2025 七年级数学下册实际问题中的方程组建模课件

1.1课程标准的要求与数学核心素养的体现演讲人2025七年级数学下册实际问题中的方程组建模课件作为一名从事初中数学教学十余年的一线教师，我深知“实际问题中的方程组建模”是七年级下册的核心内容之一。它既是一元一次方程应用的延伸，也是后续学习函数、不等式等内容的重要基础。今天，我将以“如何用方程组解决实际问题”为主线，结合教学实践中的典型案例，与各位同仁和同学们共同探讨这一主题。一、为什么要学习“实际问题中的方程组建模”？——从生活到数学的桥梁011课程标准的要求与数学核心素养的体现1课程标准的要求与数学核心素养的体现《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，初中阶段要“经历用数学符号表达数量关系和变化规律的过程，发展模型观念、符号意识和应用意识”。方程组建模正是这一要求的集中体现：通过分析实际问题中的数量关系，抽象出二元一次方程组（或三元一次方程组），再通过解方程组得到实际问题的答案。这一过程完整覆盖了“抽象—建模—求解—验证”的数学应用链条，是培养学生“模型观念”的关键载体。022学生认知发展的必然需求2学生认知发展的必然需求从知识衔接来看，七年级上册学生已掌握一元一次方程的解法及简单应用，但实际问题中往往存在多个未知量（如“甲、乙两人的速度”“两种商品的价格”），仅用一个未知数难以全面描述数量关系。此时引入方程组，能更直接地反映问题本质。例如，“小明买3支铅笔和2本笔记本共花12元，小红买5支铅笔和3本笔记本共花19元，求铅笔和笔记本的单价”，用两个未知数分别表示铅笔和笔记本的单价（设铅笔x元，笔记本y元），可直接列出方程组[\begin{cases}3x+2y=12\5x+3y=19\end{cases}2学生认知发展的必然需求]，而若用一元一次方程则需设铅笔为x元，笔记本为(\frac{12-3x}{2})元，再代入第二个条件，列式更复杂，容易出错。033现实生活的真实需求3现实生活的真实需求数学的价值在于解决实际问题。无论是家庭购物（计算两种商品的价格）、工程合作（计算甲乙两队的工作效率），还是交通出行（计算两车的速度），都需要通过分析多个变量间的关系建立方程组。例如，我曾带学生调研社区快递站的分拣效率问题：A组每小时分拣120件，B组每小时分拣100件，两组合作完成800件分拣任务，中途A组因设备故障停工1小时，问实际用了多长时间？这类问题中，“总工作量”“工作时间”“停工时间”三个变量相互关联，用方程组能更清晰地表达关系。二、如何构建“实际问题中的方程组建模”？——从分析到建模的四步流程通过多年教学实践，我总结出“实际问题方程组建模”的四个关键步骤：审题析量→设元定标→列方程（组）→解验作答。这四个步骤环环相扣，缺一不可。3现实生活的真实需求2.1第一步：审题析量——提取有效信息，明确数量关系审题是建模的起点，需做到“三明确”：明确问题所求（即需要求哪些未知量）、明确已知条件（包括显性条件和隐性条件）、明确各量间的关系（如和差、倍数、比例、公式类关系）。例如，教材中“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”审题时需明确：问题所求：鸡的数量（设为x）、兔的数量（设为y）；已知条件：总头数35（x+y=35）、总足数94（鸡2足，兔4足，故2x+4y=94）；隐性关系：每只鸡和兔的头数均为1，足数分别为2和4。3现实生活的真实需求教学中，我常引导学生用“划关键词”“列表格”“画线段图”等方法辅助审题。例如，行程问题中用线段图表示相遇或追及过程，工程问题中用表格整理“工作效率”“工作时间”“工作量”三量关系，能有效避免信息遗漏。042第二步：设元定标——合理选择未知数，明确变量含义2第二步：设元定标——合理选择未知数，明确变量含义设元是将实际问题转化为数学语言的关键。七年级学生易出现的问题是“随意设元”或“设元过多”，需强调“按需设元”：直接设元：问题求什么，就设什么为未知数。如求“甲、乙的速度”，则设甲速为x，乙速为y；间接设元：当直接设元难以列方程时，选择与所求量相关的中间量为未知数。例如，“某两位数，十位数字是个位数字的2倍，交换十位与个位数字后，新数比原数小36，求原数”，直接设原数为x较难，但设个位数字为x，十位数字为2x，则原数为10×2x+x=21x，新数为10x+2x=12x，根据“新数比原数小36”列方程21x-12x=36，更简便；注意单位统一：若题目中涉及不同单位（如时间的分钟与小时，长度的米与千米），设元时需统一单位，避免后续计算错误。