2025 九年级数学下册相似三角形中公共边比例应用典型例题课件

一、知识铺垫：公共边在相似三角形中的角色定位演讲人CONTENTS知识铺垫：公共边在相似三角形中的角色定位典型例题分类解析：公共边比例应用的三种常见场景解题策略总结：公共边比例应用的“四步分析法”巩固练习：分层训练，提升应用能力总结与展望：公共边——相似三角形的“逻辑枢纽”目录2025九年级数学下册相似三角形中公共边比例应用典型例题课件各位同学、老师们：今天我们聚焦“相似三角形中公共边比例的应用”这一核心问题。作为九年级下册的重点内容，相似三角形的判定与性质不仅是中考的高频考点，更是培养几何逻辑思维的关键载体。在实际教学中，我发现许多同学能熟练背诵相似三角形的判定定理（如“AA”“SAS”“SSS”），但遇到涉及公共边的复杂图形时，往往因无法准确识别公共边的“双重身份”而卡壳。今天，我们就通过典型例题抽丝剥茧，系统梳理公共边在相似三角形中的比例应用逻辑。01知识铺垫：公共边在相似三角形中的角色定位知识铺垫：公共边在相似三角形中的角色定位要解决公共边的比例问题，首先需要明确两个基本概念：1公共边的定义与特征公共边是指在两个或多个三角形中共同拥有的一条边。它的特殊性在于：在不同的相似三角形中，这条边可能对应不同的边（即“对应边”的角色可能变化）。例如，在△ABC和△ABD中，边AB是公共边，若△ABC∽△ABD，则AB可能是△ABC的边AB与△ABD的边AB直接对应；但若△ABC∽△DBA，则AB在△ABC中是边AB，在△DBA中是边BA（即对应边的顺序改变）。2相似三角形的比例性质回顾相似三角形的核心性质是“对应边成比例”。若△ABC∽△DEF，且对应顶点为A→D，B→E，C→F，则有：1[\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k]2其中k为相似比。当图形中存在公共边时，这条边会同时出现在两个比例式中，成为连接两个相似三角形的“桥梁”。33公共边的“桥梁作用”示例以“母子型”相似（即一个三角形被高分成两个小三角形）为例：在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，则△ACD∽△ABC∽△CBD。此时，边AC是△ACD与△ABC的公共边，在比例式中体现为：[\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}]即(AC^2=AB\cdotAD)，这正是“射影定理”的核心表达式。可见，公共边通过比例关系将两个相似三角形的边长联系起来，是解题的关键突破口。02典型例题分类解析：公共边比例应用的三种常见场景典型例题分类解析：公共边比例应用的三种常见场景通过对近五年中考真题及教材例题的梳理，公共边比例的应用可分为三类典型场景。我们逐一分析，结合具体题目总结解题策略。1场景一：公共边作为直接对应边特点：公共边在两个相似三角形中是对应边，直接参与比例式的构建。例题1（基础型）：如图1，△ABC中，D是AB上一点，过D作DE∥BC交AC于E，连接BE、CD交于点F。若AD:DB=2:3，求CF:FD的值。分析过程：①识别相似三角形：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC（“A型”相似），相似比为AD:AB=2:5；②确定公共边：观察BE与CD的交点F，需找到与CD相关的相似三角形。注意到DE∥BC，△DEF∽△CBF（“X型”相似），公共边为EF（或BF），但更关键的是DE与BC的比例关系；1场景一：公共边作为直接对应边③建立比例式：由△ADE∽△ABC，得DE:BC=2:5；在右侧编辑区输入内容④应用公共边比例：在△DEF与△CBF中，DE∥BC，对应边成比例，故CF:FD=BC:DE=5:2。易错点提醒：部分同学会错误地认为AD:DB=2:3直接对应CF:FD=2:3，忽略了相似比需通过中间量（DE与BC的比例）传递。2场景二：公共边作为中间比的“桥梁”特点：公共边在两个不直接相似的三角形中，通过两次相似建立比例关系，公共边是连接两次相似的中间量。例题2（提升型）：如图2，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于D，E是AC的中点，连接ED并延长交AB的延长线于F。求证：ABAF=ACDF。分析过程：①寻找第一次相似：由∠BAC=90，AD⊥BC，得△ABD∽△CBA（“母子型”相似），公共边为AB，比例关系为(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB})，即(AB^2=BC\cdotBD)；2场景二：公共边作为中间比的“桥梁”②寻找第二次相似：E是AC中点，AD⊥BC，故ED=EC（直角三角形斜边中线性质），∠EDC=∠C；③利用角度关系：∠FDB=∠EDC=∠C，而∠C=∠BAD（△ABD∽△CBA的对应角），故∠FDB=∠BAD；④构建新的相似：△FDB∽△FAD（“AA”判定：∠F=∠F，∠FDB=∠FAD），公共边为FD，比例关系为(\frac{FD}{FA}=\frac{FB}{FD})，即(FD^2=FA\cdotFB)；⑤结合两次相似推导：需将AB、AC、DF联系起来，注意到(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD})（由△ABD∽△CAD），同时(\frac{DF}{AF}=\frac{BD}{AB})（由△FDB∽△2场景二：公共边作为中间比的“桥梁”FAD），交叉相乘可得ABAF=ACDF。