河南省信阳市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

河南省信阳市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知数列为递增数列，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．3．是三棱锥底面所在平面内的一点，满足的一组数对是（

）A． B． C． D．4．“”是“直线与垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件5．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．6．如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（

）A． B．2 C． D．17．已知数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．8．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为，则到直线l的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题9．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（

）A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件10．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．B．C．最大时，D．的整数的最大值为11．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，方程表示的曲线C为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形．传说著名的心形线方程是由法国数学家笛卡尔提出的．关于此心形线的性质，正确的是（

）A．曲线C关于y轴对称B．曲线C关于原点对称C．曲线C与坐标轴有4个交点D．曲线C上的点到原点距离的最大值为三、填空题12．如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢（右）．现将2个奥运会吉祥物（相同）和1个残奥会吉祥物摆成一排，则残奥会吉祥物在中间的概率为．13．平面的法向量分别为，请在①，②中选择一个填在横线上，并写出答案，若选，则．14．已知分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于，，若，设双曲线的离心率为，则．四、解答题15．已知，过A，B两点的圆的圆心为M，且M在y轴上．(1)求线段垂直平分线方程和的方程；(2)设P为y轴正半轴上的点，过P作的两条切线为切点，当时，求点P的坐标．16．如图，四棱锥中，平面．(1)是否存在实数，使?若存在，求出的值，若不存在，说明理由．(2)若，求与平面所成角的正弦值．17．直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，．(1)求抛物线的方程；(2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积．18．已知椭圆过点，离心率为，左顶点为A，直线与C交于M，N两点（异于A点），且满足．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线l过一定点，并求出该定点的坐标．19．设为数列的前n项和，．(1)求；(2)证明：（i）；（ii）；(3)求的通项公式．

参考答案1．C【详解】因为数列为递增数列，所以，即.和显然不能满足，所以且，为了使得不等式成立，指数函数必须在上单调递增，因此的取值范围为，故选：C.2．A【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即.故选：A3．B【详解】因为根据共面向量基本定理得，从而，代入选项验证，只有B选项满足条件.故选：B.4．A【详解】∵对于任意，恒成立，∴直线与垂直恒成立，∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件.故选：A.5．A【详解】由，配方得，圆心坐标为.因为圆心在第三象限，所以，解得.故选：A6．D【详解】由题意得，，，，，∴，，.∵，∴.故选：D.7．C【详解】由题意知，当时，，即，当时，，则，即，故是以为首项，3为公比的等比数列，故，，故选：C8．D【详解】直线的方程标准化得，从而直线过点，方向向量，与同向的单位向量，，，，点到直线的距离，故选：D.9．AC【详解】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确；对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；，对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球，其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确；对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误，故选：AC10．ABD【详解】因为，所以，从而，因为，所以，A正确；，B正确；因为，所以，所以为的最大值，C错误；，令，解得，所以整数的最大值为，D正确.故选：ABD.11．AC【详解】以换，方程不变，曲线关于轴对称，选项A正确；同时以换，方程改变，曲线不关于原点对称，选项B错误；令，得，曲线与轴有两个交点，令，得，令，，又在上递增，所以，在上有唯一解，故方程有两解，即曲线与轴有两个交点，选项C正确；取，则，若，则，，选项D错误.故选：AC.12．【详解】记奥运会吉祥物为，残奥会吉祥物为，样本空间，共3种；残奥会吉祥物在中间只有1种，则残奥会吉祥物在中间的概率为.故答案为：13．答案见解析答案见解析【详解】若选①：由，得，显然，则，解得；若选②：由，得，则，则，解得.故答案为：①，；或②，214．/【详解】设，因为，所以，，因为点、在双曲线右支上，根据双曲线定义得，，因为，所以，在中，由勾股定理得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故答案为：.15．(1)；(2)【详解】（1）由题意知，直线的斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，因为中点坐标为，所以其方程为，即；设，则，圆的标准方程为，有，解得，所以圆的标准方程为.（2）如图，，则，所以，即.16．(1)存在，(2)【详解】（1）过点作，垂足为，则，又因为面，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，因为，即，则，解得，故存在，使.（2）若，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，则，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)【详解】（1）由，得出，所以抛物线的方程为.（2），设直线的方程为，联立，得，则..，四边形为平行四边形，由点的横坐标为3，得.,点到直线的距离，所以四边形的面积为.

18．(1)(2)【详解】（1）由，解得，即椭圆C的方程为.（2）设，联立直线与椭圆的方程：，化简得，，①由韦达定理可得：则.因为，所以.

又，则：即整理得，解得或.当时，直线：过