053第三步：列方程（组）——依据数量关系，建立数学模型3第三步：列方程（组）——依据数量关系，建立数学模型列方程是建模的核心环节，其本质是“将实际问题中的等量关系转化为等式”。七年级学生的难点在于“找不准等量关系”，需重点训练以下三类常见关系：3.1和差倍分关系1这类问题的关键是“抓住‘是’‘比’‘共’‘差’等关键词”。例如：3“某班男生比女生多5人，总人数为45人”，等量关系为：男=女+5，男+女=45。2“甲、乙两数之和为50，甲数比乙数的3倍少2”，等量关系为：甲+乙=50，甲=3乙-2；3.2公式类关系涉及几何、物理基本公式的问题，需回忆相关公式并代入已知量。例如：行程问题：路程=速度×时间（相遇问题：甲路程+乙路程=总路程；追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离）；工程问题：工作量=工作效率×工作时间（合作问题：甲工作量+乙工作量=总工作量）；利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润÷成本×100%；浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度（混合问题：混合前溶质质量之和=混合后溶质质量）。以“相遇问题”为例：“A、B两地相距360千米，甲车从A地出发，速度为60千米/小时，乙车从B地出发，速度为90千米/小时，两车同时出发相向而行，几小时后相遇？”其等量关系为“甲行驶路程+乙行驶路程=360千米”，设t小时后相遇，列方程60t+90t=360。3.3隐含不变量关系有些问题中存在“隐含的不变量”，如“倒出液体再加水”问题中的“纯酒精总量”，“人员调配”问题中的“总人数”，“数字问题”中的“数位值”等。例如：“将浓度为20%的盐水100克与浓度为5%的盐水x克混合，得到浓度为10%的盐水”，隐含不变量是“混合前后纯盐质量不变”，列方程100×20%+x×5%=(100+x)×10%；“某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人使产品配套”，隐含不变量是“螺母数量是螺栓数量的2倍”，设生产螺栓的工人为x，生产螺母的为y，则x+y=28，且2×12x=18y。3.3隐含不变量关系2.4第四步：解验作答——规范求解过程，验证结果合理性解方程组是计算环节，需注意步骤规范（如代入消元法、加减消元法的正确使用）；而“验证”是学生最易忽略却至关重要的一步，需从两方面入手：数学验证：将解代入原方程组，检查是否满足每个方程；实际验证：检查解是否符合实际意义（如人数不能为负数，时间不能为小数部分过长等）。例如，“某班组织春游，需租车，45座客车租金每辆250元，60座客车租金每辆300元，若租45座客车x辆，60座客车y辆，总租金不超过1500元，且刚好坐满420人”，解得x=4，y=2，需验证：4×45+2×60=180+120=300≠420，说明列方程时出错（正确应为45x+60y=420），这就是数学验证的作用。再如，“求鸡兔数量”时，若解得x=-2，y=37，显然不符合实际，需检查设元或列方程是否错误。3.3隐含不变量关系常见实际问题类型与建模示例——从典型到一般的迁移为帮助学生系统掌握方程组建模，我将七年级下册常见实际问题分为六大类，每类问题均有固定的建模思路，通过“示例→分析→建模→求解”的流程，可实现“举一反三”。061行程问题1行程问题核心公式：路程=速度×时间；相遇问题：路程和=总路程；追及问题：路程差=初始距离。示例：甲、乙两人从相距100千米的A、B两地同时出发，甲骑自行车，速度为15千米/小时；乙骑摩托车，速度为40千米/小时。（1）若两人相向而行，几小时后相遇？（2）若两人同向而行（乙在甲后面），几小时后乙追上甲？分析：（1）相向而行时，甲的路程+乙的路程=100千米；设t小时相遇，列方程15t+40t=100，解得t=20/11≈1.82小时。（2）同向而行时，乙的路程-甲的路程=100千米；设t小时追上，列方程40t-15t=100，解得t=4小时。072工程问题2工程问题核心公式：工作量=工作效率×工作时间；合作时，甲工作量+乙工作量=总工作量（通常总工作量设为1）。示例：一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成。（1）甲、乙合作，几天完成？（2）甲先做2天，剩下的由乙单独做，还需几天？分析：（1）甲的工作效率为1/10，乙为1/15；设合作t天完成，列方程(1/10+1/15)t=1，解得t=6天。