2025 九年级数学下册相似三角形位似中心与坐标原点重合应用示例课件

一、知识回顾与概念深化：从位似图形到原点重合的特殊性演讲人CONTENTS知识回顾与概念深化：从位似图形到原点重合的特殊性位似中心与原点重合的坐标规律：从特殊到一般的推导典型应用示例解析：从基础计算到综合问题课堂实践与分层训练：从巩固到提升的阶梯式学习总结与拓展：从知识到能力的升华目录2025九年级数学下册相似三角形位似中心与坐标原点重合应用示例课件各位同学、同仁：今天，我们聚焦“相似三角形位似中心与坐标原点重合”这一主题，结合九年级数学下册的核心知识，通过理论推导、示例解析与实践应用，系统梳理这一特殊位似关系的规律与应用。作为一线数学教师，我在多年教学中发现，位似变换与坐标系的结合是学生从“图形直观”向“坐标代数”过渡的关键桥梁，而当位似中心与坐标原点重合时，其坐标规律的简洁性与普适性更能体现数学的对称之美。接下来，我们从基础概念出发，逐步深入，揭开这一知识点的全貌。01知识回顾与概念深化：从位似图形到原点重合的特殊性1位似图形的定义与核心性质位似图形是相似图形的特殊形式，其定义为：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点（即位似中心），对应边互相平行（或共线）。位似图形的核心性质包括：位似中心是所有对应顶点连线的交点；位似比（相似比）k决定了图形的放大或缩小，|k|>1时放大，|k|<1时缩小；对应边平行（或共线），对应角相等；位似图形的面积比为k²。2位似中心与坐标原点重合的特殊意义在平面直角坐标系中，若位似中心恰好为坐标原点（0,0），则位似变换的坐标规律将呈现高度的代数统一性。这一特殊性体现在：对应顶点的坐标满足严格的比例关系（而非任意点的线性变换）；无需额外平移坐标系，可直接通过坐标乘法实现位似变换；便于结合函数图像（如反比例函数、一次函数）分析位似关系。例如，若原图形顶点A的坐标为(x₁,y₁)，位似比为k，则对应顶点A'的坐标必为(kx₁,ky₁)（当位似图形与原图形在位似中心同侧时）或(-kx₁,-ky₁)（当位似图形与原图形在位似中心异侧时）。这一规律的推导将是后续应用的基础。02位似中心与原点重合的坐标规律：从特殊到一般的推导1坐标变换公式的推导设位似中心为原点O(0,0)，原图形上任意一点P(x,y)，位似比为k（k≠0）。根据位似图形的定义，点P'（对应点）、O、P三点共线，且OP':OP=|k|。若位似图形与原图形在位似中心同侧（即同向位似），则向量OP'与OP同向，故P'的坐标为(kx,ky)；若位似图形与原图形在位似中心异侧（即反向位似），则向量OP'与OP反向，故P'的坐标为(-kx,-ky)。注意：数学中通常默认位似比k可正可负，正数表示同向位似，负数表示反向位似。例如，k=2表示放大2倍且同向，k=-1/2表示缩小为1/2且反向。2公式的验证与直观理解为验证这一规律，我们以简单图形为例：例1：原三角形ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)，位似中心为原点，位似比k=2。同向位似时，A'(2×1,2×2)=(2,4)，B'(2×3,2×1)=(6,2)，C'(2×2,2×4)=(4,8)；反向位似时（k=-2），A''(-2×1,-2×2)=(-2,-4)，B''(-2×3,-2×1)=(-6,-2)，C''(-2×2,-2×4)=(-4,-8)。通过绘制坐标系（如图1所示），可观察到原三角形与位似后的三角形对应顶点连线均过原点，对应边斜率相同（如AB的斜率为(1-2)/(3-1)=-1/2，A'B'的斜率为(2-4)/(6-2)=-1/2），验证了位似图形的平行性。03典型应用示例解析：从基础计算到综合问题典型应用示例解析：从基础计算到综合问题3.1基础应用：已知原图形与位似比，求位似图形的坐标例2：如图2，四边形DEFG的顶点坐标为D(-1,1)、E(2,3)、F(4,2)、G(1,-1)，以原点为位似中心，位似比k=1/2作位似图形D'E'F'G'。分析：根据坐标变换公式，同向位似时各顶点坐标为原坐标乘以k。解答：D'(-1×1/2,1×1/2)=(-0.5,0.5)；E'(2×1/2,3×1/2)=(1,1.5)；F'(4×1/2,2×1/2)=(2,1)；G'(1×1/2,-1×1/2)=(0.5,-0.5)。典型应用示例解析：从基础计算到综合问题易错点提醒：部分同学易忽略位似比的符号，或在计算负坐标时出错（如D点横坐标为-1，乘以1/2后应为-0.5而非0.5）。教学中可通过“先符号后绝对值”的步骤强化训练。