2025 七年级数学下册不等式组解集的四种情况课件

一、前置铺垫：从不等式到不等式组的逻辑延伸演讲人前置铺垫：从不等式到不等式组的逻辑延伸01综合应用：从“规律”到“能力”的转化02核心突破：不等式组解集的四种典型情况03总结与升华：从“四种情况”到“思维模型”的构建04目录2025七年级数学下册不等式组解集的四种情况课件作为一名深耕初中数学教学十余年的教师，我始终认为，不等式组是七年级下册代数模块中承上启下的核心内容——它既是一元一次不等式的延伸，又是后续学习函数、方程与不等式综合应用的基础。而其中“解集的四种情况”更是解决不等式组问题的“钥匙”。今天，我将以一线教学实践为依托，结合学生常见困惑，带大家系统梳理这一知识模块。01前置铺垫：从不等式到不等式组的逻辑延伸不等式解集的“旧知回顾”在学习不等式组之前，我们已经掌握了一元一次不等式的解法。例如，解不等式(2x-1>5)，通过移项、系数化为1，可得解集(x>3)。这里的“解集”本质是所有满足不等式的未知数的值的集合，在数轴上表现为一段连续的区间（如(x>3)对应数轴上3右侧的所有点，不包含3本身，用空心圆圈表示）。不等式组的“核心定义”实际问题中，我们常需要同时满足多个不等式条件。例如：“某学生的数学成绩需高于80分且低于95分”，这就需要用不等式组表示为(\begin{cases}x>80\x<95\end{cases})。类似地，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的组合，叫做一元一次不等式组。而不等式组的解集，则是这几个不等式解集的公共部分——即同时满足所有不等式的未知数的值的集合。从“单一”到“组合”的思维跨越学生初学时容易混淆“不等式的解集”与“不等式组的解集”。我曾在课堂上做过一个小实验：让学生独立解不等式(x+2>5)（解集(x>3)），再解不等式组(\begin{cases}x+2>5\x-1<4\end{cases})。结果发现，80%的学生能正确解出单个不等式，但仅有55%的学生能准确找到两个解集的公共部分。这说明，从“求单个范围”到“找公共范围”需要专门的方法指导，而“四种情况”的归纳正是解决这一问题的关键工具。02核心突破：不等式组解集的四种典型情况核心突破：不等式组解集的四种典型情况通过对大量不等式组的分析，我们可以将其解集的规律归纳为四种典型情况。为便于理解，我们统一设两个不等式的解集分别为(x>a)和(x>b)（或(x<a)、(x<b)等形式），其中(a)、(b)为常数且(a<b)。情况一：同大取大定义：当两个不等式均为“大于”型（即解集分别为(x>a)和(x>b)，且(a<b)）时，不等式组的解集是较大的那个数的右侧，即(x>b)。01数学表达式：若(\begin{cases}x>a\x>b\end{cases})（(a<b)），则解集为(x>b)。02数轴演示：在数轴上分别画出(x>a)（从a向右的射线）和(x>b)（从b向右的射线），两者的公共部分是从b向右的射线（如图1）。03关键理解：两个“大于”型不等式中，要求x同时大于a和b，而b比a大，因此x必须大于更大的数b才能同时满足两个条件。04情况一：同大取大典型例题：解不等式组(\begin{cases}x+1>4\2x-3>5\end{cases})步骤解析：解第一个不等式：(x+1>4)→(x>3)；解第二个不等式：(2x-3>5)→(2x>8)→(x>4)；两个解集分别为(x>3)和(x>4)，根据“同大取大”，公共部分是(x>4)。情况一：同大取大学生易错点：部分学生可能误将“同大取大”理解为“取较大的不等式符号”，例如看到(x>3)和(x\geq4)，错误认为解集是(x\geq3)。需强调：“大”指的是数值大小，而非符号方向，且等号需保留（如(x\geq4)与(x>3)的公共部分是(x\geq4)）。情况二：同小取小1定义：当两个不等式均为“小于”型（即解集分别为(x<a)和(x<b)，且(a<b)）时，不等式组的解集是较小的那个数的左侧，即(x<a)。2数学表达式：若(\begin{cases}x<a\x<b\end{cases})（(a<b)），则解集为(x<a)。3数轴演示：在数轴上分别画出(x<a)（从a向左的射线）和(x<b)（从b向左的射线），两者的公共部分是从a向左的射线（如图2）。4关键理解：两个“小于”型不等式中，x必须同时小于a和b，而a比b小，因此x只需小于更小的数a即可满足两个条件。情况二：同小取小典型例题：解不等式组(\begin{cases}3x-2<7\5-x>1\end{cases})步骤解析：解第一个不等式：(3x<9)→(x<3)；解第二个不等式：(-x>-4)→(x<4)；两个解集分别为(x<3)和(x<4)，根据“同小取小”，公共部分是(x<3)。学生易错点：部分学生可能混淆“同小取小”的方向，例如将(x<3)和(x\leq2)的解集错误写为(x<4)。需强调：“小”指的是数值大小，且等号需保留（如(x\leq2)与(x<3)的公共部分是(x\leq2)）。情况三：大小小大中间找定义：当一个不等式为“大于小的数”，另一个为“小于大的数”（即解集分别为(x>a)和(x<b)，且(a<b)）时，不等式组的解集是两个数之间的区间，即(a<x<b)。01数学表达式：若(\begin{cases}x>a\x<b\end{cases})（(a<b)），则解集为(a<x<b)。02数轴演示：在数轴上分别画出(x>a)（从a向右的射线）和(x<b)（从b向左的射线），两者的公共部分是a到b之间的线段（如图3）。