《微积分下册》课件 第八章 二重积分

第八章二

重积分教学内容和基本要求

理解二重积分的概念，及其性质,

掌握积分中值定理。掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).重点与难点二重积分的计算方法,二重积分的定义引例主要内容第一节二重积分的概念与性质二重积分的性质回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi表示小区间[xi,xi+1]的长,f(

i)xi表示小矩形的面积,λ为所有小区间长度的最大值.§8.1二重积分的概念与性质多元函数积分学的内容简介

一元积分学是讨论确定形式和式的极限，并用此思想得出了一些量的计算。

这种讨论和式的极限的思想可以推广到定义在区域上的多元函数的情形。

柱体体积=底面积×高特点：平顶柱体体积=？特点：曲顶1.曲顶柱体的体积一、引例曲顶柱体曲顶柱体：以曲面∑：z=f(x,y)为顶，一般z=f(x,y)在D上连续。以平面有界区域D为底，侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴。

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法。

设有一立体.其底面是xOy

面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.Oyzxz=f(x,y)D如何求曲顶柱体的体积V.步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，

先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，

具体步骤见下页:(i)

用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn

,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(

i,

i)Di.小平顶柱体的高=f(

i,

i).若记

i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(

i,

i)

i

小曲顶柱体体积

f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)(iii)

因此,大曲顶柱体的体积

分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得“无限细”,

则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是(iv)

其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.其中

(

i,

i)Di,

i=Di的面积.xyDi如图

当平面薄板的质量是均匀分布时,平面薄板的质量=面密度×面积.2.平面薄板的质量M.

若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M？(i)

用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn

,

设一平面薄板,所占区域为D,面密度

(x,y)0

连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.0xyDDiDi的面积记作

i.0xyDDi

由于

(x,y)0连续,从而当Di很小时,

(x,y)在Di上的变化不大,可近似看作

(x,y)在Di上是不变的.

从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即,(

i,

i)Di,以

(

i,

i)作为Di这一小片薄板的面密度.从而,第i

片薄板的质量mi

(

i,

i)

i(iii)故,平面薄板的质量(iv)

设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D

R2上的有界函数.

将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(i=1,2,…,n),其面积记为

i.(

i,

i)Di,作积f(

i,

i)

i,

二、二重积分的定义1.定义

若对任意的分法和任意的取法,当

0时,和式的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,

记为f(x,y)

R(D),并称此极限值

I为f(x,y)在D上的二重积分.记作

即积分区域被积函数面积微元二重积分符号积分变量积分和注1.

定积分二重积分区别在将小区间的长度

xi换成小区域的面积

i,

将一元函数f(x)在数轴上点

i

处的函数值f(

i)换成二元函数f(x,y)在平面上点(

i,

i)处的函数值f(

i,

i).可见,二重积分是定积分的推广.注2.

若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外,Di的面积

i=xi

yi,故也将二重积分写成是我们常用的写法注3.

可以证明若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D

上可积,

若f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则f(x,y)可积.三、二重积分的性质设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.

性质2.性质3.性质4.若在D上有f(x,y)

g(x,y),则特别:(i)若在D上f(x,y)0,则(ii)这是因为

|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得.性质5.若在D上m

f(x,y)

M,则设

f(x,y)

C(D),则(

,

)D,使得性质6.性质7.1.二重积分的几何意义(i)

z=f(x,y)0,(ii)

z=f(x,y)<0,(iii)=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积)设x,y

在D上可积,则内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.二重积分的几何意义曲顶柱体体积的代数和GoodBye一、利用直角坐标计算二重积分由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(x),

则体积xy0axA(x)§8.2二重积分的计算(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a,x=b

及两条曲线y=y1(x),y=y2(x)围成.如图即,D:y1(x)

y

y2(x),a

x

b称为x—型区域.特别情形是:A、B退缩成一点,E、F退缩成一点.xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f

(x0,y)为曲边的曲边梯形.由定积分的几何意义,zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab从而,故右端称为先对y,再对x的二次积分(累次积分).计算原则:

由里到外.

即先将x看作常数,以y

为积分变量,求里层积分.

得到的结果是只含x,不含y

的函数式,再求外层积分(以x为积分变量).注1.

