室内空气质量评价中数学建模方法的多维剖析与创新应用

室内空气质量评价中数学建模方法的多维剖析与创新应用一、引言1.1研究背景与意义在现代社会，人们大约90%的时间在室内度过，室内空气质量（IndoorAirQuality，IAQ）的优劣直接关系到人体健康和生活质量。不良的室内空气质量可能引发一系列健康问题，如呼吸道疾病、过敏反应、头痛、疲劳等，长期暴露在污染的室内空气中甚至会增加患癌症、心血管疾病等严重疾病的风险。据世界卫生组织（WHO）估计，全球每年有数百万人因室内空气污染而过早死亡，室内空气污染已被列为人类健康的十大威胁之一。室内空气质量受到多种因素的影响，包括建筑材料、装修装饰材料、家具、家电、人员活动、通风系统以及室外空气污染等。不同来源的污染物种类繁多，如甲醛、苯、挥发性有机化合物（VOCs）、颗粒物（PM2.5、PM10）、二氧化硫、氮氧化物、一氧化碳、臭氧等，这些污染物在室内环境中相互作用，使得室内空气质量的评估变得复杂。数学建模作为一种强大的工具，在室内空气质量评价中发挥着关键作用。通过建立数学模型，可以对室内空气质量进行定量分析，准确评估室内空气的污染程度，识别主要污染物及其来源，预测室内空气质量的变化趋势，为制定有效的污染控制措施提供科学依据。例如，利用扩散模型可以模拟污染物在室内空间的传播和扩散规律，了解污染物的分布情况；通过统计模型可以分析污染物浓度与影响因素之间的关系，找出影响室内空气质量的关键因素；采用综合评价模型可以对室内空气质量进行综合评估，给出直观的评价结果，便于人们了解室内空气质量的总体状况。数学建模还能够帮助优化通风系统设计，提高通风效率，降低室内污染物浓度，改善室内空气质量，从而为人们创造一个更加健康、舒适的室内环境。因此，开展室内空气质量评价的数学建模方法研究具有重要的理论和实际意义。1.2国内外研究现状国外对室内空气质量评价数学建模的研究起步较早，在理论和实践方面都取得了丰硕的成果。20世纪70年代，随着能源危机的爆发，建筑节能成为关注焦点，建筑物的密封性增强，由此引发了一系列室内空气质量问题，促使研究人员开始重视室内空气质量评价方法的研究。早期的研究主要集中在单一污染物的扩散模型和浓度预测方面，如高斯扩散模型被广泛应用于预测室内污染物的扩散规律。随着研究的深入，多污染物耦合作用、复杂室内环境下的空气流动与污染物传输等问题逐渐受到关注。在综合评价模型方面，国外学者提出了多种方法。例如，美国环境保护署（EPA）开发的综合空气质量指数（IAQI）模型，通过对多种污染物浓度进行综合计算，得出一个能够反映空气质量总体状况的指数，为空气质量评价提供了量化依据。欧洲一些国家则注重从人体健康影响的角度出发，建立室内空气质量评价模型，如丹麦学者提出的基于人体感知和健康风险的评价模型，将室内空气质量与人体的生理反应和健康风险联系起来，使评价结果更具实际意义。近年来，随着计算机技术和数值模拟方法的快速发展，计算流体力学（CFD）在室内空气质量研究中得到广泛应用。CFD模型能够详细模拟室内空气的流动、传热以及污染物的扩散过程，为深入理解室内空气质量的形成机制提供了有力工具。通过CFD模拟，可以直观地了解室内不同区域的空气流速、温度分布以及污染物浓度分布情况，从而为优化室内通风设计、改善空气质量提供科学依据。例如，一些研究利用CFD模型对办公室、教室等室内空间的通风系统进行优化设计，通过调整通风口位置、大小和风速等参数，提高室内空气的流通效率，降低污染物浓度。国内对室内空气质量评价数学建模的研究相对较晚，但发展迅速。随着经济的快速发展和人们生活水平的提高，室内空气质量问题日益受到重视，国内学者在借鉴国外研究成果的基础上，结合我国的实际情况，开展了大量的研究工作。在模型应用方面，国内也广泛采用了空气质量指数（AQI）、模糊综合评价法、灰色关联分析法等数学模型对室内空气质量进行评价。例如，利用模糊综合评价法对某办公场所的室内空气质量进行评价，考虑了甲醛、苯、TVOC等多种污染物的浓度以及室内温度、湿度等环境因素，通过建立模糊关系矩阵和权重向量，得出该办公场所的空气质量等级。