关键突破：公共边AD在第一次相似中是△ABD的边，在△CAD中是公共边；而FD在第二次相似中作为公共边连接了△FDB与△FAD。此类问题需通过“两次相似+公共边”的桥梁作用，将分散的边集中到同一比例式中。3场景三：公共边在复合图形中的多角色应用特点：图形由多个相似三角形叠加而成，公共边可能同时作为两组相似三角形的对应边，需综合分析其角色。例题3（综合型）：如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD交于点O，过O作EF∥AB分别交AD、BC于E、F。求证：OE=OF。分析过程：①识别第一组相似：AB∥CD，△AOB∽△COD（“X型”相似），公共边为AO（或CO），比例关系为(\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD})；3场景三：公共边在复合图形中的多角色应用②识别第二组相似：EF∥AB∥CD，△AOE∽△ACD（“A型”相似），得(\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC})；③识别第三组相似：同理，△BOF∽△BCD（“A型”相似），得(\frac{OF}{CD}=\frac{BO}{BD})；④利用公共边的比例传递：由△AOB∽△COD，得(\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD})，即(\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD})（因为AC=AO+OC，BD=BO+OD，比例保持）；⑤结论推导：由②③得(\frac{OE}{CD}=\frac{OF}{3场景三：公共边在复合图形中的多角色应用CD})，故OE=OF。思维延伸：本题中EF是公共平行线，但AC和BD作为公共边（对角线）在两组相似中分别扮演了“分割线”和“比例传递者”的角色。解题的核心是通过公共边的比例关系，将不同相似三角形的结论串联起来。03解题策略总结：公共边比例应用的“四步分析法”解题策略总结：公共边比例应用的“四步分析法”通过上述例题，我们可以总结出处理公共边比例问题的通用策略，简称“四步分析法”：1第一步：标图——明确公共边的位置与所属三角形拿到题目后，首先用不同颜色或符号标出公共边（如用粗线或“*”标记），并注明该边属于哪两个（或多个）三角形。例如，在例题2中，AD是△ABD与△ACD的公共边，需明确标注。2第二步：定相似——确定与公共边相关的相似三角形根据平行线、直角、对顶角等条件，判断哪些三角形可能相似（优先使用“AA”判定，因角度关系更直观）。例如，在“母子型”图形中，直角三角形被高分成的两个小三角形必与原三角形相似。3第三步：列比例——建立公共边参与的比例式根据相似三角形的对应边成比例，列出包含公共边的等式。需注意对应顶点的顺序，避免比例式方向错误（如△ABC∽△DEF对应AB/DE=BC/EF，而非AB/EF）。4第四步：代换——通过代数运算或等比性质求解若比例式中存在多个未知量，需结合已知条件（如边长的具体数值、比例关系）进行代换。例如，例题1中通过DE:BC的比例代换，将AD:DB的已知比例转化为CF:FD的未知比例。特别提醒：在列比例式时，公共边的“双重身份”需特别注意。例如，若公共边在第一个三角形中是“左边”，在第二个三角形中是“右边”，则比例式中的分子分母位置需对应调整。04巩固练习：分层训练，提升应用能力巩固练习：分层训练，提升应用能力为帮助同学们熟练掌握公共边比例的应用，我们设计了分层练习题（答案附后，建议先独立完成）：1基础题（难度★★）如图4，△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，若AC=6，BC=8，求AD的长度。（提示：利用“母子型”相似，公共边AC参与比例式）2提升题（难度★★★）如图5，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE交AC于F。若AB=2，AD=4，求AF:FC的值。（提示：公共边AC在△AFE与△CFB中起桥梁作用）3拓展题（难度★★★★）如图6，△ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，且BD:DC=1:2，AE:ED=2:1。求AF:FC的值。（提示：需作辅助线构造公共边，或利用梅涅劳斯定理，但本质仍是公共边的比例传递）05总结与展望：公共边——相似三角形的“逻辑枢纽”总结与展望：公共边——相似三角形的“逻辑枢纽”回顾今天的学习，公共边在相似三角形中的作用可概括为“连接”与“传递”：它连接了两个或多个相似三角形，传递了边长的比例关系，是解决复杂相似问题的“逻辑枢纽”。同学们在后续学习中需注意两点：图形敏感性：遇到公共边时，主动思考它可能属于哪几组相似三角形，尝试列出比例式；步骤规范性：书写比例式时，务必明确对应顶点，避免因“对应关系混乱”导致错误。最后，用一句口诀总结公共边的应用技巧：“标边、定似、列比、代换，公共边前莫慌张；对应顶点要找准，比例传递是关键。”希望今天的课程能帮助大家突破相似三角形中公