进阶点6　概率、变量分布与其他知识的综合问题

6概率、变量分布与其他知识的综合问题类型一与数列结合的概率问题——eq\a\vs4\al(教考衔接)eq\a\vs4\al(◎)教材·研析例1(人教A版选择性必修第三册P91第10题)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其数学定义为：假设我们的序列状态是X1，…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|X1，…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt).马尔科夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关，解该模型的关键是写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式．eq\a\vs4\al(◎)真题·链接真题(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(eq\i\su(i＝1,n,X)i)＝eq\i\su(i＝1,n,q)i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).eq\a\vs4\al(◎)创新·变式变式1(2025·河南模拟)张某经营A，B两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去A公司的概率是eq\f(2,3).如果本月去A公司，那么下个月继续去A公司的概率为eq\f(1,3)；如果本月去B公司，那么下个月去A公司的概率为eq\f(1,2)，如此往复．设张某第n个月去A公司的概率为Pn，则P10＝()A．eq\f(3,7)＋eq\f(5,21)×(－eq\f(1,6))9 B．eq\f(4,7)＋eq\f(7,21)×(－eq\f(1,6))9C．eq\f(3,7)＋eq\f(5,21)×(eq\f(1,6))10 D．eq\f(5,7)＋eq\f(5,21)×(－eq\f(1,6))10变式2某学校有A，B两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐．已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去A餐厅的条件下，后一天继续选择A餐厅的概率为eq\f(1,3)；而在前一天选择去B餐厅的条件下，后一天继续选择去B餐厅的概率为eq\f(3,5)，如此往复．(1)求该同学第一天和第二天都选择去A餐厅用晚餐的概率；(2)求该同学第二天选择去A餐厅用晚餐的概率；(3)记该同学第n天选择去A餐厅用晚餐的概率为Pn，求{Pn}的通项公式．类型二与函数相关的概率问题例2为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试．组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值；(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为eq\f(1,8)，答对两道题的概率为p，求概率p的最小值．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.训练现有甲、乙两人进行围棋比赛，规则如下：在前四局比赛中，每局比赛获胜者得50分，负者得0分，在第五局比赛中，获胜者得100分，负者得0分；当一方比另一方多100分时，比赛结束，多得100分者获胜．已知每局比赛中，甲获胜的概率为p(0<p<1)，比赛没有平局，每局比赛的结果互不影响．(1)当p＝eq\f(2,3)时，求比赛两局结束的概率；(2)设X为比赛结束时的局数，求X的分布列与数学期望E(X)的最大值．进阶点6概率、变量分布与其他知识的综合问题例1解记第n次传球后球在甲手中的概率为pn，则第(n－1)次传球后球在甲手中的概率为pn－1.开始时球在甲手中，则p1＝0.若第n次传球后球在甲手中，则第(n－1)次传球后，球不在甲手中，则第(n－1)次传球后球在乙或丙手中，所以第(n－1)次传球后球不在甲手中的概率为1－pn－1，又乙或丙将球传到甲手中的概率均为eq\f(1,2)，故pn＝eq\f(1,2)(1－pn－1)，即pn＝－eq\f(1,2)pn－1＋eq\f(1,2)，则pn－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,2)(pn－1－eq\f(1,3))，n≥2，n∈N*，所以数列{pn－eq\f(1,3)}是首项为p1－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)，公比为－eq\f(1,2)的等比数列，所以pn－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)，即pn＝－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＋eq\f(1,3)(n∈N*).真题解(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则当i≥2时，P(Ai)＝P(Ai－1Ai)＋P(Bi－1Ai)＝P(Ai－1)P(Ai|Ai－1)＋P(Bi－1)P(Ai|Bi－1)，即pi＝0.6pi－1＋(1－0.8)×(1－pi－1)＝0.4pi－1＋0.2＝eq\f(2,5)pi－1＋eq\f(1,5)，构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋λ＝eq\f(2,5)(pi－1＋λ)，解得λ＝－eq\f(1,3)，则pi－eq\f(1,3)＝eq\f(2,5)(pi－1－eq\f(1,3))，又p1＝eq\f(1,2)，p1－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(pi－\f(1,3)))是首项为eq\f(1,6)，公比为eq\f(2,5)的等比数列，即pi－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))i-1，pi＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))i-1＋eq\f(1,3)，i∈N*.