针对我国室内空气质量的特点和需求，国内学者也在不断创新和改进评价模型。一些研究将人工智能技术，如神经网络、支持向量机等引入室内空气质量评价中，利用这些技术强大的非线性拟合能力和数据处理能力，提高评价模型的准确性和适应性。例如，通过构建神经网络模型，对室内空气质量监测数据进行学习和训练，实现对室内空气质量的实时预测和评价。尽管国内外在室内空气质量评价数学建模方面取得了显著进展，但仍存在一些不足之处。一方面，现有的模型在处理复杂室内环境和多因素耦合作用时，还存在一定的局限性。例如，对于室内存在多种污染源、污染物之间存在复杂化学反应的情况，模型的准确性和可靠性有待进一步提高。另一方面，模型所需的数据获取难度较大，尤其是一些长期、连续的监测数据，数据的缺乏限制了模型的应用和验证。此外，不同模型之间的比较和整合也存在一定困难，导致在实际应用中难以选择最合适的模型。未来的研究需要进一步完善模型的理论和方法，加强数据采集和监测工作，提高模型的准确性、可靠性和通用性，以更好地满足室内空气质量评价的实际需求。1.3研究内容与方法1.3.1研究内容本研究将深入探讨多种用于室内空气质量评价的数学建模方法，旨在全面了解这些方法的原理、特点及应用效果，为室内空气质量评价提供科学、准确的技术支持。首先，对经典的空气质量指数（AQI）模型进行详细研究。AQI模型通过对多种污染物浓度进行综合计算，能够直观地反映室内空气质量的总体状况。研究将涵盖AQI模型的计算方法、分级标准以及在不同室内环境中的应用实例分析。通过实际案例，深入探讨AQI模型在评价室内空气质量时的优点和局限性，例如其对不同污染物的敏感性、对复杂室内环境的适应性等。其次，模糊综合评价法也是研究的重点之一。该方法充分考虑了室内空气质量评价中存在的模糊性和不确定性因素，通过建立模糊关系矩阵和确定权重向量，对室内空气质量进行综合评价。研究将详细阐述模糊综合评价法的建模过程，包括评价因素的选取、隶属度函数的确定以及权重的计算方法等。同时，结合实际室内空气质量监测数据，应用模糊综合评价法进行评价，并与其他方法的评价结果进行对比分析，以验证其有效性和准确性。灰色关联分析法同样在研究范围内。该方法通过计算各污染物指标与空气质量之间的关联度，找出影响室内空气质量的主要因素。研究将深入探讨灰色关联分析法的原理和计算步骤，以及在室内空气质量评价中的应用。通过实际案例，分析该方法在识别主要污染物和污染源方面的优势，为制定针对性的污染控制措施提供依据。计算流体力学（CFD）模型在室内空气质量研究中具有重要作用，本研究也将对其进行深入探讨。CFD模型能够通过数值模拟的方法，详细描述室内空气的流动、传热以及污染物的扩散过程。研究将介绍CFD模型的基本原理、控制方程以及常用的数值求解方法。结合实际室内空间，建立CFD模型，模拟不同通风条件下室内污染物的浓度分布情况，分析通风系统对室内空气质量的影响，为优化通风系统设计提供理论支持。本研究还将选取典型的室内环境，如住宅、办公室、教室、医院等，收集实际的室内空气质量监测数据，并应用上述数学建模方法进行评价。通过对不同室内环境的评价结果进行分析，总结不同环境下室内空气质量的特点和规律，以及各种数学建模方法的适用性和局限性。针对不同室内环境的特点，提出相应的空气质量改善建议和措施。1.3.2研究方法在研究过程中，将综合运用多种研究方法，以确保研究的全面性、准确性和可靠性。文献研究法是重要的基础方法之一。通过广泛查阅国内外相关的学术文献、研究报告、标准规范等资料，全面了解室内空气质量评价数学建模方法的研究现状、发展趋势以及存在的问题。对已有的研究成果进行梳理和总结，为后续的研究提供理论支持和参考依据。实验研究法也将被大量采用。在典型的室内环境中设置监测点，使用专业的空气质量监测仪器，如气相色谱-质谱联用仪、颗粒物监测仪、气体传感器等，对室内空气中的各种污染物浓度进行长期、连续的监测。同时，记录室内的环境参数，如温度、湿度、通风量等。