2025 九年级数学下册二次函数图像关于 x 轴对称后的顶点坐标课件

一、知识铺垫：二次函数的“基础画像”演讲人CONTENTS知识铺垫：二次函数的“基础画像”核心探究：对称变换后的函数表达式与顶点坐标易错点与典型例题实践巩固：分层练习与思维提升总结与升华：从“变换”到“不变”的数学思想目录2025九年级数学下册二次函数图像关于x轴对称后的顶点坐标课件序：从一次课堂疑问说起记得去年教授二次函数图像变换时，有位学生举着练习本问我：“老师，课本上只讲了图像平移和旋转，要是关于x轴对称呢？顶点坐标会怎么变？”这个问题像一颗小石子投入水面，激起了我对这一知识点系统梳理的思考。作为九年级数学教师，我深知二次函数是初中数学的核心内容，而图像变换又是其中的关键能力点。今天，我们就从“二次函数图像关于x轴对称后的顶点坐标”这一具体问题出发，展开一场严谨而生动的探究之旅。01知识铺垫：二次函数的“基础画像”知识铺垫：二次函数的“基础画像”要研究图像变换后的顶点坐标，首先需要明确原二次函数的基本特征。就像要改造一座房子，必须先清楚它原本的结构。1二次函数的三种表达式及顶点坐标二次函数的表达式有三种常见形式，每种形式都能直接或间接反映顶点坐标：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）顶点坐标可通过配方法或公式法求得。配方法推导过程如下：(y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right))因此顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，这是所有二次函数顶点的“通用定位公式”。顶点式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)）1二次函数的三种表达式及顶点坐标这种形式是为顶点“量身定制”的，顶点坐标直接为((h,k))，其中(h)是顶点横坐标，(k)是纵坐标，(a)决定开口方向和大小。交点式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)，(x_1,x_2)为图像与x轴交点的横坐标）顶点横坐标是两交点横坐标的中点，即(h=\frac{x_1+x_2}{2})，纵坐标可代入顶点横坐标求得(k=a\left(\frac{x_1+x_2}{2}-x_1\right)\left(\frac{x_1+x_2}{2}-x_2\right)=-\frac{a(x_1-x_2)^2}{4})。这三种表达式中，顶点式是最直观反映顶点信息的，因此在研究图像变换时，我们常优先将函数化为顶点式。2平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律图像由点组成，图像变换本质是点的变换。关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数。即若点(P(x,y))在原图像上，则其关于x轴的对称点(P'(x,-y))必在变换后的图像上。这一规律是推导对称后函数表达式的关键依据。02核心探究：对称变换后的函数表达式与顶点坐标1从点的变换到函数表达式的推导假设原二次函数为(y=f(x))，其图像上任意一点((x,y))满足(y=f(x))。关于x轴对称后，该点变为((x,-y))，设变换后的函数为(y=g(x))，则(-y=g(x))，即(y=-f(x))。因此，二次函数图像关于x轴对称后的函数表达式为原函数的相反数，即(g(x)=-f(x))。2顶点式下的对称变换分析若原函数为顶点式(y=a(x-h)^2+k)，则对称后的函数为(y=-[a(x-h)^2+k]=-a(x-h)^2-k)。此时，新函数仍为顶点式，其顶点坐标为((h,-k))。这一结论简洁明了：关于x轴对称后，顶点的横坐标不变，纵坐标取相反数。案例1：原函数为(y=2(x-3)^2+4)，顶点为((3,4))。对称后函数为(y=-2(x-3)^2-4)，顶点变为((3,-4))。通过画图验证（此处可展示手绘或几何画板动态图），原图像开口向上，顶点在第一象限；对称后开口向下，顶点在第四象限，横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合推导结果。3一般式下的对称变换分析若原函数为一般式(y=ax^2+bx+c)，对称后的函数为(y=-ax^2-bx-c)。此时，我们需要重新计算顶点坐标。根据一般式顶点坐标公式，新函数的顶点横坐标为(-\frac{-b}{2(-a)}=-\frac{b}{2a})（与原函数顶点横坐标相同）；纵坐标为(\frac{4(-a)(-c)-(-b)^2}{4(-a)}=\frac{4ac-b^2}{-4a}=-\frac{4ac-b^2}{4a})（与原函数顶点纵坐标互为相反数）。这与顶点式推导的结果一致，进一步验证了结论的普适性。