2025 九年级数学下册相似三角形位似图形放大后坐标计算课件

一、知识溯源：从相似三角形到位似图形的核心关联演讲人知识溯源：从相似三角形到位似图形的核心关联总结与升华易错点归纳与针对性训练典型例题与解题步骤规范坐标平面内位似图形放大的坐标规律目录2025九年级数学下册相似三角形位似图形放大后坐标计算课件各位同学、同仁，今天我们共同探讨的主题是“相似三角形位似图形放大后坐标计算”。作为一线数学教师，我深知这部分内容既是相似三角形知识的延伸，也是平面直角坐标系与几何变换结合的重要应用场景。在历年教学中，我观察到学生往往能理解位似图形的“形状相同、位置相关”特性，但在涉及坐标计算时容易混淆位似中心位置、放大比例与坐标变化的关系。因此，今天我们将从基础概念出发，逐步拆解坐标计算的核心逻辑，通过实例演示与易错点提醒，帮助大家建立清晰的解题框架。01知识溯源：从相似三角形到位似图形的核心关联1相似三角形与位似图形的定义辨析在九年级上册，我们已经系统学习了相似三角形的判定与性质：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似比k（k>0）表示对应边的比例关系。而位似图形是相似图形的特殊情形——不仅相似，且对应顶点的连线相交于同一点（即位似中心），对应边互相平行（或重合）。举个生活化的例子：用放大镜观察三角形图案时，原图形与放大后的图形就是位似图形，放大镜的中心点可视为位似中心；地图上的比例尺绘制，也是位似变换的典型应用。需要注意的是，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，关键区别在于是否存在公共的位似中心。2位似图形的分类与关键要素在右侧编辑区输入内容根据位似中心的位置，位似图形可分为两类：在右侧编辑区输入内容（1）位似中心在图形内部（如正方形以中心为位似中心放大）；位似图形的核心要素包括：位似中心（O）：所有对应顶点连线的交点；位似比（k）：原图形与新图形对应边的比例，放大时k>1，缩小时0<k<1；对应点坐标关系：这是本节课的核心，需结合坐标系深入分析。（2）位似中心在图形外部（如三角形以某顶点外的点为位似中心放大）。02坐标平面内位似图形放大的坐标规律1位似中心在坐标原点时的坐标计算当位似中心O为坐标原点（0,0）时，位似变换的坐标规律最为简洁。假设原图形上某一点P的坐标为(x,y)，放大后的对应点P'与原图形的位似比为k（k>1），则P'的坐标满足：P'(kx,ky)（当位似图形与原图形在位似中心同侧时）或P'(-kx,-ky)（当位似图形与原图形在位似中心异侧时，即“反向位似”）。这里需要强调“同侧”与“异侧”的区别：若位似中心在原点，原图形与放大后的图形若在位似中心的同一侧（如都在第一象限），则坐标符号不变；若分别位于位似中心两侧（如原图形在第一象限，放大后的图形在第三象限），则坐标符号相反。实例验证：1位似中心在坐标原点时的坐标计算原三角形ABC顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(2,1)，以原点为位似中心，放大2倍（k=2）且同侧时，对应点A'(2,4)、B'(6,8)、C'(4,2)；若异侧放大2倍，则A'(-2,-4)、B'(-6,-8)、C'(-4,-2)。通过绘制坐标系可直观发现，原图形与放大后的图形对应边平行，且OA':OA=OB':OB=OC':OC=2:1，完全符合位似图形的定义。2位似中心不在坐标原点时的坐标计算实际问题中，位似中心更多不在原点，此时需通过向量平移或坐标差的方法推导对应点坐标。设位似中心为O(m,n)，原图形上一点P(x,y)，放大后的对应点为P'(x',y')，位似比为k（k>1），则坐标关系满足：向量OP'=k向量OP（同侧时）或向量OP'=-k向量OP（异侧时）。将向量关系转化为坐标运算：同侧放大时，x'-m=k(x-m)，y'-n=k(y-n)，故x'=kx-km+m=kx+m(1-k)，同理y'=ky+n(1-k)；2位似中心不在坐标原点时的坐标计算异侧放大时，x'-m=-k(x-m)，y'-n=-k(y-n)，故x'=-kx+km+m=-kx+m(k+1)，y'=-ky+n(k+1)。实例解析：位似中心O(2,1)，原图形点P(4,3)，放大2倍（k=2）且同侧时，计算P'坐标：x'=2×4+2×(1-2)=8-2=6，y'=2×3+1×(1-2)=6-1=5，故P'(6,5)。验证：OP的向量为(4-2,3-1)=(2,2)，放大2倍后向量为(4,4)，故P'坐标为O(2,1)+(4,4)=(6,5)，与公式一致。2位似中心不在坐标原点时的坐标计算若异侧放大2倍，则向量OP为(2,2)，反向放大后的向量为(-4,-4)，故P'坐标为(2-4,1-4)=(-2,-3)，代入异侧公式验证：x'=-2×4+2×(2+1)=-8+6=-2，y'=-2×3+1×(2+1)=-6+3=-3，结果一致。3位似比与坐标变化的本质联系无论是位似中心在原点还是其他位置，坐标变化的本质都是以位似中心为基准，对应点与位似中心的距离按比例放大。