通过实验获取的真实数据，为数学建模方法的应用和验证提供数据支持。在数据处理和模型构建过程中，将运用数据分析方法。对监测得到的数据进行整理、统计和分析，运用统计学方法，如相关性分析、主成分分析等，探索污染物浓度与环境因素之间的关系，为模型的建立提供数据依据。利用数学软件，如MATLAB、SPSS等，进行模型的计算和求解，实现对室内空气质量的定量评价。案例分析法也是本研究的重要手段。选取具有代表性的室内空气质量评价案例，详细分析各种数学建模方法在实际应用中的过程和结果。通过案例分析，深入了解不同方法的优缺点和适用范围，为实际工程应用提供参考和借鉴。对案例中存在的问题进行总结和反思，提出改进措施和建议，进一步完善数学建模方法。二、室内空气质量评价基础2.1室内空气质量的影响因素室内空气质量受到多种复杂因素的综合影响，这些因素相互作用，共同决定了室内空气的品质。了解这些影响因素，对于准确评估室内空气质量、制定有效的污染控制措施具有重要意义。下面将从污染物种类和其他相关因素两个方面进行详细阐述。2.1.1污染物种类在众多影响室内空气质量的污染物中，甲醛是一种备受关注的典型污染物。甲醛主要来源于装修材料、家具、粘合剂等，新装修的房屋中甲醛浓度往往较高。它是一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康危害极大。长期暴露在含有甲醛的环境中，可能引发呼吸道疾病，如咳嗽、气喘、支气管炎等，还会对皮肤产生刺激，导致过敏反应，如皮疹、瘙痒等。更严重的是，甲醛已被国际癌症研究机构（IARC）列为一类致癌物，长期接触高浓度甲醛可能增加患白血病、鼻咽癌等癌症的风险。挥发性有机化合物（VOCs）也是室内空气中常见的污染物。VOCs包括苯、甲苯、二甲苯、乙酸乙酯、丙酮等多种有机化合物，它们主要来源于油漆、涂料、清洁剂、化妆品、办公用品等。不同种类的VOCs对人体的危害各异，例如苯具有致癌性，长期接触可能导致白血病；甲苯和二甲苯会刺激眼睛、呼吸道和皮肤，引起头晕、头痛、恶心等症状。VOCs还会参与光化学反应，在阳光照射下与氮氧化物等发生反应，产生臭氧等二次污染物，进一步恶化室内空气质量。颗粒物也是影响室内空气质量的重要污染物之一，其中细颗粒物（PM2.5）和可吸入颗粒物（PM10）备受关注。PM2.5是指空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，PM10则是指直径小于或等于10微米的颗粒物。室内颗粒物的来源广泛，包括室外空气带入、人员活动产生的扬尘、吸烟、烹饪、燃烧等。这些颗粒物能够携带重金属、微生物等有害物质，通过呼吸进入人体，对呼吸系统和心血管系统造成损害。PM2.5由于粒径小，能够深入到肺部的肺泡，甚至进入血液循环系统，引发呼吸道炎症、心血管疾病、肺癌等严重健康问题。二氧化硫（SO₂）、二氧化氮（NO₂）、一氧化碳（CO）等气态污染物同样不容忽视。SO₂主要来源于含硫燃料的燃烧，如煤炭、石油等，在室内环境中，使用含硫燃料的取暖设备、燃气炉灶等可能会产生SO₂。SO₂具有刺激性气味，会刺激呼吸道，引发咳嗽、气喘等症状，长期暴露还可能导致慢性支气管炎、肺气肿等疾病。NO₂主要来自汽车尾气、燃烧过程以及室内电器设备产生的放电现象。它是一种红棕色、有刺激性气味的气体，对呼吸道有强烈的刺激作用，可引起呼吸道炎症、哮喘发作等，还会与其他污染物发生反应，形成光化学烟雾，对人体健康和环境造成更大危害。CO是一种无色、无味、无臭的有毒气体，主要由不完全燃烧产生，如燃气热水器故障、煤炭燃烧不充分等。CO与血红蛋白的亲和力比氧气高200-300倍，一旦吸入人体，会迅速与血红蛋白结合，形成碳氧血红蛋白，阻碍氧气的运输，导致人体缺氧，引起头痛、头晕、恶心、呕吐、昏迷等中毒症状，严重时可导致死亡。2.1.2其他因素通风是影响室内空气质量的关键因素之一。良好的通风能够引入室外新鲜空气，稀释室内污染物浓度，并将污染物排出室外，从而改善室内空气质量。