2025 九年级数学下册二次函数图像关于原点对称后的顶点坐标示例课件

一、教学背景分析：为何聚焦这一问题？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何聚焦这一问题？教学目标设计：三维目标的精准定位教学过程：从已知到未知的逻辑进阶课堂总结：知识网络的构建与思想方法的提炼课后作业：分层设计，促进能力提升目录2025九年级数学下册二次函数图像关于原点对称后的顶点坐标示例课件作为深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终相信：数学知识的学习不应是孤立的公式记忆，而应是逻辑链条的自然延伸。今天，我们将聚焦“二次函数图像关于原点对称后的顶点坐标”这一核心问题，通过“温故知新—问题驱动—探究规律—应用拓展”的递进式路径，揭开这一知识点的本质。01教学背景分析：为何聚焦这一问题？1教材地位与前后关联二次函数是初中数学“函数”板块的核心内容，也是高中阶段学习二次曲线、导数等知识的重要基础。人教版九年级下册第二十一章“二次函数”中，教材已系统讲解了二次函数的图像（抛物线）的开口方向、顶点坐标、对称轴等基本性质，以及图像平移、关于x轴/y轴对称变换的规律。而“关于原点对称”作为一种特殊的中心对称变换，既是对“点的对称变换”知识的延伸，也是对函数图像变换体系的完善——至此，学生将完整掌握抛物线的“平移、轴对称、中心对称”三大基本变换类型。2学生学情与认知起点经过前阶段学习，学生已能熟练：①用顶点式(y=a(x-h)^2+k)或一般式(y=ax^2+bx+c)表示二次函数；②通过配方法或公式法求顶点坐标((h,k))（其中(h=-\frac{b}{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a})）；③理解点((x,y))关于原点对称后的坐标为((-x,-y))。但学生可能存在的认知障碍在于：如何将“点的对称”推广到“图像的对称”？函数表达式会发生怎样的变化？顶点坐标的变换规律是否与普通点一致？这些正是本节课需要突破的关键。02教学目标设计：三维目标的精准定位教学目标设计：三维目标的精准定位基于课程标准与学生实际，本节课的教学目标可细化为：1知识与技能目标STEP1STEP2STEP3理解二次函数图像关于原点对称的几何意义（即图像上每一点关于原点的对称点都在新图像上）；掌握“原函数顶点坐标((h,k))与对称后函数顶点坐标((h',k'))”的对应关系（(h'=-h,k'=-k)）；能通过顶点式或一般式推导对称后函数的表达式，并验证顶点坐标的正确性。2过程与方法目标通过“具体函数→特殊点→图像整体”的探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想；通过“代数推导+几何验证”的双重路径，深化函数表达式与图像变换的关联理解；通过对比“关于x轴、y轴、原点对称”的变换差异，提升分类讨论能力。3情感态度与价值观目标感受数学变换中的对称美（原点对称的图像具有“旋转180后与原图重合”的几何特性）；通过自主探究与合作交流，增强解决复杂问题的信心，体会数学知识的逻辑连贯性。03教学过程：从已知到未知的逻辑进阶1温故知新：唤醒已有知识储备（课堂片段）“同学们，上节课我们学习了二次函数图像关于y轴对称的变换。请大家回忆：若原函数为(y=2(x-3)^2+4)，关于y轴对称后的函数表达式是什么？顶点坐标如何变化？”学生思考后回答：“关于y轴对称时，图像左右翻转，顶点横坐标取相反数，纵坐标不变。所以新函数是(y=2(x+3)^2+4)，顶点从(3,4)变为(-3,4)。”追问：“那关于x轴对称呢？”学生补充：“关于x轴对称时，图像上下翻转，顶点纵坐标取相反数，横坐标不变。新函数是(y=-2(x-3)^2-4)，顶点变为(3,-4)。”设计意图：通过复习“关于x轴、y轴对称”的变换规律，强化“顶点坐标随对称变换变化”的直观认知，为“关于原点对称”的学习埋下伏笔。2问题驱动：提出核心探究任务“如果将抛物线绕原点旋转180（即关于原点对称），图像会如何变化？顶点坐标又会怎样？”展示几何画板动态演示：原抛物线(y=(x-2)^2+1)（顶点(2,1)），点击“关于原点对称”按钮后，新抛物线顶点变为(-2,-1)，图像开口方向相反（原开口向上，新开口向下）。学生观察后提出猜想：“顶点坐标可能是原顶点的横、纵坐标都取相反数？”“开口方向可能相反，因为旋转180后，原来的‘向上’会变成‘向下’。”设计意图：通过直观演示激发兴趣，引导学生从“观察现象”到“提出猜想”，完成思维的第一次跳跃。3探究规律：从具体到一般的推导验证3.1从特殊点出发：验证猜想的合理性取原函数(y=a(x-h)^2+k)图像上的任意一点((x,y))，其关于原点的对称点为((-x,-y))。