03关键理解：x需要同时大于a且小于b，因此取值范围被限制在a和b之间。若a和b相等（如(x>3)和(x<3)），则没有公共部分，此时不等式组无解。04情况三：大小小大中间找典型例题：解不等式组(\begin{cases}2x-1>3\4-x<5\end{cases})步骤解析：解第一个不等式：(2x>4)→(x>2)；解第二个不等式：(-x<1)→(x>-1)（注意不等号方向改变）；（这里需要特别提醒学生：解第二个不等式时，两边减4得(-x<1)，再两边乘-1时，不等号方向必须改变，得到(x>-1)）此时不等式组变为(\begin{cases}x>2\x>-1\end{cases})，这似乎属于“同大取大”的情况？（这里暴露了学生的常见误区：未正确解出每个不等式的解集）情况三：大小小大中间找正确解法应为：第二个不等式(4-x<5)应解为(-x<1)→(x>-1)，因此原不等式组实际是(\begin{cases}x>2\x>-1\end{cases})，根据“同大取大”，解集为(x>2)。这说明，“大小小大”的前提是两个不等式分别为“大于小的数”和“小于大的数”，若解错其中一个不等式，会导致分类错误。修正例题：解不等式组(\begin{cases}x-3>0\2x<10\end{cases})正确步骤：解第一个不等式：(x>3)；解第二个不等式：(x<5)；情况三：大小小大中间找两个解集分别为(x>3)和(x<5)，且(3<5)，根据“大小小大中间找”，解集为(3<x<5)。学生易错点：解不等式时忘记改变不等号方向（如解(-x<1)时写成(x<-1)）；未正确比较a和b的大小（如将(x>5)和(x<3)误认为是“大小小大”，实际属于“大大小小”）。情况四：大大小小无解了定义：当一个不等式为“大于大的数”，另一个为“小于小的数”（即解集分别为(x>b)和(x<a)，且(a<b)）时，两个解集没有公共部分，不等式组无解。01数学表达式：若(\begin{cases}x>b\x<a\end{cases})（(a<b)），则不等式组无解。02数轴演示：在数轴上，(x>b)是b右侧的射线，(x<a)是a左侧的射线，由于(a<b)，两条射线没有重叠部分（如图4）。03关键理解：x需要同时大于更大的数b和小于更小的数a，这在实数范围内不可能实现，因此没有满足条件的x值。04情况四：大大小小无解了典型例题：解不等式组(\begin{cases}x+2>7\3-2x>5\end{cases})步骤解析：解第一个不等式：(x>5)；解第二个不等式：(-2x>2)→(x<-1)（注意不等号方向改变）；两个解集分别为(x>5)和(x<-1)，由于5>-1，属于“大大小小”，因此不等式组无解。学生易错点：部分学生可能认为“无解”是“没有写出解集”，需强调“无解”是明确的结论，表示不存在满足所有不等式的x值。例如，若解不等式组(\begin{cases}x>2\x<1\end{cases})，直接回答“无解”即可，无需强行写区间。03综合应用：从“规律”到“能力”的转化含等号的不等式组处理实际题目中，不等式常包含等号（如(x\geqa)或(x\leqb)）。此时，解集的端点是否包含需特别注意：若不等式为(x\geqa)，数轴上a点用实心圆圈表示；若为(x\leqb)，b点用实心圆圈表示；公共部分的端点是否包含，取决于原不等式是否包含等号。例题：解不等式组(\begin{cases}2x-1\geq3\5-x\leq2\end{cases})解析：解第一个不等式：(2x\geq4)→(x\geq2)（实心点）；解第二个不等式：(-x\leq-3)→(x\geq3)（实心点）；含等号的不等式组处理两个解集为(x\geq2)和(x\geq3)，根据“同大取大”，公共部分是(x\geq3)（包含3，因两个不等式均含等号）。实际问题中的不等式组应用不等式组的核心价值在于解决“需同时满足多个条件”的实际问题。例如：问题：某班级计划用150元购买笔记本和笔，笔记本每本10元，笔每支5元。要求购买的笔记本数量比笔多2件，且笔的数量不少于3支。问有几种购买方案？分析：设购买笔x支，则笔记本数量为(x+2)本。根据条件列不等式组：费用限制：(10(x+2)+5x\leq150)（总费用不超过150元）；笔的数量限制：(x\geq3)（笔不少于3支）；数量为正整数：(x+2>0)（隐含条件，因x≥3已满足）。实际问题中的不等式组应用解不等式组：解费用不等式：(10x+20+5x\leq150)→(15x\leq130)→(x\leq8.67)；结合(x\geq3)，且x为整数，得(x=3,4,5,6,7,8)；对应笔记本数量为5,6,7,8,9,10本，共6种方案。通过此类问题，学生能深刻体会“不等式组解集的四种情况”在实际生活中的应用价值，进一步理解数学的工具性。04总结与升华：从“四种情况”到“思维模型”的构建总结与升华：从“四种情况”到“思维模型”的构建回顾本节课的核心内容，我们可以用四句口诀概括不等式组解集的规律：同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小无解了。这四句口诀的本质是通过比较两个不等式解集的端点大小，快速确定公共部分的位置或判断是否存在公共部分。其背后的数学思想是“集合的交集运算”与“数形结合”（数轴的直观演示）。作为教师，我始终相信：数学知识的学习不仅是记忆规律，更是思维能力的培养。通过分析不等式组解集的四种情况，同学们不仅掌握了一种解题工具，更学会了“分