否在直线上，一般只需观察两个投影即可直接确定。但当直线为投影面平行线，且给出的两个投影又都平行于投影轴时，则需观察第三个投影才能确定，还可通过检查点的投影分直线的同面投影长度之比是否相同的比例法来确定。如图3-16（a）所示，C点的水平投影c和正面投影c′虽都在侧平线AB的两面投影上，但要判定C点是否在直线AB上，尚需作出其侧面投影，如图3-16（b）所示。因为c″不在a″b″上，所以C点不在直线AB上。或者也可如图3-16（c）所示，过a点作任意一直线，并在该直线上截取aC1=a′c′、C1B1=c′b′，然后连接bB1,再过C1点作bB1的平行线交ab于c1点，则由于c与c1点不重合，即ac∶cb≠a′c′∶c′b′，因此也可判定C点不在直线AB上。图3-16点不在直线上3.2.4直线与点的相对位置作图：如图3-17（b）所示,自AB线的水平投影ab的a点任作一辅助线段aD0,在该辅助线上任取5等份，得端点B0,连接B0b。在aB0上取分点C0，满足aC0∶C0B0=AC∶CB=2∶3。过C0点作B0b的平行线交ab于c点。由c点作OX轴的垂线交a′b′于c′点,则C(c，c′)即为所求。图3-17直线上点的投影求法【例3-9】如图3-17（a）所示，已知线段AB的投影图，试将AB线分成2∶3两段，求分点C的投影。3.2.4直线与点的相对位置分析：必须先用直角三角形法求得AB线的实长，方可在实长上截取15mm，得分点C，再根据C点分直线AB所成线段之比等于C点投影分AB投影之比，以及C点的投影一定在直线AB的同面投影上，即可求得C点的投影c和c′。作图：如图3-18（b）所示，以ab和坐标差ΔZ为两直角边作直角三角形abB0，得AB的实长aB0。在aB0上由a点起量取15mm得C0点。过C0点作bB0的平行线交ab于c点。由c点作OX轴的垂线交a′b′于c′点，则点C(c、c′)即为所求。本题还可以以a′b′和ΔY为两直角边作直角三角形进行求解，作法相似，请自行分析。图3-18直线上取分点【例3-10】已知直线AB的两个投影ab和a′b′，如图3-18（a）所示，试在该直线上取一点C，使AC=15mm，求作C点的投影c和c′。3.2.5两直线的相对位置空间中两直线的相对位置有平行、相交和交叉。若两直线平行，则其同面投影也平行，且符合定比性；若两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影应符合投影规律；若两直线交叉，则其同面投影既不符合平行两直线的投影规律，又不符合相交两直线的投影规律。图3-19斜三棱柱中的两直线平行3.2.5两直线的相对位置1.两直线平行若立体的两直线平行，则两直线的三视图必定相互平行。如图3-19所示，斜三棱柱三条斜棱的三视图均应相互平行,上、下底面边线的三视图也应对应平行。2.两直线相交若空间中两直线相交，则必有交点，其交点是两条直线的共有点，并且该交点必符合点的投影特性。即相交两直线的同面投影分别相交，且交点的两投影连线垂直于投影轴。如图3-19所示，棱线AB、BE的三面投影都相交，且交点连线符合点的投影规律，所以两棱线相交。但棱线BE、DF的三面投影都相交，但主、俯视图交点连线不竖直（不符合点的投影规律），所以两棱线不相交。3.两直线交叉空间中既不平行又不相交的两直线称为交叉直线。交叉两直线在空间中不存在交点，然而它们的同面投影却可能出现相交的情况。这是两直线上点的同面投影重影的缘故。图319中的棱线BE、DF即为交叉两棱线。交叉两棱线投影的交点是空间两重影点的投影，如俯视图中be、df的交点m(n)是空间两点M、N的重影。由棱线BE上的点M可见，be可见，df不可见。平面的投影3.33.3.1平面的表示方法通常用平面上的点、直线或平面图形等几何元素的投影来表示平面的投影，如图3-20所示。图3-20用几何元素的投影表示平面的投影3.3.2各种位置平面的投影根据平面在三面投影体系中对三个投影面所处位置的不同，可将平面分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三类。其中，后两类平面统称为特殊位置平面。图3-21一般位置平面的投影1.一般位置平面一般位置平面指与投影面既不平行又不垂直的平面。平面与H、V、W面的倾角分别用α、β及γ表示。一般位置平面与每个投影面的倾角为0°～90°。由图3-21可以看出，一般位置平面的投影特性如下：（1）三个投影既没有积聚性，又不反映实长，也不能直接反映出与三个投影面的倾角。（2）若是用平面图形表示的平面，则其投影均是面积缩小的类似形。3.3.2各种位置平面的投影2.投影面垂直面只垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。