2025 九年级数学下册二次函数图像顶点在 x 轴上的判别式应用课件

一、知识铺垫：从二次函数的基本形式到顶点坐标演讲人CONTENTS知识铺垫：从二次函数的基本形式到顶点坐标核心突破：顶点在x轴上的条件与判别式的关系应用场景：判别式在顶点在x轴上问题中的具体应用思维提升：从特殊到一般的归纳与拓展总结与升华：从知识到能力的跨越目录2025九年级数学下册二次函数图像顶点在x轴上的判别式应用课件各位同学，今天我们要共同探索二次函数中一个重要的特殊情形——当抛物线的顶点恰好落在x轴上时，如何通过判别式分析和解决问题。这部分内容既是二次函数图像性质的深化，也是一元二次方程与二次函数关联的典型应用。作为一线数学教师，我曾目睹许多学生在理解“顶点位置”与“判别式”的关系时陷入困惑，也见证过他们通过系统推导后豁然开朗的瞬间。希望今天的课程能帮大家建立清晰的知识脉络，让抽象的数学关系变得具体可感。01知识铺垫：从二次函数的基本形式到顶点坐标知识铺垫：从二次函数的基本形式到顶点坐标要理解“顶点在x轴上”的条件，我们首先需要回顾二次函数的两种常见表达式及其顶点坐标的求解方法。这部分内容是后续推导的基础，就像盖楼需要先打好地基一样重要。1二次函数的两种表达式二次函数的一般式为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），顶点式为(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)）。两种表达式各有优势：一般式便于直接观察二次项系数(a)对开口方向的影响，以及常数项(c)与y轴交点的关系；顶点式则能直接读出顶点坐标((h,k))，直观反映抛物线的对称轴和最值位置。2顶点坐标的两种求解方式顶点式直接读取：在顶点式(y=a(x-h)^2+k)中，顶点坐标为((h,k))。例如，(y=2(x-3)^2+5)的顶点是((3,5))，(y=-(x+1)^2-4)的顶点是((-1,-4))。一般式公式计算：对于一般式(y=ax^2+bx+c)，顶点横坐标(h=-\frac{b}{2a})，纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a})。这个公式可以通过配方法推导得出：将(ax^2+bx+c)配方为(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a})，因此顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。3顶点位置与图像特征的关联顶点是抛物线的最高点（当(a<0)时）或最低点（当(a>0)时）。顶点的纵坐标(k)决定了抛物线的“高低”：当(k>0)时，顶点在x轴上方，抛物线整体可能与x轴无交点（若开口向上）或有两个交点（若开口向下）；当(k<0)时，顶点在x轴下方，抛物线整体可能与x轴有两个交点（开口向上）或无交点（开口向下）；而当(k=0)时，顶点恰好落在x轴上，此时抛物线与x轴有且仅有一个公共点——顶点本身。02核心突破：顶点在x轴上的条件与判别式的关系核心突破：顶点在x轴上的条件与判别式的关系现在我们聚焦核心问题：当顶点在x轴上时，二次函数需要满足什么条件？这需要将顶点纵坐标(k=0)与判别式(\Delta)联系起来分析。1从顶点纵坐标推导条件根据一般式的顶点纵坐标公式(k=\frac{4ac-b^2}{4a})，若顶点在x轴上，则(k=0)，即：[\frac{4ac-b^2}{4a}=0]由于(a\neq0)（二次函数定义），两边同乘(4a)得：[4ac-b^2=0]即(b^2-4ac=0)。2判别式的定义与几何意义在一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）中，判别式(\Delta=b^2-4ac)。其几何意义是二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像与x轴交点的个数：当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；当(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根（即一个实根），抛物线与x轴有一个交点（顶点）；当(\Delta<0)时，方程无实数根，抛物线与x轴无交点。3关键结论：顶点在x轴上的充要条件结合上述推导可知：二次函数(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的顶点在x轴上的充要条件是其判别式(\Delta=b^2-4ac=0)。这一结论将顶点的位置（几何特征）与判别式（代数工具）紧密联系起来，是解决相关问题的核心依据。03应用场景：判别式在顶点在x轴上问题中的具体应用应用场景：判别式在顶点在x轴上问题中的具体应用掌握了理论依据后，我们需要通过具体问题体会判别式的应用价值。以下从三类典型问题出发，逐步深化理解。3.1已知顶点在x轴上，求参数的值或范围这类问题通常给出二次函数的表达式（含参数），并告知其顶点在x轴上，要求求出参数的值。解题的关键是利用(\Delta=0)建立方程求解。例1：已知二次函数(y=x^2+(m-3)x+m)的顶点在x轴上，求m的值。分析：根据顶点在x轴上的条件，判别式(\Delta=0)。解答：应用场景：判别式在顶点在x轴上问题中的具体应用计算判别式(\Delta=(m-3)^2-4\times1\timesm=m^2-6m+9-4m=m^2-10m+9)。令(\Delta=0)，即(m^2-10m+9=0)，解得(m=1)或(m=9)。