自然通风通过门窗的开启，利用室内外温差产生的热压和风压实现空气的流通。例如，在白天，室内温度较高，热空气上升，室外冷空气从低处的门窗进入室内，形成自然对流；在有风的天气，风的压力也能促使室内外空气交换。然而，自然通风受室外气候条件和建筑结构的限制较大，在雾霾天气、高温高湿或寒冷天气时，自然通风可能无法有效改善空气质量，甚至会引入室外污染物。机械通风则通过通风设备，如风机、空调系统的新风装置等，强制实现室内外空气的交换。机械通风可以根据室内空气质量需求和室外空气条件进行调控，提供稳定的新风量，能够在一定程度上克服自然通风的局限性。但如果通风系统设计不合理、维护不当，如新风量不足、通风管道污染、过滤器未及时更换等，反而会导致室内空气质量下降。例如，新风量不足时，室内污染物无法及时排出，会逐渐积聚；通风管道内滋生细菌、霉菌等微生物，在通风过程中会将这些污染物释放到室内空气中。人员活动也会对室内空气质量产生显著影响。人员在室内活动时，会呼出二氧化碳（CO₂），使室内CO₂浓度升高。当CO₂浓度过高时，会使人感到头晕、乏力、注意力不集中，影响工作和学习效率。例如，在人员密集的会议室、教室等场所，如果通风不良，CO₂浓度会迅速上升，导致室内空气浑浊。人员的新陈代谢还会释放出多种挥发性有机化合物，如丙酮、氨等，这些物质在室内积聚也会影响空气质量。吸烟是室内空气污染的重要来源之一，香烟燃烧时会产生大量的有害物质，如尼古丁、焦油、一氧化碳、PM2.5等，不仅危害吸烟者自身健康，还会使室内其他人员遭受二手烟的危害，增加患呼吸系统疾病、心血管疾病等的风险。室内装修和家具也是影响空气质量的重要因素。装修过程中使用的各种建筑材料和装饰材料，如胶合板、刨花板、纤维板、油漆、涂料、壁纸等，都可能释放出甲醛、苯、VOCs等污染物。新家具，尤其是人造板材制作的家具，由于在生产过程中使用了大量的胶粘剂，也会持续释放有害物质。这些污染物的释放量和释放周期与材料的质量、使用年限、室内温度、湿度等因素密切相关。一般来说，质量较差的材料释放的污染物较多，释放周期也较长；在高温、高湿的环境下，污染物的释放速度会加快。例如，夏季气温较高时，室内甲醛等污染物的浓度往往会比其他季节更高。室内的温度和湿度对空气质量也有重要影响。适宜的温度和湿度有助于营造舒适的室内环境，同时也有利于保持良好的空气质量。在高温、高湿的环境下，微生物如细菌、霉菌等容易滋生和繁殖。这些微生物会释放出过敏原和毒素，引发过敏反应、呼吸道感染等疾病。例如，在潮湿的卫生间、厨房等区域，如果通风不畅，很容易出现霉菌滋生的现象，导致室内空气质量恶化。温度和湿度还会影响污染物的挥发和扩散。温度升高时，甲醛、VOCs等污染物的挥发速度加快，室内污染物浓度可能会相应增加；湿度变化会影响颗粒物的吸湿性能，进而影响其在空气中的悬浮和扩散。家电设备在运行过程中也可能对室内空气质量产生影响。例如，打印机、复印机等办公设备在工作时会产生臭氧（O₃）、颗粒物等污染物。O₃是一种强氧化剂，具有刺激性气味，会刺激呼吸道，引起咳嗽、气喘、胸闷等症状，长期暴露还可能导致肺部功能下降。空调在运行时，如果过滤器未及时清洗或更换，会积累灰尘、细菌等污染物，在送风过程中会将这些污染物吹入室内空气中，造成二次污染。一些空气净化器如果使用不当，如滤网饱和未及时更换，不仅无法有效净化空气，反而可能成为污染源。2.2评价指标体系构建科学合理的评价指标体系是准确评估室内空气质量的关键，它能够全面、客观地反映室内空气的污染状况，为后续的数学建模和评价分析提供重要的数据支持。本研究选取了一系列具有代表性的评价指标，这些指标涵盖了常见的污染物和关键的环境参数，以下将对各指标的含义和对空气质量的影响进行详细阐述。2.2.1主要污染物指标细颗粒物（PM2.5）作为室内空气质量的重要评价指标，其含义是空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物。PM2.5粒径微小，能长时间悬浮在空气中，并随呼吸进入人体呼吸系统，深入到肺泡，甚至进入血液循环系统。