2025 九年级数学下册相似三角形位似变换坐标规律推导课件

一、知识铺垫：从相似三角形到位似变换的认知衔接演讲人知识铺垫：从相似三角形到位似变换的认知衔接01坐标规律的应用：从理论到实践的迁移02位似变换坐标规律的推导：从特殊到一般的探究03总结与升华：位似变换坐标规律的核心与数学思想04目录2025九年级数学下册相似三角形位似变换坐标规律推导课件各位同学、同仁：今天，我们将共同探索相似三角形中一种特殊的变换——位似变换，并重点推导其在平面直角坐标系中的坐标规律。这部分内容既是相似三角形知识的深化，也是数形结合思想的典型应用，更是后续学习图形变换、解析几何的重要基础。作为一线数学教师，我深知这一内容对学生空间观念与代数运算能力的双重挑战，因此，我将结合多年教学经验，以“从直观到抽象、从特殊到一般”的思路，带大家逐步揭开位似变换坐标规律的面纱。01知识铺垫：从相似三角形到位似变换的认知衔接1相似三角形的核心性质回顾在学习位似变换前，我们首先需要明确相似三角形的基本特征。相似三角形的定义是：对应角相等，对应边成比例的三角形，其本质是图形的“缩放”变换（不改变形状，仅改变大小）。相似比（或位似比）是相似图形中对应边的比值，记作(k)（(k>0)时为放大，(0<k<1)时为缩小）。例如，若(\triangleABC\sim\triangleA'B'C')，相似比为2，则(AB:A'B'=BC:B'C'=AC:A'C'=1:2)，且(\angleA=\angleA')，(\angleB=\angleB')等。2位似变换的特殊性：从“任意相似”到“中心约束”相似图形的位置关系可以是任意的，但位似变换是一种有中心的相似变换。具体来说，位似图形的定义是：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点（即位似中心），对应边互相平行（或共线）。这一定义包含三个关键要素：相似性：满足相似三角形的所有性质（对应角相等，对应边成比例）；共点性：所有对应顶点的连线交于同一位似中心；平行性：对应边平行（或共线），这是位似图形区别于一般相似图形的重要特征（一般相似图形的对应边可能不平行）。2位似变换的特殊性：从“任意相似”到“中心约束”例如，若以点(O)为位似中心，将(\triangleABC)放大为(\triangleA'B'C')，则直线(AA')、(BB')、(CC')必交于(O)，且(AB\parallelA'B')，(BC\parallelB'C')等。1.3位似变换的分类：同侧位似与异侧位似根据位似图形与位似中心的位置关系，位似变换可分为两类：同侧位似（正位似）：位似比(k>0)，对应顶点在位似中心的同侧（如(O)在(A)与(A')之间，或(A)、(A')均在(O)的同一侧）；2位似变换的特殊性：从“任意相似”到“中心约束”异侧位似（反位似）：位似比(k<0)，对应顶点在位似中心的异侧（如(O)在(A)与(A')之间，(A)在(O)左侧，(A')在右侧）。这一分类将直接影响后续坐标规律的符号推导，需要特别注意。02位似变换坐标规律的推导：从特殊到一般的探究1特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律为了简化问题，我们首先研究**位似中心为坐标原点(O(0,0))**的情形，这是最基础且常见的情况。1特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律1.1从具体实例到一般公式的归纳假设位似中心为原点(O)，位似比为(k)，原图形上一点(P(x,y))经过位似变换后对应点为(P'(x',y'))。我们通过具体例子观察规律：例1：取(P(2,3))，位似比(k=2)，则(P')应满足(OP':OP=2:1)，且(O)、(P)、(P')共线。由于(OP)的方向向量为((2,3))，放大2倍后方向向量为((4,6))，因此(P'(4,6))。例2：取(P(2,3))，位似比(k=-1)，则(P')与(P)关于原点对称，即(P'(-2,-3))。1特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律1.1从具体实例到一般公式的归纳例3：取(P(2,3))，位似比(k=1/2)，则(P')的坐标为((1,1.5))。01通过以上实例，我们可以归纳出：当位似中心为原点时，原坐标((x,y))变换后的坐标((x',y'))满足：02[x'=kx,\quady'=ky]031特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律1.2公式的几何验证从向量的角度看，原点(O)到(P)的向量为(\overrightarrow{OP}=(x,y))，位似变换相当于将该向量缩放(k)倍，得到(\overrightarrow{OP'}=k\cdot\overrightarrow{OP}=(kx,ky))，因此(P')的坐标即为((kx,ky))。从相似三角形的性质看，(\triangleOPA)（假设(A)为坐标轴上的辅助点）与(\triangleOP'A')相似，相似比为(k)，因此对应边的坐标分量也按(k)缩放，与公式一致。2.2一般情形：位似中心在任意点(O(h,k))时的规律实际问题中，位似中心未必在原点，因此需要推导更一般的坐标规律。