3.2逆向应用：已知位似图形与位似比，求原图形的坐标例3：已知△A'B'C'是以原点为位似中心的位似图形，其顶点坐标为A'(6,9)、B'(-4,6)、C'(0,-3)，位似比k=3，求原图形△ABC的坐标。分析：位似变换是可逆的，原图形坐标为位似图形坐标除以k（同向位似）或除以-k（反向位似）。题目未明确方向时，需考虑两种可能。解答：典型应用示例解析：从基础计算到综合问题若为同向位似（k=3），则A(6/3,9/3)=(2,3)，B(-4/3,6/3)=(-4/3,2)，C(0/3,-3/3)=(0,-1)；01若为反向位似（k=-3），则A(6/(-3),9/(-3))=(-2,-3)，B(-4/(-3),6/(-3))=(4/3,-2)，C(0/(-3),-3/(-3))=(0,1)。01关键思路：逆向问题需明确位似比的符号是否已知。若题目未说明，需分类讨论；若已知位似图形与原图形的位置关系（如同侧或异侧），则可确定符号。013综合应用：位似与函数图像的结合例4：如图3，反比例函数y=6/x的图像上有一点P(2,3)，以原点为位似中心作位似图形，位似比k=2，求位似后点P'的坐标及所在的反比例函数解析式。分析：位似变换后，点P'的坐标为(2×2,3×2)=(4,6)或(-4,-6)（反向位似）。由于反比例函数图像关于原点对称，两种情况的解析式相同。解答：同向位似：P'(4,6)，代入y=k/x得6=k/4，k=24，故解析式为y=24/x；反向位似：P''(-4,-6)，代入得-6=k/(-4)，k=24，解析式仍为y=24/x。3综合应用：位似与函数图像的结合数学思想：位似变换下，反比例函数图像的形状不变（相似性），仅位置和比例缩放，其解析式中的k值变为原k值的k²倍（因面积比为k²，而反比例函数k的几何意义是矩形面积）。4实际应用：位似在地图缩放中的体现例5：某城市地图的比例尺为1:10000（即图上1cm代表实际100m），若以地图左下角（设为原点）为位似中心，将地图放大为原图的2倍，求原图中坐标(5,3)（单位：cm）的地点在新地图中的坐标及实际距离。分析：地图缩放本质是位似变换，位似比k=2（放大），原点为位似中心。解答：新地图坐标：(5×2,3×2)=(10,6)（cm）；实际距离：原图中该点实际坐标为(5×100m,3×100m)=(500m,300m)，新地图中仍代表同一实际地点，故实际距离不变，但图上距离放大为2倍。生活联系：通过地图缩放问题，学生可直观感受位似变换在实际测量、工程制图中的应用，体会数学与生活的紧密联系。04课堂实践与分层训练：从巩固到提升的阶梯式学习1基础巩固题（面向全体学生）已知点M(4,-2)以原点为位似中心，位似比k=3，求位似点M'的坐标；若k=-1/2，求M''的坐标。三角形ABC顶点为A(0,2)、B(4,0)、C(-2,-2)，以原点为位似中心缩小为原图形的1/2，画出位似图形并标注坐标。2能力提升题（面向中等生）若位似图形△A'B'C'与△ABC的位似中心为原点，且A(1,3)对应A'(2,6)，B(-2,1)对应B'(-4,2)，求位似比k及点C(3,-1)的对应点C'的坐标。已知反比例函数y=k/x的图像经过点(2,4)，以原点为位似中心作位似图形，位似比k=1/2，求新图像的解析式，并说明其与原图像的位置关系。3拓展探究题（面向学优生）如图4，正方形ABCD的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3)，以原点为位似中心作位似图形，使得新正方形的面积为原正方形的8倍，求所有可能的位似比及对应顶点坐标。A结合一次函数y=2x+1，探讨以原点为位似中心、位似比为k的位似变换对直线解析式的影响，推导变换后的直线方程。B设计意图：分层训练遵循“最近发展区”理论，基础题强化坐标变换公式的记忆，提升题培养逆向思维与函数结合能力，拓展题则引导学生探索位似变换的一般性规律，为高中学习相似变换与矩阵奠定基础。C05总结与拓展：从知识到能力的升华1核心知识回顾位似中心与原点重合时，对应点坐标满足P'(kx,ky)（同向）或P'(-kx,-ky)（反向），其中k为位似比；01位似比的正负决定位似图形与原图形的位置关系（同侧或异侧）；02位似变换在坐标系中的应用包括图形缩放、坐标计算、函数图像变换及实际问题解决。032数学思想提炼STEP03STEP01STEP02数形结合：通过坐标代数表达图形变换，将几何直观与代数运算统一；特殊到一般：从原点重合的特殊位似出发，理解一般位似变换的本质；逆向思维：通过已知位似图形反推原图形，深化对变换可逆性的理解。3学习建议注重画图辅助：通过坐标系描点连线，直观验证位似变换的平行性与比例关系；关注符号细节：位似比的正负易被忽略，需结合图形位置判断；联系生活实际：观察地图、摄影缩放、建筑设计中的位似现象，