在三面投影体系中，投影面垂直面根据所垂直的投影面又可分为铅垂面、正垂面和侧垂面三种。（1）正垂面，即垂直于V面倾斜于H、W面的平面。（2）铅垂面，即垂直于H面倾斜于V、W面的平面。（3）侧垂面，即垂直于W面倾斜于H、V面的平面。图3-22给出了三棱柱位于不同位置时表面的三种投影面垂直面。图3-22三种投影面垂直面3.3.2各种位置平面的投影2.投影面垂直面投影面垂直面的投影特性如下：（1）在平面所垂直的投影面上的投影积聚成一直线。该直线与投影轴的夹角分别反映该平面对另外两个投影面的真实倾角。（2）其余两个投影面上的投影是与空间平面图形相类似的平面图形。各投影面垂直面的立体图、投影图及投影特性见表3-3。3.3.2各种位置平面的投影2.投影面垂直面3.3.2各种位置平面的投影3.投影面平行面平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面根据其所平行的投影面又可以分为正平面、水平面和侧平面。（1）正平面，即平行于V面垂直于H、W面的平面。（2）水平面，即平行于H面垂直于V、W面的平面。（3）侧平面，即平行于W面垂直于H、V面的平面。在图3-23所示的立方体上，平面P为正平面，平面R为水平面，平面Q为侧平面。图3-23投影面平行面3.3.2各种位置平面的投影3.投影面平行面投影面平行面的投影特性如下：（1）平面在所平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。（2）平面在另外两投影面上的投影均积聚为一直线，且分别平行于该平面平行的投影面所包含的两个投影轴（与该平面的相应迹线重合）。各投影面平行面的立体图、投影图及投影特性见表3-4。3.3.2各种位置平面的投影3.投影面平行面3.3.3直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交，先根据特殊位置平面的投影特性及其某些投影的积聚性，可以直接求出交点。然后用线上取点的基本作图方法求出交点的另外两个投影。【例3-11】如图3-24（a）所示，求棱线SA与正垂面P的交点的三面投影。图3-24棱线与特殊位置平面相交作图：交点是正垂面P和棱线SA的共有点，因此，交点D的正面投影应位于PV上，也位于s′a′上，即s′a′与PV的交点d′为线面交点D的一个已知投影[图3-24（b）]。用线上取点作图方法，过d′向下作垂线即可在sa上求得d点。同法可作出交点E的投影。在图3-24（c）作出了SA、SB两条棱线与P面交点D、E的投影。3.3.4平面内的点和直线1.平面内的点过平面内任意点可作无数条直线，所以，点在平面内，则点必在该平面内的任一条直线上。在平面内任一直线上所取的任一点均在平面内。所以，在平面内取点的投影，是在平面内先作辅助线，然后在直线上求点的投影。（1）点在特殊位置平面上。因为特殊位置平面在某个投影面（投影面垂直面）或某两个投影面（投影面平行面）的投影积聚为直线段，所以，如果点在平面非积聚的投影上的投影已知，则可利用特殊位置平面的投影积聚性直接求点的投影。3.3.4平面内的点和直线图3-25在特殊位置平面上取点【例3-12】如图3-25（a）所示，已知正垂面ABC的两面投影及该面上一点D的水平投影d，求点D的正面投影d′。作图过程如图3-25（b）所示。（2）点在一般位置平面上。若已知平面内点的一个投影，求点的其他投影，则必须利用辅助线来确定点的投影。即先过点的已知投影在平面内取一条辅助直线，然后在该直线上利用点与直线的从属性及点的投影规律确定点的其他投影。3.3.4平面内的点和直线图3-26在一般位置平面上取点【例3-13】如图3-26（a）所示，已知平面ABC的两面投影及其上点D的正面投影d′，求水平投影d。作图过程如图3-26（b）所示。3.3.4平面内的点和直线2.平面内的直线平面内的直线有无数条，即使通过指定点的直线也有无数条，在实际投影作图中，经常会有一些条件限制或所作直线为特殊位置直线。（1）在平面内取一直线。直线在平面内，则直线必通过该平面内的两个点。反之，过平面内的任意两点作一直线，则该直线必在该平面内，如图3-27（a）所示。或者，过平面内的任一点作一直线平行于该平面内的一已知直线，则所作直线必在该平面内，如图3-27（b）所示。（2）在平面内作投影面的平行线。平面内的投影面平行线就是既要在平面内又要平行于投影面的直线，在投影中，它既要符合投影面平行线的投影特点，又要符合直线在平面上的条件。如图3-27（c）所示，过平面ABC内的C点作水平线。作出c′d′//OX轴，交于a′b′于d′点，然后求出水平投影d，连接dc，就求得了CD的两面投