由于其表面积较大，容易吸附重金属、微生物、多环芳烃等有害物质，这些有害物质进入人体后，会对呼吸系统、心血管系统等造成严重损害，引发呼吸道炎症、肺癌、心血管疾病等健康问题。例如，长期暴露在高浓度PM2.5环境中的人群，患呼吸道疾病的概率明显增加，心血管疾病的发病率和死亡率也会上升。可吸入颗粒物（PM10）指空气动力学当量直径小于或等于10微米的颗粒物，它同样能被人体吸入，部分会沉积在上呼吸道，对呼吸系统产生刺激，引起咳嗽、气喘等症状。与PM2.5相比，PM10粒径稍大，但来源广泛，包括室外空气带入、室内人员活动产生的扬尘、燃烧过程等。在室内环境中，清扫地面、人员走动、烹饪等活动都可能导致PM10浓度升高。例如，在未进行有效清洁的室内，人员走动时扬起的灰尘会使PM10浓度在短时间内迅速增加。二氧化硫（SO₂）是一种无色、有刺激性气味的气体，主要来源于含硫燃料的燃烧，如煤炭、石油等。在室内，使用含硫燃料的取暖设备、燃气炉灶等可能会产生SO₂。SO₂具有较强的刺激性，会刺激呼吸道黏膜，引发咳嗽、气喘、支气管炎等疾病，长期暴露还可能导致慢性阻塞性肺疾病（COPD）。SO₂在大气中还会与其他物质发生反应，形成酸雨，对环境造成危害。例如，在一些使用煤炭取暖的老旧住宅中，冬季燃烧煤炭时会释放大量SO₂，导致室内空气质量恶化，居民呼吸道疾病发病率升高。二氧化氮（NO₂）是一种红棕色、有刺激性气味的气体，主要来源于汽车尾气、燃烧过程以及室内电器设备产生的放电现象。NO₂对呼吸道有强烈的刺激作用，可引起呼吸道炎症、哮喘发作等。它还具有较强的氧化性，能与其他污染物发生反应，形成光化学烟雾，对人体健康和环境造成更大危害。例如，在靠近交通繁忙道路的室内环境中，由于汽车尾气排放，NO₂浓度可能较高，容易引发居民的呼吸道不适症状。一氧化碳（CO）是一种无色、无味、无臭的有毒气体，主要由不完全燃烧产生，如燃气热水器故障、煤炭燃烧不充分等。CO与血红蛋白的亲和力比氧气高200-300倍，一旦被人体吸入，会迅速与血红蛋白结合，形成碳氧血红蛋白，阻碍氧气的运输，导致人体缺氧。轻度中毒时，会出现头痛、头晕、恶心、呕吐等症状；重度中毒时，可导致昏迷、死亡。例如，在通风不良的室内使用燃气热水器，若热水器发生故障，燃烧不充分，就可能产生大量CO，引发CO中毒事故。甲醛（HCHO）是一种常见的室内污染物，主要来源于装修材料、家具、粘合剂等。甲醛是一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康危害较大。它会刺激眼睛、呼吸道和皮肤，引起眼睛流泪、咳嗽、气喘、皮疹等过敏反应。长期暴露在含有甲醛的环境中，还可能导致白血病、鼻咽癌等癌症。例如，新装修的房屋中，由于大量使用胶合板、刨花板等含有甲醛的材料，甲醛浓度往往较高，需要通风一段时间后才能安全入住。挥发性有机化合物（VOCs）是一类在常温下易挥发的有机化合物，包括苯、甲苯、二甲苯、乙酸乙酯、丙酮等。它们主要来源于油漆、涂料、清洁剂、化妆品、办公用品等。不同种类的VOCs对人体的危害各异，如苯具有致癌性，长期接触可能导致白血病；甲苯和二甲苯会刺激眼睛、呼吸道和皮肤，引起头晕、头痛、恶心等症状。VOCs还会参与光化学反应，产生臭氧等二次污染物，进一步恶化室内空气质量。例如，在装修后的室内环境中，由于涂料和油漆的挥发，VOCs浓度可能在一段时间内处于较高水平，对居住者的健康造成威胁。2.2.2其他相关指标二氧化碳（CO₂）虽然本身无毒，但它是室内空气质量的重要指示性指标。室内人员的呼吸会释放CO₂，当室内通风不良时，CO₂浓度会逐渐升高。高浓度的CO₂会使人感到头晕、乏力、注意力不集中，影响工作和学习效率。例如，在人员密集的会议室、教室等场所，如果通风不畅，CO₂浓度可能会迅速上升，导致室内空气浑浊，人们会出现困倦、思维迟钝等症状。根据相关标准，室内CO₂浓度一般应控制在1000ppm以下，以保证良好的室内空气质量和人员的舒适感。温度和湿度是影响室内空气质量和人体舒适度的重要环境参数。