3一般式下的对称变换分析案例2：原函数为(y=x^2-2x+3)，先化为顶点式：(y=(x-1)^2+2)，顶点为((1,2))。对称后函数为(y=-x^2+2x-3)，化为顶点式：(y=-[(x-1)^2-1]-3=-(x-1)^2-2)，顶点为((1,-2))，与原顶点((1,2))横坐标相同，纵坐标相反。4交点式下的对称变换分析若原函数为交点式(y=a(x-x_1)(x-x_2))，对称后函数为(y=-a(x-x_1)(x-x_2))。其顶点横坐标仍为(\frac{x_1+x_2}{2})（与原函数相同），纵坐标为原函数顶点纵坐标的相反数（推导过程略）。例如，原函数(y=3(x-1)(x-5))的顶点横坐标为(\frac{1+5}{2}=3)，纵坐标为(3(3-1)(3-5)=3\times2\times(-2)=-12)，顶点为((3,-12))；对称后函数为(y=-3(x-1)(x-5))，顶点纵坐标为(-(-12)=12)，顶点为((3,12))，符合“横坐标不变，纵坐标相反”的规律。03易错点与典型例题1学生常见错误分析在教学实践中，学生处理此类问题时容易出现以下错误：符号混淆：将对称后的函数表达式错误写为(y=a(x-h)^2-k)（漏变二次项系数的符号），例如原函数(y=2(x-3)^2+4)，错误地认为对称后是(y=2(x-3)^2-4)，忽略了开口方向必须反转（二次项系数变号）。顶点坐标计算错误：在一般式中，误用公式计算对称后的顶点纵坐标，例如忘记分母的负号，导致纵坐标符号错误。图像特征理解偏差：认为对称后顶点横坐标会改变，例如误认为原顶点((2,5))对称后是((-2,-5))，忽略了关于x轴对称仅影响纵坐标。2典型例题解析例1：已知二次函数(y=-3(x+2)^2+7)，求其图像关于x轴对称后的函数表达式及顶点坐标。解析：原函数顶点式为(y=-3(x-(-2))^2+7)，顶点为((-2,7))。对称后函数表达式为(y=-[-3(x+2)^2+7]=3(x+2)^2-7)。新顶点坐标为((-2,-7))（横坐标不变，纵坐标取反）。例2：二次函数(y=2x^2-4x+1)的图像关于x轴对称后，求新函数的顶点坐标。2典型例题解析解析：方法一（顶点式法）：原函数化为顶点式：(y=2(x^2-2x)+1=2(x-1)^2-1)，顶点为((1,-1))。对称后顶点为((1,1))。方法二（一般式法）：对称后函数为(y=-2x^2+4x-1)。顶点横坐标(h=-\frac{4}{2\times(-2)}=1)，纵坐标(k=\frac{4\times(-2)\times(-1)-4^2}{4\times(-2)}=\frac{8-16}{-8}=\frac{-8}{-8}=1)，顶点为((1,1))。2典型例题解析两种方法结果一致，验证了结论的正确性。例3：如图（此处可插入图像），抛物线(C_1)的顶点为(A(2,3))，且过点(B(0,1))，求(C_1)关于x轴对称的抛物线(C_2)的顶点坐标及表达式。解析：设(C_1)的表达式为(y=a(x-2)^2+3)，代入(B(0,1))得(1=a(0-2)^2+3)，解得(a=-\frac{1}{2})，故(C_1)：(y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3)。2典型例题解析(C_2)是(C_1)关于x轴对称的图像，故表达式为(y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3)，顶点为((2,-3))。04实践巩固：分层练习与思维提升1基础练习（面向全体学生）写出下列二次函数关于x轴对称后的函数表达式及顶点坐标：1基础练习（面向全体学生）(y=4(x-5)^2+6)②(y=-\frac{1}{3}(x+1)^2-2)在右侧编辑区输入内容③(y=2x^2+8x-3)（提示：先化为顶点式）已知抛物线(y=ax^2+bx+c)的顶点为((m,n))，则其关于x轴对称的抛物线的顶点为______。2能力提升（面向学有余力学生）抛物线(C)关于x轴对称后的抛物线为(y=3(x+4)^2-9)，求原抛物线(C)的顶点坐标及表达式。若二次函数(y=f(x))与(y=-f(x))的图像的顶点相距8个单位长度，求原函数顶点的纵坐标。3课堂反馈与纠错通过巡视学生练习，发现典型错误（如例1中漏变二次项系数符号），邀请学生上台展示解题过程，集体订正。强调“关于x轴对称”的双重影响：函数值取反（导致开口方向反转）和顶点纵坐标取反。05总结与升华：从“变换”到“不变”的数学思想总结与升华：从“变换”到“不变”的数学思想回顾整节课的探究过程，我们从点的对称规律出发，推导了二次函数图像关于x轴对称后的表达式变化，进而得出顶点坐标的变换规律：顶点横坐标不变，纵坐标取相反数。这一结论的背后，是“由特殊到一般”“数形结合”的数学思想的体现——既通过具体函数验证了规律，又从代数表达式和几何图