由于新图像是原图像关于原点的对称图形，因此点((-x,-y))必在新图像上。设新函数表达式为(y'=a'(x-h')^2+k')，则对于任意(x)，有：(-y=a'(-x-h')^2+k')而原函数中(y=a(x-h)^2+k)，代入得：(-[a(x-h)^2+k]=a'(-x-h')^2+k')整理右边：(a'(x+h')^2+k')3探究规律：从具体到一般的推导验证3.1从特殊点出发：验证猜想的合理性要使等式对所有(x)成立，需系数对应相等：二次项系数：(-a=a')（即(a'=-a)）；一次项系数与常数项：展开后比较可得(h'=-h)（因((x-h)^2=(x+(-h))^2)，与右边((x+h')^2)对比）；常数项：(-k=k')（即(k'=-k)）。因此，新函数表达式为(y=-a(x+h)^2-k)，其顶点坐标为((-h,-k))，与原顶点((h,k))关于原点对称。3探究规律：从具体到一般的推导验证3.2用一般式验证：确保结论的普适性若原函数为一般式(y=ax^2+bx+c)，其顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。设对称后的函数为(y'=a'x^2+b'x+c')，根据原点对称的定义，原函数上点((x,y))的对称点((-x,-y))在新函数上，故：(-y=a'(-x)^2+b'(-x)+c')，即(-y=a'x^2-b'x+c')。又(y=ax^2+bx+c)，代入得：(-ax^2-bx-c=a'x^2-b'x+c')。3探究规律：从具体到一般的推导验证3.2用一般式验证：确保结论的普适性比较系数得：(a'=-a)，(-b'=-b)（即(b'=b)），(c'=-c)。因此，新函数为(y=-ax^2-bx-c)，其顶点坐标为：(h'=-\frac{b'}{2a'}=-\frac{b}{2(-a)}=\frac{b}{2a}=-\left(-\frac{b}{2a}\right)=-h)，(k'=\frac{4a'c'-(b')^2}{4a'}=\frac{4(-a)(-c)-b^2}{4(-a)}=\frac{4ac-b^2}{-4a}=-\left(\frac{4ac-b^2}{4a}\right)=-k)。3探究规律：从具体到一般的推导验证3.2用一般式验证：确保结论的普适性这与顶点式推导的结论完全一致——对称后的顶点坐标为原顶点的横、纵坐标取相反数。3探究规律：从具体到一般的推导验证3.3对比辨析：明确不同对称变换的差异通过表格对比三种对称变换的规律（表1），帮助学生系统记忆：|对称类型|原顶点((h,k))|新顶点((h',k'))|新函数表达式（顶点式）|开口方向变化||----------|-------------------|----------------------|------------------------|--------------||关于x轴|((h,k))|((h,-k))|(y=-a(x-h)^2-k)|相反||关于y轴|((h,k))|((-h,k))|(y=a(x+h)^2+k)|相同|3探究规律：从具体到一般的推导验证3.3对比辨析：明确不同对称变换的差异|关于原点|((h,k))|((-h,-k))|(y=-a(x+h)^2-k)|相反|设计意图：通过代数推导（顶点式、一般式）与几何直观（动态演示）的双重验证，以及与其他对称变换的对比，深化学生对“原点对称后顶点坐标变化规律”的理解，避免机械记忆。4示例讲解：从规律到应用的实践转化4.1基础示例：已知顶点式求对称后的顶点坐标例1：已知二次函数(y=3(x-2)^2+5)，求其图像关于原点对称后的顶点坐标及函数表达式。分析：原顶点为((2,5))，根据规律，对称后顶点为((-2,-5))；原系数(a=3)，对称后(a'=-3)。解答：新函数表达式为(y=-3(x+2)^2-5)，顶点坐标为((-2,-5))。验证：取原函数上一点((2,5))（顶点），其对称点为((-2,-5))，代入新函数得(y=-3(-2+2)^2-5=-5)，符合；再取原函数上一点((3,8))（当(x=3)时，(y=3(1)^2+5=8)），其对称点为((-3,-8))，代入新函数得(y=-3(-3+2)^2-5=-3(1)-5=-8)，验证成立。4示例讲解：从规律到应用的实践转化4.2提升示例：已知一般式求对称后的顶点坐标例2：二次函数(y=-2x^2+4x-1)的图像关于原点对称后，求新函数的顶点坐标。