(3)因为pi＝eq\f(1,6)×(eq\f(2,5))i-1＋eq\f(1,3)，i∈N*，所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝eq\f(1,6)×eq\f(1－(\f(2,5))n,1－\f(2,5))＋eq\f(n,3)＝eq\f(5,18)[1－(eq\f(2,5))n]＋eq\f(n,3)，故E(Y)＝eq\f(5,18)[1－(eq\f(2,5))n]＋eq\f(n,3).变式1A解析设An表示第n个月去A公司，则Pn＝P(An)，P(eq\x\to(A)n)＝1－Pn，根据题意，得P(An＋1|An)＝eq\f(1,3)，P(An＋1|eq\x\to(A)n)＝eq\f(1,2)，由全概率公式，得P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P(eq\x\to(A)n)P(An＋1|eq\x\to(A)n)＝eq\f(1,3)Pn＋eq\f(1,2)(1－Pn)＝－eq\f(1,6)Pn＋eq\f(1,2)，即Pn＋1＝－eq\f(1,6)Pn＋eq\f(1,2)，整理得Pn＋1－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,6)(Pn－eq\f(3,7))，又P1－eq\f(3,7)＝eq\f(2,3)－eq\f(3,7)＝eq\f(5,21)≠0，所以{Pn－eq\f(3,7)}是以eq\f(5,21)为首项，－eq\f(1,6)为公比的等比数列，所以Pn＝eq\f(3,7)＋eq\f(5,21)×(－eq\f(1,6))n-1，则P10＝eq\f(3,7)＋eq\f(5,21)×(－eq\f(1,6))9.故选A.变式2解(1)记事件Ak：该同学第k(k＝1，2)天去A餐厅，则P(A1)＝P(eq\x\to(A)1)＝eq\f(1,2)，P(A2|A1)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)＝eq\f(3,5)，由概率乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).(2)由对立事件的概率公式可得P(A2|eq\x\to(A)1)＝1－P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＋P(eq\x\to(A)1)·P(A2|eq\x\to(A)1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(11,30).(3)记事件An：该同学第n(n∈N*)天去A餐厅，则Pn＝P(An)，由题意可知，P(An|An－1)＝eq\f(1,3)，P(An|eq\x\to(A)n－1)＝1－P(eq\x\to(A)n|eq\x\to(A)n－1)＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)(n≥2，n∈N*)，由全概率公式可得P(An)＝P(An－1)·P(An|An－1)＋P(eq\x\to(A)n－1)·P(An|eq\x\to(A)n－1)(n≥2，n∈N*)，即Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(2,5)(1－Pn－1)＝－eq\f(1,15)Pn－1＋eq\f(2,5)，则Pn－eq\f(3,8)＝－eq\f(1,15)(Pn－1－eq\f(3,8))，所以，数列{Pn－eq\f(3,8)}是以P1－eq\f(3,8)＝eq\f(1,8)为首项，公比为－eq\f(1,15)的等比数列，所以Pn－eq\f(3,8)＝eq\f(1,8)(－eq\f(1,15))n-1，故Pn＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)(－eq\f(1,15))n-1.例2解(1)因为10×(0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.010)＝1，所以a＝0.02.样本平均数的估计值为50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69.(2)因为μ＝69，σ＝10.5，所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈eq\f(1－0.9545,2)＝0.02275.所以能参加复试的人数约为40000×0.02275＝910(人).(3)由题意有x2y＝eq\f(1,8).答对两道题的概率p＝x2(1－y)＋Ceq\o\al(1,2)x(1－x)y＝x2＋2xy－3x2y.而x2y＝eq\f(1,8)，所以p＝x2＋eq\f(1,4x)－eq\f(3,8).令f(x)＝x2＋eq\f(1,4x)－eq\f(3,8)(0<x≤1)，则f′(x)＝2x－eq\f(1,4x2)＝eq\f(8x3－1,4x2)，所以当x∈(0，eq\f(1,2))时，f′(x)<0，f(x)在(0，eq\f(1,2))内单调递减；x∈(eq\f(1,2)，1)时，f′(x)>0，f(x)在(eq\f(1,2)，1)内单调递增．所以当x＝eq\f(1,2)时，f(x)min＝eq\f(3,8).故概率p的最小值为eq\f(3,8)