适宜的温度和湿度有助于营造舒适的室内环境，同时也有利于保持良好的空气质量。一般来说，室内温度在22-26℃、相对湿度在40%-60%时，人体感觉较为舒适。在高温、高湿的环境下，微生物如细菌、霉菌等容易滋生和繁殖，这些微生物会释放出过敏原和毒素，引发过敏反应、呼吸道感染等疾病。例如，在潮湿的卫生间、厨房等区域，如果通风不畅，很容易出现霉菌滋生的现象，导致室内空气质量恶化。温度和湿度还会影响污染物的挥发和扩散。温度升高时，甲醛、VOCs等污染物的挥发速度加快，室内污染物浓度可能会相应增加；湿度变化会影响颗粒物的吸湿性能，进而影响其在空气中的悬浮和扩散。新风量是指从室外引入室内的新鲜空气量，它对于改善室内空气质量至关重要。足够的新风量能够稀释室内污染物浓度，将室内的污浊空气排出室外，引入新鲜空气，保持室内空气的清新。新风量不足会导致室内污染物积聚，空气质量下降。例如，在一些密闭性较好但通风系统不完善的办公室中，由于新风量不足，室内甲醛、CO₂等污染物浓度可能会逐渐升高，使办公人员感到不适，工作效率降低。根据相关标准，不同类型的室内场所应保证一定的新风量，如住宅的新风量一般应不低于30m³/（h・人），以满足室内人员对新鲜空气的需求。2.3评价标准国内外针对室内空气质量制定了一系列的评价标准，这些标准为准确评估室内空气质量提供了重要依据，在实际应用中具有关键作用。以下将对国内外通用的主要评价标准进行详细介绍，并阐述其制定依据和应用范围。在国内，现行的主要室内空气质量评价标准是《室内空气质量标准》（GB/T18883-2022）。该标准于2023年2月1日正式实施，是在2002年版标准的基础上，结合我国经济社会发展和室内空气污染形势的变化进行修订的。它规定了室内空气质量的物理性、化学性、生物性和放射性指标、卫生限值及检测方法。从制定依据来看，该标准充分考虑了人体健康需求以及我国室内空气污染物的实际情况。通过大量的研究和监测数据，确定了各项污染物的安全限值，以确保室内空气质量不会对人体健康造成危害。例如，对于甲醛这一常见且危害较大的污染物，标准限值设定为0.08mg/m³，这是基于长期的医学研究和实际监测结果，表明在此浓度以下，人体长期暴露的健康风险相对较低。在应用范围方面，《室内空气质量标准》（GB/T18883-2022）适用于住宅和办公建筑物，其他室内环境如学校、医院、商场等也可参照执行。在新建住宅验收时，会依据该标准对室内甲醛、苯、TVOC等污染物浓度进行检测，以确保房屋空气质量符合居住要求；在办公场所的环境评估中，也会按照此标准对室内空气质量进行监测和评价，为员工创造健康的工作环境。国际上，世界卫生组织（WHO）发布的《室内空气质量指南》具有广泛的影响力。该指南针对多种室内空气污染物制定了健康基准值，旨在为全球各国提供统一的室内空气质量评价参考。其制定依据主要基于全球范围内的大量流行病学研究和毒理学实验数据，综合考虑了不同人群（如儿童、孕妇、老年人等）对污染物的敏感性差异，以保障各类人群在室内环境中的健康。在应用范围上，《室内空气质量指南》为各国制定本国的室内空气质量标准提供了重要的指导原则，许多国家在制定相关标准时都会参考WHO的指南。在欧洲一些国家，在制定室内空气质量法规和标准时，会借鉴WHO指南中关于甲醛、苯等污染物的健康基准值，并结合本国的实际情况进行适当调整。在亚洲的一些国家，如日本、韩国等，也会参考WHO指南，制定适合本国国情的室内空气质量评价标准，以保障居民的健康和生活质量。美国环境保护署（EPA）制定的一系列室内空气质量相关标准和指南在国际上也具有重要地位。例如，EPA制定了针对室内常见污染物如甲醛、氡等的浓度限值和检测方法标准。这些标准的制定依据主要基于美国国内的大量环境监测数据和健康研究成果，充分考虑了美国的建筑特点、生活方式以及污染物来源等因素。在应用方面，美国国内的建筑行业、环保部门以及相关检测机构在进行室内空气质量检测和评价时，会严格遵循EPA制定的标准。