公式虽是在条件f(x,y)0下得到的,但对一般的f(x,y)都成立,只须D是x—型区域即可.注2.

习惯上常将右端的二次积分记作即ODx+y=111xy(2)若D:x1(y)

x

x2(y),c

y

d,称为y—型区域,

则类似二重积分可化为先对x,再对y的二次积分.即xy0dACBEFx=x2(y)x=x1(y)DoxycdDoxycdDoxycdD以上都是

y—型区域(3)若D既是x—型区域,又是y—型区域.

比如x0yx0yx0y则既可先对x积分,又可先对y积分.等等,

当用按某种次序计算二重积分比较麻烦时,改换积分次序有可能会使计算变得简单.此时,o-12(1,-1)(4,2)xyx=y+2x=y2D(4)若D的形状较复杂,既不是x—型区域,也不是y—型区域.xy0D1D2D3D

则可用一些平行于x

轴和平行于

y

轴的直线将其分成若干块,使每一块或为x—型,

或为y—型,

分块积.如图xy0y=xy=x2x

为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解:

先画区域D的图形.法1.

先对y积分.里层积分的下限为x2,上限为x.由于该射线变化范围是[0,1].因此,外层积分下限为0,上限为1.即：练1xy0y=xy=x2xy0y=xy=x211法2.

先对x

积分.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y则x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即故里层对x

积分的下限为y,上限为而该射线的变化范围是[0,1].故外层对y的积分下限为0,上限为1.xy0y=xy=x211结论：不论是先对x

积分还是先对y

积分

里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式,而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限

下限.称为从里到外，线—线，点—点，例3

关于分块函数在D上的积分.其中D：0

x1,0

y1解：积分区域如图记f(x,y)=|y–x|=y–x,当y

x时,x–y,当y<x时,

且区域D1:y

x和D2:y<x分处在直线y=x的上，下方.故，yx011DD2y

=xD1原式=注：分块函数的积分要分块(区域)来积.带绝对值、max、min以及取整的函数是分块函数.yx0D211y

=xD1D

右边的二次积分并不是两个定积分之积，计算时必须由里至外，这当然较繁琐.但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积.关于二重积分计算的其它问题在将二重积分化为二次积分的公式例4

设D：a

x

b,c

y

d.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，则yx0dcab证：比如，只须要求里层积分的被积函数f2(y)和上、下限都与x无关即可.关于利用对称性积分的问题(1)若D的图形关于x轴对称.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

其中点(x,–y)与(x,y)关于x轴对称，即函数关于y为偶函数.(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),(2)若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1若f(–x,y)=f(x,y).其中

(–x,y)是(x,y)的关于y轴的对称点.(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，则ABCD提交例5则单选题1分yxoD2D1(3)若D的图形关于原点对称.若f(-x,-y)=-f(x,y).其中

(-x,-y)是(x,y)的关于原点的对称点.(ii)f(-x,-y)=f(x,y)，则则如图所示,区域D关于原点对称,对于被积函数,有yxoD2D1所以(4)若D的图形关于直线y=x对称.则有yxoD2D1oxy11Dy=xxyoxy11Dy=xxy例8

设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换D1D2oy-111解：由于是“积不出”的，

要改换积分次序先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y

x1,0

y1画曲线x=y

和x=1，直线y=0,y=1如图：故原式=yx0Dy

=x练2改换解：写出D的表达式，画D的图形改为先对x再对y的积分yx0D24练3三、二重积分的换元法考虑若作变量代换x=g(u,v),y=

(u,v),应如何计算作了变量代换后的二重积分？定理1.

设变换x=g(u,v),y=h(u,v)时uov平面上的有界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足若f(x,y)可积，则(1)x=g(u,v),y=h(u,v)C1(D*)三、用极坐标变换计算二重积分xy

Dr=r(

)0称为“曲边三角形”或“曲边扇形”曲边的极坐标方程为r=r(

).D的最小极角为

，最大极角为

.此时，D*:0

r

r(

),

.从而：0y

x12

y=x

D特例：y0x

r=r(

)0xy

r=r(

)称为“极点位于D的边界上”的情形.DD(2)若积分