位似比k决定了距离的缩放倍数，而坐标符号的变化（同侧/异侧）则由位似图形的方向决定。这一规律与相似三角形的对应边成比例、对应高成比例等性质一脉相承，是相似性在坐标系中的代数表达。03典型例题与解题步骤规范1基础题型：位似中心在原点的放大计算例题1：已知△ABC在平面直角坐标系中，顶点坐标为A(1,1)、B(3,2)、C(2,4)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍（k=3），求放大后的△A'B'C'的顶点坐标（同侧）。解题步骤：明确位似中心为原点，位似比k=3，同侧放大；根据公式P'(kx,ky)计算各点坐标：A'(3×1,3×1)=(3,3)，B'(3×3,3×2)=(9,6)，C'(3×2,3×4)=(6,12)；验证：计算OA=√(1²+1²)=√2，OA'=√(3²+3²)=3√2，OA':OA=3:1，符合位似比；同理OB':OB=OC':OC=3:1，确认正确。2进阶题型：位似中心不在原点的放大计算例题2：如图（假设图中显示位似中心O(1,-2)），四边形DEFG的顶点坐标为D(2,0)、E(4,1)、F(3,3)、G(1,2)，以O为位似中心，放大2倍（k=2），且四边形D'E'F'G'与原四边形在位似中心同侧，求D'、E'、F'、G'的坐标。解题步骤：确定位似中心O(1,-2)，位似比k=2，同侧放大；对每个顶点应用同侧放大公式x'=kx+m(1-k)，y'=ky+n(1-k)（其中m=1，n=-2）；D(2,0)：x'=2×2+1×(1-2)=4-1=3，y'=2×0+(-2)×(1-2)=0+2=2→D'(3,2)；2进阶题型：位似中心不在原点的放大计算1E(4,1)：x'=2×4+1×(1-2)=8-1=7，y'=2×1+(-2)×(1-2)=2+2=4→E'(7,4)；2F(3,3)：x'=2×3+1×(1-2)=6-1=5，y'=2×3+(-2)×(1-2)=6+2=8→F'(5,8)；3G(1,2)：x'=2×1+1×(1-2)=2-1=1，y'=2×2+(-2)×(1-2)=4+2=6→G'(1,6)；2进阶题型：位似中心不在原点的放大计算验证：计算向量OD=(2-1,0-(-2))=(1,2)，放大2倍后向量为(2,4)，故D'=O(1,-2)+(2,4)=(3,2)，与计算一致，其他点同理验证。3综合题型：位似与相似三角形的结合应用例题3：已知△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点P，△ABC的面积为4，△A'B'C'的面积为36，且点A的坐标为(2,5)，点A'的坐标为(8,17)，求位似中心P的坐标。解题思路：由面积比为4:36=1:9，可知位似比k=√(9/4)=3（放大）；设位似中心P(x,y)，根据位似点共线，PA':PA=3:1；分两种情况讨论：同侧放大：向量PA'=3向量PA→(8-x,17-y)=3(2-x,5-y)，解得：8-x=6-3x→2x=-2→x=-1；3综合题型：位似与相似三角形的结合应用17-y=15-3y→2y=-2→y=-1；异侧放大：向量PA'=-3向量PA→(8-x,17-y)=-3(2-x,5-y)，解得：8-x=-6+3x→4x=14→x=3.5；17-y=-15+3y→4y=32→y=8；验证：当P(-1,-1)时，PA距离=√[(2+1)²+(5+1)²]=√45=3√5，PA'=√[(8+1)²+(17+1)²]=√(81+324)=√405=9√5，PA':PA=3:1，符合；当P(3.5,8)时，PA=√[(2-3.5)²+(5-8)²]=√(2.25+9)=√11.25=(3√5)/2，PA'=√[(8-3.5)²+(17-8)²]=√(20.25+81)=√101.25=(9√5)/2，PA':PA=3:1，同样符合。因此位似中心有两个可能的坐标：(-1,-1)或(3.5,8)。04易错点归纳与针对性训练1常见错误类型（2）位似比方向混淆：同侧与异侧的符号处理错误，如将异侧放大的坐标符号仅改变一个坐标轴；在教学实践中，学生易犯以下错误：（3）面积比与位似比的关系误解：直接认为面积比等于位似比，而忽略面积比是位似比的平方；（1）位似中心位置忽略：误将所有位似变换默认位似中心在原点，导致坐标计算错误；（4）对应点顺序错误：未按原图形顶点顺序对应放大后的顶点，导致图形形状改变。2针对性训练建议（1）基础巩固题：给定不同位似中心（原点、非原点）和位似比，计算简单图形（如三角形、四边形）的放大后坐标，强化公式记忆；（2）辨析题：给出两组坐标，判断是否为位似图形，并求位似中心和位似比，深化对位似本质的理解；（3）综合应用题：结合实际场景（如地图缩放、图形设计），运用位似坐标计算解决问题，提升知识迁移能力。05总结与升华总结与升华本节课我们围绕“相似三角形位似图形放大后坐标计算”展开，核心逻辑可总结为：位似图形是特殊的相似图形，其坐标变化由位似中心位置和位似比共同决定。具体来说：位似中心在原点时，坐标直接按位似比缩放（注意同侧/异侧的符号）；位似中心不在