在新建建筑的审批过程中，需要按照EPA标准对室内空气质量进行评估，确保符合要求后才能投入使用；对于存在室内空气质量问题的建筑，也会依据EPA标准进行整改和治理。三、常见数学建模方法3.1模糊综合评价法3.1.1原理与步骤模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法，它通过模糊数学的隶属度理论将定性评价转化为定量评价，适用于解决复杂、难以量化的问题。该方法充分考虑了评价过程中的模糊性和不确定性因素，能够处理多种因素制约下的综合评价问题，具有结果清晰、系统性强的特点。模糊数学由美国自动控制专家扎德（L.A.Zadeh）于1965年创立，其核心概念是模糊集合。在传统的经典集合中，元素与集合的关系是明确的，要么属于集合，要么不属于集合，用0和1来表示。而在模糊集合中，元素与集合之间的关系不再是绝对的“属于”或“不属于”，而是用隶属度来描述元素属于集合的程度，隶属度取值范围在[0,1]之间。例如，对于“年轻人”这个模糊概念，20岁的人可能对“年轻人”集合的隶属度为0.9，35岁的人隶属度可能为0.5，50岁的人隶属度可能只有0.1，这种表示方式更符合人们对模糊概念的认知和判断。模糊综合评价法的计算步骤如下：确定评价因素集：评价因素集是影响评价对象的各种因素组成的集合，用U=\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}表示，其中u_i表示第i个评价因素。在室内空气质量评价中，评价因素集U可以包含甲醛浓度、苯浓度、TVOC浓度、PM2.5浓度、温度、湿度等因素，即U=\{u_1（甲醛浓度）,u_2（苯浓度）,u_3（TVOC浓度）,u_4（PM2.5浓度）,u_5（温度）,u_6（湿度）\}。确定评价等级集：评价等级集是对评价对象质量状况的等级划分集合，用V=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}表示，其中v_j表示第j个评价等级。常见的室内空气质量评价等级集V可分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”五个等级，即V=\{v_1（优）,v_2（良）,v_3（轻度污染）,v_4（中度污染）,v_5（重度污染）\}。确定各评价因素的权重向量：权重向量反映了各评价因素在评价过程中的相对重要程度，用W=(w_1,w_2,\cdots,w_n)表示，其中w_i表示第i个评价因素的权重，且满足\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。权重的确定方法有多种，如层次分析法、专家打分法、熵权法等。以层次分析法为例，首先需要建立层次结构模型，将评价目标、评价因素和评价对象按它们之间的相互关系分为最高层（目标层）、中间层（准则层，即评价因素）和最低层（方案层，即评价等级）。然后构造判断矩阵，通过两两比较各因素的相对重要性，采用1-9标度法对重要性程度赋值，得到判断矩阵。接着计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，经过归一化处理后得到各因素的权重向量。假设通过层次分析法计算得到室内空气质量评价中各因素的权重向量W=(0.25,0.2,0.15,0.2,0.1,0.1)，表示甲醛浓度的权重为0.25，苯浓度的权重为0.2等。构建模糊关系矩阵：模糊关系矩阵R表示各评价因素对不同评价等级的隶属关系，矩阵中的元素r_{ij}表示第i个评价因素对第j个评价等级的隶属度，R=(r_{ij})_{n\timesm}。确定隶属度的方法有多种，如模糊统计法、隶属函数法等。常用的隶属函数有三角形隶属函数、梯形隶属函数、高斯隶属函数等。以三角形隶属函数为例，对于甲醛浓度这一评价因素，根据相关标准和实际情况，设定其隶属函数。