2025 九年级数学下册相似三角形中公共边比例应用典型例题解析课件

一、引言：相似三角形的“桥梁”——公共边的价值定位演讲人CONTENTS引言：相似三角形的“桥梁”——公共边的价值定位知识铺垫：相似三角形与公共边的基础关联典型例题解析：从单一到复杂的递进式突破方法总结：公共边比例应用的“四步解题法”课堂练习：巩固与拓展结语：公共边——相似三角形的“钥匙”目录2025九年级数学下册相似三角形中公共边比例应用典型例题解析课件01引言：相似三角形的“桥梁”——公共边的价值定位引言：相似三角形的“桥梁”——公共边的价值定位作为九年级数学下册“图形的相似”章节的核心内容，相似三角形的判定与性质是解决几何问题的重要工具。在多年的教学实践中，我发现学生对“公共边”这一特殊元素的敏感度往往不足，而这一元素恰恰是连接两个相似三角形的“隐形桥梁”。公共边在相似三角形中可能以“公共角的对边”“对应边”或“重叠边”的形式出现，其比例关系的应用贯穿于线段长度计算、图形面积求解甚至实际问题建模中。今天，我们将通过典型例题的深度解析，系统梳理公共边在相似三角形中的比例应用逻辑，帮助同学们建立“见公共边，想相似比例”的解题直觉。02知识铺垫：相似三角形与公共边的基础关联1相似三角形的核心性质回顾对应角相等（∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'）；相似三角形的本质是“形状相同，大小不同”，其核心性质可概括为：对应边成比例（AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k，k为相似比）；对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。2公共边的“双重身份”特征公共边是指两个三角形共有的一条边，它在相似关系中同时属于两个三角形的边，因此具有“双重身份”：对第一个三角形而言，它可能是某一角的对边或邻边；对第二个三角形而言，它可能是另一角的对边或邻边；当两个三角形相似时，公共边会作为对应边参与比例式的构建（如△ABC∽△ABD，公共边AB可能是△ABC的边AB与△ABD的边AB，此时需根据角的对应关系确定其在比例中的位置）。3公共边比例应用的常见场景结合教材与中考真题，公共边的比例应用主要集中在以下三类场景：单组相似中的公共边：两个三角形直接相似，公共边作为对应边参与比例计算；多组相似中的公共边：公共边连接三组或更多相似三角形，需通过中间比例传递求解；实际问题中的公共边：如测量树高、塔高时，公共边可能是地面上的公共线段或视线的公共部分。0304020103典型例题解析：从单一到复杂的递进式突破1基础型：单组相似中公共边作为对应边例1（教材改编题）：如图1，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D。已知AC=6，BC=8，求CD的长度。图形分析：这是典型的“射影定理”模型，△ACD、△BCD、△ABC两两相似，公共边为CD（△ACD与△BCD的公共边）和AB（△ABC与△ACD、△BCD的公共边）。解题步骤：确定相似关系：由∠ACB=90，CD⊥AB，可得∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90，故△ACD∽△ABC（AA判定）；同理，△BCD∽△BAC。选择含公共边的比例式：若选择△ACD∽△ABC，公共边为AC（△ACD的AC与△ABC的AC），但我们需要求CD，因此应选择△BCD∽△BAC，其中公共边为BC（△BCD的BC与△BAC的BC），或直接利用面积法结合相似比。1基础型：单组相似中公共边作为对应边计算关键数据：AB=√(AC²+BC²)=√(36+64)=10；由△ACD∽△ABC，得AC/AB=CD/BC（对应边成比例），即6/10=CD/8，解得CD=4.8。教学反思：学生易混淆相似三角形的对应边，需强调“对应角对对应边”——△ACD中∠A对应△ABC中的∠A，∠ADC对应∠ACB，因此AC对应AB，CD对应BC，AD对应AC。2提升型：多组相似中公共边的比例传递例2（2024年某地区模拟题）：如图2，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE与CD交于点O，连接AO并延长交BC于点F。若DE=2，BC=5，求AF与OF的长度比。图形分析：图形中存在多组相似三角形：△ADE∽△ABC（DE∥BC），△DOE∽△COB（DE∥BC），△AOD∽△AFB（需证明平行或利用比例）。公共边为AO（连接多组三角形）和DE、BC（平行线截得的公共方向边）。