《微积分下册》课件 7.6 多元函数的极值与最值

连续二元函数的最值二元函数的极值主要内容第六节多元函数的极值与最值条件极值与拉格朗日乘数法引例1某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?解

设水箱长、宽分别为x,y(m),则高为xy则水箱所用材料的面积为引例2火箭子级质量的设计问题

如何设计火箭各个子级的质量,使卫星达到预定的速度,但所需的火箭总质量最小?

多级火箭是由数级火箭组合而成的运载工具.每一级都装有发动机与燃料,目的是为了提高火箭的连续飞行能力与最终速度.从尾部最初一级开始,每级火箭燃料用完后自动脱落,同时下一级火箭发动机开始工作,使飞行器继续加速前进.

如何设计火箭各个子级的质量,使卫星达到预定的速度,但所需的火箭总质量最小？假设火箭的子级质量之和为预定的速度vg

是关于m1,m2,m3的函数,据有关资料可知结构因子载荷质量速度因子火箭的子级质量之和为预定的速度下的最小值.问题的实质：求函数M(m1,m2,m3)在条件预定速度vg=

g(m1,m2,m3)

为了实际应该中的方便以下称待讨论极值问题的函数为目标函数.多元函数的极值问题有两类：多元函数的极值的分类

无约束极值—只在目标函数的定义域范围内讨论极(最)值问题.

有约束极值—在附加约束条件下,讨论目标函数的极值问题.引例1和引例2即分别为无条件和有条件极值问题.一、二元函数的极值同理我们可定义极小值和极小值点;极大值、极小值统称为极值;极大值点和极小值点称为极值点.1.二元函数极值定义

(1)(2)例1例2例3函数z=xy在(0,0)处不取极值.

在1,3象限的函数值为正;在2,4象限的函数值为负;而在坐标轴上的值为0.ABCD提交练1单选题1分证2.二元函数取得极值必要条件

仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.定理1表明偏导数存在的函数的极值点必为驻点.驻点极值点注：函数

z=xy在点(0,0)不取得极值,但却是驻点.这说明驻点仅仅是函数可能的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定.

可知它的两个偏导数均不存在.这说明偏导数不存在的点也有可能是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？3.二元函数取得极值充分条件例4求函数f(x,y)=x3–y3+3x2

+3y2－9x的极值.解先解方程组求得驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2).

再求二阶偏导数在点(1,0)处A=12,B=0,C=6AC

–

B2=12×6>0,且A=12>0,故函数f(x,y)在点(1,0)有极小值f(1,0)=–5.在点(1,2)处A=12,B=0,C=–6

AC

–

B2=12×(–6)<0,故函数f(x,y)在点(1,2)不取极值;在点(–3,2)处A=–12,B=0,C=–6AC–B2=–12×(–6)>0,A=–12<0,故函数f(x,y)在点(–3,2)有极大值f(–3,2)=31.在点(–3,0)处A=–12,B=0,C=6

AC

–

B2=–12×6<0,故函数f(x,y)在点(–3,0)不取极值;例5讨论函数及取得极值？解

显然(0,0)是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值可能为正、负、0,因此z(0,0)不是函数z=x3+y3的极值.因此为极小值.在点(0,0)是否并且在(0,0)都有当(x,y)≠(0,0)时,ABCD提交练2单选题1分练3

有界闭区域D上连续二元函数f(x,y)最值的求法：(1)计算函数在D内的所有驻点及偏导数不存在的点处的函数值;(2)计算D的边界上的最大值和最小值;(3)比较上面的函数值,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.与一元函数类似,有界闭区域D上连续二元函数f(x,y)必定取得最值,可能会在D

内部的极值点处取得,也可能会在D

的边界处取得.二、连续二元函数的最值1.二元函数在有界闭区域内的最值解根据有界闭区域D上的连续函数一定可以取到最值,可能会在D

内部的极值点处取得,也可能会在D

的边界处取得.2.开区域内的最值(最值的应用问题)特别地,当区域内部最值存在,且只有一个可能的极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)若区域内部有不止一个可能的极值点时,则可通过比较这些点处的函数值或进一步判断这些点是否是极大(小)值来确定最值.对于实际问题中的最值问题,往往由问题的实际意义能断定最大值或最小值一定存在,且在定义区域的内部取得,这时,若函数在定义区域内有唯一的驻点,则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．求实际问题中的最值问题的步骤：(1)根据实际问题建立函数关系,确定其定义域;(2)求出驻点;(3)结合实际意义判定最大、最小值．令例7

某厂要用铁板做成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,当长宽高各为多少米时,才能使用料最省?根据问题的实际背景,水箱所用材料面积的最小三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.分析：如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值故极值点必满足记例如,问题,故有引入辅助函数辅助函数L

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用极值点必满足则极值点满足:拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件解则由问题的实际意义知

u=4×4×4=64为所求的最大值.例9截旋转抛物面其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高点和最底点.解求最高点和最底点的目标函数是但这个极值问题受限于两个约束条件,是条件极值问题,设其Lagrange函数为利用条件极值取得极值的必要条件令

从可知若矛盾所以因而得到：再代入,得

然后由即得于是因而求得最高点为最底点为求空间一点到平面的最短距离.解设于是有练4解得所以故为所求最短距离解练5故当网络广告费用为0.75万元,报纸广告费用为1.25万元时,可使利润最大.即将广告费用1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.练6内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型

根据数据点的分布规律

根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准实验数据有误差,不能要求最小二乘法

偏差有正有负,对值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小为使所有偏差的绝来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b

令满足:使得解此线性方程组即得a,b称为法方程组(注意其特点)例为了测定某股票的走势,每隔1天记录一次该股票的价格,得数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解

通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程组解得故所求经验公式为0027.0074924.8137.628140208.5717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.8012345