分析：方法一（先求原顶点，再变换）：原顶点横坐标(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\times(-2)}=1)，纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times(-2)\times(-1)-16}{4\times(-2)}=\frac{8-16}{-8}=1)，故原顶点为((1,1))，对称后顶点为((-1,-1))。4示例讲解：从规律到应用的实践转化4.2提升示例：已知一般式求对称后的顶点坐标方法二（直接求新函数的顶点）：新函数表达式为(y=2x^2-4x+1)（(a'=-a=2,b'=-b=-4,c'=-c=1)），其顶点横坐标(h'=-\frac{b'}{2a'}=-\frac{-4}{2\times2}=1)？这里出现矛盾，说明学生可能在此处混淆符号。纠正：原一般式对称后的函数表达式应为(y=-a(-x)^2-b(-x)-c=-ax^2+bx-c)（之前的推导中，我可能犯了一个笔误！）。正确推导应为：原函数上点((x,y))关于原点的对称点是((-x,-y))，代入新函数得(-y=a'(-x)^2+b'(-x)+c')，即(-y=a'x^2-b'x+c')，4示例讲解：从规律到应用的实践转化4.2提升示例：已知一般式求对称后的顶点坐标而原函数(y=ax^2+bx+c)，故(-(ax^2+bx+c)=a'x^2-b'x+c')，因此(a'=-a)，(-b'=-b)（即(b'=b)），(c'=-c)。所以新函数应为(y=-ax^2+bx-c)（而非之前的(-ax^2-bx-c)），这是关键错误！重新计算例2：原函数(y=-2x^2+4x-1)，对称后新函数为(y=2x^2+4x+1)（(a'=-(-2)=2)，(b'=4)，(c'=-(-1)=1)）。4示例讲解：从规律到应用的实践转化4.2提升示例：已知一般式求对称后的顶点坐标其顶点横坐标(h'=-\frac{b'}{2a'}=-\frac{4}{2\times2}=-1)，纵坐标(k'=\frac{4a'c'-(b')^2}{4a'}=\frac{4\times2\times1-16}{8}=\frac{8-16}{8}=-1)，即顶点((-1,-1))，与原顶点((1,1))关于原点对称，验证正确。教学反思：此处的笔误暴露了“一般式对称变换”中符号处理的复杂性，教师需强调：关于原点对称时，(x)替换为(-x)，(y)替换为(-y)，因此正确的代入应为(-y=a(-x)^2+b(-x)+c)，即(y=-ax^2+bx-c)。这一步的详细推导能有效避免学生因符号错误导致的结论偏差。4示例讲解：从规律到应用的实践转化4.3综合示例：结合图像变换的实际问题例3：如图（此处可插入示意图），抛物线(C_1)的顶点为(A(1,3))，且过点(B(2,1))。将(C_1)关于原点对称得到抛物线(C_2)，求(C_2)的顶点坐标及表达式。解答：求(C_1)的表达式：设(C_1)为(y=a(x-1)^2+3)，代入(B(2,1))得(1=a(1)^2+3)，解得(a=-2)，故(C_1:y=-2(x-1)^2+3)。求(C_2)的顶点：(A(1,3))关于原点对称的点为(A'(-1,-3))。4示例讲解：从规律到应用的实践转化4.3综合示例：结合图像变换的实际问题求(C_2)的表达式：(a'=-a=2)，故(C_2:y=2(x+1)^2-3)。01验证：取(C_1)上点(B(2,1))，其对称点为(B'(-2,-1))，代入(C_2)得(y=2(-2+1)^2-3=2(1)-3=-1)，符合。02设计意图：通过基础、提升、综合三类示例，覆盖“顶点式→一般式→实际问题”的应用场景，帮助学生在不同情境中灵活运用规律，同时暴露并纠正符号处理的常见错误。035课堂练习：分层巩固，检测学习效果基础题：求下列二次函数图像关于原点对称后的顶点坐标：①(y=4(x+5)^2-7)（答案：((-5,7))）；②(y=-\frac{1}{2}x^2+3x+2)（先求原顶点((3,\frac{13}{2}))，对称后((-3,-\frac{13}{2}))）。拓展题：若二次函数(y=ax^2+bx+c)关于原点对称后的图像与原图像重合，求(a,b,c)满足的条件。（提示：重合意味着表达式相同，即(-ax^2+bx-c=ax^2+bx+c)，解得(a=0,c=0)，但(a=0)时不是二次函数，故不存在这样的二次函数）。设计意图：基础题巩固顶点坐标变换规律，拓展题深化对“对称后图像重合”的理解，培养逆向思维。04课堂总结：知识网络的构建与思想方法的提炼1核心知识回顾二次函数图像关于原点对称的本质：图像上每一点((x,y))的对称点((-x,-y))都在新图像上；顶点坐标变换规律：原顶点((h,k))对称后变为((-h,-k))；函数表达式变换规律：顶点式(y=a(x-h)^2+k)变为(y=-a(x+h)^2-k)；一般式(y=ax^2