解题步骤：利用第一组相似求比例：由DE∥BC，△ADE∽△ABC，相似比k=DE/BC=2/5，故AD/AB=AE/AC=2/5，设AD=2k，AB=5k，则BD=3k；同理，AE=2m，AC=5m，EC=3m。2提升型：多组相似中公共边的比例传递分析第二组相似△DOE∽△COB：DE∥BC，故∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，相似比仍为2/5，因此OD/OC=OE/OB=2/5，设OD=2n，OC=5n，则DC=7n。引入梅涅劳斯定理或利用面积法：考虑直线AO与△DBC的交点，或通过坐标法设定坐标系（设A(0,0)，B(5,0)，C(0,5)，则D(2,0)，E(0,2)，DE方程为x/2+y/2=1，BC方程为x/5+y/5=1，BE方程为y=(-2/5)x+2，CD方程为y=(-5/2)x+5，联立BE与CD求O点坐标：解得x=10/3，y=10/3，故O(10/3,10/3)；AF为从A(0,0)到F(5,5)的直线，参数方程为y=x，O在AF上，因此AF的长度为√(5²+5²)=5√2，OF的长度为√((10/3)²+(10/3)²)=10√2/3，故AF:OF=5√2:10√2/3=3:1。2提升型：多组相似中公共边的比例传递教学反思：多组相似中公共边的作用是“传递比例”，需引导学生通过“相似比→线段比→坐标法验证”的路径逐步推进，避免直接跳跃到高级定理（如梅涅劳斯），确保基础扎实。3综合型：实际问题中的公共边建模例3（测量问题）：如图3，小明想测量学校旗杆的高度，他在地面上放置一面镜子，然后向后退直到能从镜子中看到旗杆顶端。已知小明的眼睛离地面高度为1.6米，他与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为8米，求旗杆的高度。图形分析：这是光的反射问题，根据反射定律，入射角等于反射角，可抽象为△小明眼睛-镜子-地面点与△旗杆顶端-镜子-地面点相似，公共边为镜子所在的地面线段（公共边为镜子到小明、镜子到旗杆的水平距离）。解题步骤：构建几何模型：设小明眼睛为点A，脚为点B，镜子为点O，旗杆顶端为点C，旗杆底部为点D。则AB=1.6m，BO=2m，OD=8m，CD为所求高度h。3综合型：实际问题中的公共边建模利用反射定律确定角相等：∠AOB=∠COD（入射角=反射角），且∠ABO=∠CDO=90，故△ABO∽△CDO（AA判定）。建立比例式：AB/CD=BO/OD，即1.6/h=2/8，解得h=6.4米。教学反思：实际问题中公共边往往是“测量基准线”（如地面距离），需引导学生将生活场景转化为几何图形，明确“哪两个三角形相似”“公共边对应哪条边”，这是解决此类问题的关键。04方法总结：公共边比例应用的“四步解题法”方法总结：公共边比例应用的“四步解题法”通过上述例题，我们可总结出公共边比例应用的通用解题步骤：1第一步：识别公共边观察图形，找出两个或多个三角形共有的边，标记为公共边（可能是一条边，也可能是边的一部分）。2第二步：确定相似关系根据公共边的位置，结合相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS），确定哪几对三角形相似。重点关注公共边所对的角是否相等，或公共边与其他边的夹角是否相等。3第三步：建立比例式根据相似三角形的对应边成比例，将公共边作为对应边之一，列出包含已知量和未知量的比例式。需注意“对应角对对应边”，避免比例式列反（如△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF）。4第四步：验证与求解代入已知数据求解未知量，必要时通过面积法、勾股定理或其他几何性质验证结果的合理性。05课堂练习：巩固与拓展1基础练习如图4，在△ABC中，∠B=∠ADE，AD=4，DB=2，AE=5，求EC的长度。（提示：公共边为AB，△ADE∽△ABC）2提升练习如图5，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，BE交AC于点F，若平行四边形面积为24，求△AFE的面积。（提示：公共边为AC，△AFE∽△CFB，相似比1:2）3综合练习如图6，用相似三角形的知识测量教学楼的高度，已知标杆高1.5米，标杆与教学楼水平距离10米，人眼与标杆水平距离2米，人眼离地面1.6米，求教学楼高度。（提示：构建两组相似三角形，公共边为地面距离）06结语：公共边——相似三角形的“钥匙”结语：公共边——相似三角形的“钥匙”相似三角形是几何王国的“变形金刚”，而公共边则是打开其比例关系的“钥匙”。通过今天的学习，我们不仅掌握了公共边在单组、多组相似及实际问题