验证：当(m=1)时，函数为(y=x^2-2x+1=(x-1)^2)，顶点((1,0))在x轴上；当(m=9)时，函数为(y=x^2+6x+9=(x+3)^2)，顶点((-3,0))也在x轴上。结论正确。应用场景：判别式在顶点在x轴上问题中的具体应用常见误区：部分同学可能忘记二次项系数(a\neq0)的隐含条件，但本题中(a=1)，无需额外验证；若题目中参数出现在(a)的位置（如(y=(k-1)x^2+2x+1)），则需确保(k-1\neq0)，即(k\neq1)。3.2判断二次函数图像是否满足顶点在x轴上这类问题需要根据给定的二次函数表达式，计算判别式并判断(\Delta)是否为0，从而确定顶点位置。例2：判断二次函数(y=-2x^2+4x-2)的顶点是否在x轴上。应用场景：判别式在顶点在x轴上问题中的具体应用分析：计算判别式(\Delta)，若(\Delta=0)，则顶点在x轴上。解答：(\Delta=4^2-4\times(-2)\times(-2)=16-16=0)。因此，该函数的顶点在x轴上。图像验证：将函数配方得(y=-2(x-1)^2+0)，顶点为((1,0))，确实在x轴上。3实际问题中的应用：构建模型求解二次函数在实际问题中常用来描述抛物线型轨迹（如投篮、喷泉）、桥梁拱顶等。当题目中提到“最高点/最低点恰好接触地面（x轴）”时，往往对应顶点在x轴上的情形，需利用(\Delta=0)求解。例3：某运动员练习投篮时，篮球的运动轨迹可近似为二次函数(y=-\frac{1}{5}x^2+bx+c)（x为水平距离，y为高度，单位：米）。已知篮球在水平距离6米处达到最高点，且此时刚好触碰到篮筐上沿（高度为3米）。但实际篮筐高度为3.05米，为使篮球在最高点刚好进入篮筐，需调整参数b或c。若仅调整c，求新的c值。3实际问题中的应用：构建模型求解分析：题目中“最高点”即抛物线的顶点，“刚好进入篮筐”意味着顶点纵坐标为3.05米，且顶点横坐标为6米（水平距离6米处）。但根据顶点在x轴上的条件，这里需要注意：题目中的“触碰到篮筐”并非触碰到x轴，而是触碰到高度为3.05米的位置，因此需要结合顶点坐标公式求解。不过，若题目改为“篮球落地时的最高点在地面（x轴）”，则顶点纵坐标为0，此时需用(\Delta=0)。为了贴合本节课主题，我们调整问题：若篮球的最高点恰好落在地面（x轴），求c的值。修正后问题：篮球的运动轨迹为(y=-\frac{1}{5}x^2+bx+c)，最高点恰好落在地面（x轴），求c与b的关系。解答：3实际问题中的应用：构建模型求解顶点横坐标(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2\times(-\frac{1}{5})}=\frac{5b}{2})，顶点纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times(-\frac{1}{5})c-b^2}{4\times(-\frac{1}{5})}=\frac{-\frac{4c}{5}-b^2}{-\frac{4}{5}}=\frac{4c+5b^2}{4})。因为顶点在x轴上，所以(k=0)，即(\frac{4c+5b^2}{4}=0)，解得(c=-\frac{5b^2}{4})。3实际问题中的应用：构建模型求解实际意义：这说明当篮球的最高点落在地面时，初始高度c与水平速度相关的参数b满足(c=-\frac{5b^2}{4})，这在体育训练中可用于调整投篮角度和力度，使篮球刚好触地（虽然实际投篮不会这样，但数学模型能帮助我们理解变量间的关系）。04思维提升：从特殊到一般的归纳与拓展思维提升：从特殊到一般的归纳与拓展通过前面的学习，我们已经掌握了顶点在x轴上的条件及应用，但数学思维的培养需要从“解决具体问题”转向“归纳一般规律”。以下从两个角度拓展思考。1顶点在坐标轴上的条件对比除了x轴，顶点也可能在y轴上。我们可以对比两者的条件，加深理解：顶点在x轴上：纵坐标(k=0)，即(\Delta=b^2-4ac=0)；顶点在y轴上：横坐标(h=0)，即(-\frac{b}{2a}=0)，因此(b=0)（此时函数表达式为(y=ax^2+c)）。例4：二次函数(y=ax^2+bx+c)的顶点既在x轴上又在y轴上，求a、b、c满足的条件。1顶点在坐标轴上的条件对比解答：顶点在y轴上需(b=0)，顶点在x轴上需(\Delta=b^2-4ac=0)。代入(b=0)得(0-4ac=0)，即(ac=0)。但(a\neq0)（二次函数定义），因此(c=0)。综上，函数为(y=ax^2)（(a\neq0)），顶点为((0,0))，确实在x轴和y轴上。2判别式与二次函数其他性质的联系判别式(\Delta)不仅能判断顶点是否在x轴上，还与二次函数的最值、根的分布等密切相关：当(\Delta=0)时，二次函数的最小值（(a>0)）或最大值（(a<0)）为0；当(\Delta>0)时，函数图像与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程(ax^2+bx+c=0)的根，且两点关于对称轴对称（距离对称轴的距离均为(\frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|})）；当(\Delta<0)时，函数在全体实数范围内恒正（(a>0)）或恒负（(a<0)）。05总结与升华：从知识到能力的跨越总结与升华：从知识到能力的跨越本节课我们围绕“二次函数图像顶点在x轴上的判别式应用”展开，核心内容可归纳为：1知识脉络总结条件推导：顶点在x轴上(\Leftrightarrow)顶点纵坐标(k=0)(\Leftrightarrow)(\frac{4ac-b^2}{4a}=0)(\Leftrightarrow)(\Delta=b^2-4ac