1特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律2.1平移坐标系的转化思想为了将一般情形转化为已掌握的原点位似问题，我们可以采用“坐标平移”的方法：将位似中心(O(h,k))作为新的原点，建立新坐标系(O'x'y')，则原坐标系中的点(P(x,y))在新坐标系中的坐标为((x-h,y-k))（即平移向量为((-h,-k))）。在新坐标系中，位似变换的规律与原点位似相同，即新坐标((x',y'))变换后为((k(x-h),k(y-k)))（(k)为位似比）。再将新坐标系的坐标转换回原坐标系，需要将平移向量反向，即原坐标系中的变换后点(P'(x'',y''))满足：[x''=h+k(x-h),\quady''=k+k(y-k)]1特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律2.2公式的推导与验证我们可以通过代数推导严格证明这一结论：设位似中心为(O(h,k))，原图形上一点(P(x,y))，变换后点(P'(x',y'))。根据位似的定义，(O)、(P)、(P')共线，且(OP':OP=|k|)（符号由位似方向决定）。向量(\overrightarrow{OP}=(x-h,y-k))，向量(\overrightarrow{OP'}=(x'-h,y'-k))，由于位似变换是向量的缩放，故(\overrightarrow{OP'}=k\cdot\overrightarrow{OP})，即：1特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律2.2公式的推导与验证[x'-h=k(x-h),\quady'-k=k(y-k)]整理得：[x'=h+k(x-h),\quady'=k+k(y-k)]验证：取位似中心(O(1,2))，位似比(k=2)，原有点(P(3,4))，则：(x'=1+2\times(3-1)=1+4=5)，1特殊情形：位似中心在坐标原点时的规律2.2公式的推导与验证(y'=2+2\times(4-2)=2+4=6)，即(P'(5,6))。验证(OP)的长度：(\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{8})，(OP')的长度：(\sqrt{(5-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{32}=2\sqrt{8})，满足(OP':OP=2:1)，且(O)、(P)、(P')共线（斜率均为((4-2)/(3-1)=1)，((6-2)/(5-1)=1)），公式成立。3位似比符号的几何意义位似比(k)的正负直接决定了位似图形的位置：当(k>0)时，(P')与(P)在位似中心(O)的同侧（如(O)在(P)与(P')之间，或(P)、(P')均在(O)的同一侧）；当(k<0)时，(P')与(P)在位似中心(O)的异侧（(O)在(P)与(P')之间）。例如，位似中心(O(1,2))，位似比(k=-2)，原有点(P(3,4))，则：(x'=1+(-2)\times(3-1)=1-4=-3)，3位似比符号的几何意义(y'=2+(-2)\times(4-2)=2-4=-2)，即(P'(-3,-2))。此时(O)在(P(3,4))与(P'(-3,-2))之间，验证了异侧位似的特征。03坐标规律的应用：从理论到实践的迁移坐标规律的应用：从理论到实践的迁移3.1已知原图形与位似参数，求变换后图形的坐标例4：以(O(0,0))为位似中心，将(\triangleABC)（顶点坐标(A(1,2))、(B(3,4))、(C(2,5))）按位似比(k=3)放大，求变换后(\triangleA'B'C')的坐标。解析：根据原点位似公式(x'=kx)、(y'=ky)，得：(A'(3,6))、(B'(9,12))、(C'(6,15))。坐标规律的应用：从理论到实践的迁移3.2已知变换后图形与位似参数，求原图形或位似中心例5：已知(\triangleA'B'C')是(\triangleABC)以(O(2,1))为位似中心的位似图形，位似比(k=2)，且(A'(4,5))，求原顶点(A)的坐标。解析：根据一般位似公式(x'=h+k(x-h))，代入(x'=4)、(h=2)、(k=2)，得：(4=2+2(x-2))，解得(x=3)；同理(y'=1+2(y-1))，代入(y'=5)，得(y=3)，故(A(3,3))。3综合应用：位似变换与其他图形变换的结合例6：将(\triangleABC)先向右平移2个单位，再以原点为位似中心放大2倍，求最终顶点坐标（原顶点(A(1,1))）。解析：平移后(A_1(3,1))，再位似变换得(A'(6,2))。需注意变换顺序：平移是坐标加减，位似是坐标乘除，顺序不同结果不同（若先位似后平移，结果为((2,2))平移后((4,2))）。04总结与升华：位似变换坐标规律的核心与数学思想1规律总结位似变换的坐标规律可统一表示为：若位似中心为原点((0,0))，则((x,y)\rightarrow(kx,ky))；若位似中心为((h,k))，则((x,y)\rightarrow(h+k(x-h),k+k(y-k)))（(k)为位似比）。2数学思想提炼特殊到一般：从原点这一特殊中心出发，归纳一般中心的规律，符合人类认知的基本逻辑。转化与化归：将一般位似中心问题通过坐标平移转化为原点位似问题，简化了推导过程；数形结合：通过坐标系将几何变换转化为代数运算，体现了“