（2）甲2天完成2×1/10=1/5，剩余4/5由乙完成；设乙需t天，列方程(1/15)t=4/5，解得t=12天（注：此题为一元一次方程，但可扩展为两人合作不2工程问题]）。同时间的情况，如“甲做x天，乙做y天，总天数为8天，完成工程”，则列方程组[\begin{cases}x+y=8\\frac{x}{10}+\frac{y}{15}=1\end{cases}030405060102083经济问题（购物、利润、利息）3经济问题（购物、利润、利息）核心公式：总价=单价×数量；利润=售价-成本；利息=本金×利率×时间。示例：某文具店购进A、B两种笔记本，A种进价10元/本，售价15元/本；B种进价12元/本，售价18元/本。若购进两种笔记本共100本，花费1120元，全部售出后利润为多少？分析：设购进A种x本，B种y本，则[\begin{cases}x+y=100\10x+12y=1120\end{cases}]，解得x=40，y=60；利润=(15-10)×40+(18-12)×60=200+360=560元。094数字问题4数字问题核心关系：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字。1示例：一个两位数，十位数字比个位数字大3，若交换十位与个位数字，所得新数比原数小27，求原数。2分析：设个位数字为x，十位数字为y，则[3\begin{cases}4y=x+3\510y+x-(10x+y)=276\end{cases}74数字问题]，化简第二个方程得9y-9x=27→y-x=3，与第一个方程一致，说明所有十位比个位大3的两位数（如41,52,63,74,85,96）均满足条件，需结合实际问题是否有其他限制（如题目可能隐含“原数为整数”，但此处无额外条件，故答案不唯一）。105几何问题（周长、面积、体积）5几何问题（周长、面积、体积）核心公式：矩形周长=2(长+宽)，面积=长×宽；圆柱体积=底面积×高。1示例：用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，使长比宽多4cm，求矩形的长和宽。2分析：设长为x，宽为y，则[3\begin{cases}42(x+y)=60\5x=y+46\end{cases}7]，解得x=17cm，y=13cm。8116年龄问题6年龄问题核心关系：两人年龄差不变；若干年后（前），年龄=现在年龄±年数。示例：父亲现在38岁，儿子现在8岁，几年后父亲年龄是儿子的3倍？分析：设x年后父亲年龄是儿子的3倍，则[\begin{cases}38+x=3(8+x)\\end{cases}]（注：此题为一元一次方程，若扩展为“父亲与母亲现在年龄和为70岁，5年前父亲年龄是母亲的1.2倍”，则需设父亲x岁，母亲y岁，列方程组[\begin{cases}x+y=70\6年龄问题010203x-5=1.2(y-5)\end{cases}]）。学生常见错误与教学策略——从问题到改进的实践反思表现：未注意题目中的“同时出发”“相向而行”“打八折”等关键词，导致等量关系错误。教学策略：训练“逐句翻译”法：将题目每一句话转化为数学表达式（如“甲比乙多5”→甲=乙+5）；用“问题清单”引导审题：问题求什么？已知哪些数据？数据间有何关联？是否有隐藏条件？4.1错误类型1：审题不清，遗漏关键信息在教学中，我发现学生在方程组建模时易出现以下四类问题，需针对性改进：在右侧编辑区输入内容122错误类型2：设元不合理，增加计算难度2错误类型2：设元不合理，增加计算难度表现：直接设元导致方程复杂（如“求两数之和”时设两数分别为x和y，而实际只需设和为S）；或设元未带单位，导致后续混淆。教学策略：对比教学：展示“直接设元”与“间接设元”的不同解题过程，让学生体会哪种更简便；强调“设元必带单位”（如“设铅笔单价为x元”），避免单位混乱。133错误类型3：等量关系错误，方程列反或遗漏3错误类型3：等量关系错误，方程列反或遗漏表现：将“甲是乙的3倍”列成“甲=乙÷3”，或“总路程=甲路程-乙路程”（应为“甲路程+乙路程”）。教学策略：用“关键词对应法”：“是”对应“=”，“比”对应“-”或“+”，“倍”对应“×”；结合线段图、表格等工具直观呈现数量关系（如相遇问题用线段图表示两人路程之和）。4.4错误类型4：忽略实际意义，解不符合现实表现：解得人数为负数、时间为小数（如0.5小时合理，但0.3小时需转换为18分钟）、单价为分数（如3.5元合理，但3.25元需检查是否符合实际定价）