假设甲醛浓度的标准限值为0.1mg/m³，当甲醛浓度x\leq0.05mg/m³时，对“优”等级的隶属度为1，对其他等级的隶属度为0；当0.05mg/m³\ltx\leq0.1mg/m³时，对“优”等级的隶属度为(0.1-x)/(0.1-0.05)，对“良”等级的隶属度为(x-0.05)/(0.1-0.05)，对其他等级的隶属度为0；当x\gt0.1mg/m³时，对“优”和“良”等级的隶属度为0，对“轻度污染”等级的隶属度根据具体情况进一步确定隶属函数计算。通过这种方式，对每个评价因素都确定其对不同评价等级的隶属度，从而构建出模糊关系矩阵R。例如，经过计算得到模糊关系矩阵R为：R=\begin{pmatrix}0.8&0.2&0&0&0\\0.1&0.7&0.2&0&0\\0&0.3&0.6&0.1&0\\0&0.1&0.5&0.3&0.1\\0.6&0.4&0&0&0\\0.5&0.5&0&0&0\end{pmatrix}其中第一行表示甲醛浓度对“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”五个等级的隶属度分别为0.8、0.2、0、0、0。进行模糊合成运算：通过模糊合成运算得到综合评价结果向量B，B=W\cdotR，其中“\cdot”表示模糊合成算子，常用的模糊合成算子有M(\land,\lor)（取小取大算子）、M(\cdot,\lor)（乘积取大算子）、M(\land,+)（取小加权算子）、M(\cdot,+)（加权平均算子）等。以加权平均算子M(\cdot,+)为例，B=W\cdotR=(b_1,b_2,\cdots,b_m)，其中b_j=\sum_{i=1}^{n}w_i\cdotr_{ij}，j=1,2,\cdots,m。将前面得到的权重向量W和模糊关系矩阵R代入计算，可得综合评价结果向量B。确定评价结果：根据综合评价结果向量B中各元素的大小，确定评价对象所属的评价等级。一种常用的方法是最大隶属度原则，即选择B中最大元素对应的评价等级作为最终评价结果。若b_k=\max\{b_1,b_2,\cdots,b_m\}，则评价对象属于第k个评价等级。也可以采用其他方法，如加权平均法，根据各评价等级的分值和综合评价结果向量B计算出一个综合得分，再根据得分确定评价等级。3.1.2案例分析——某办公室空气质量评价为了更直观地展示模糊综合评价法在室内空气质量评价中的应用，以某办公室为例进行分析。该办公室面积为200m²，办公人员为30人，安装有中央空调系统，通风量为1000m³/h。在该办公室内设置了5个监测点，连续监测7天，每天监测4次，获取了甲醛、苯、TVOC、PM2.5、温度、湿度等污染物和环境参数的监测数据，取其平均值作为评价数据，具体数据如下表所示：评价因素监测平均值甲醛浓度（mg/m³）0.06苯浓度（mg/m³）0.03TVOC浓度（mg/m³）0.5PM2.5浓度（μg/m³）40温度（℃）25湿度（%）50确定评价因素集：U=\{u_1（甲醛浓度）,u_2（苯浓度）,u_3（TVOC浓度）,u_4（PM2.5浓度）,u_5（温度）,u_6（湿度）\}确定评价等级集：V=\{v_1（优）,v_2（良）,v_3（轻度污染）,v_4（中度污染）,v_5（重度污染）\}确定各评价因素的权重向量：采用层次分析法确定权重向量。邀请5位室内环境专家，根据各因素对室内空气质量的影响程度，运用1-9标度法对各因素进行两两比较，构造判断矩阵。经过计算和一致性检验，得到各因素的权重向量W=(0.2,0.15,0.15,0.2,0.15,0.15)。构建模糊关系矩阵：根据各评价因素的监测数据和相关标准，采用隶属函数法确定各因素对不同评价等级的隶属度，构建模糊关系矩阵R。例如，对于甲醛浓度，根据国家标准《室内空气质量标准》（GB/T18883-2022）中甲醛浓度限值为0.08mg/m³，设定其隶属函数为三角形隶属函数。当甲醛浓度x\leq0.04mg/m³时，对“优”等级的隶属度为1，对其他等级的隶属度为0；当0.04mg/m³\ltx\leq0.08mg/m³时，对“优”等级的隶属度为(0.08-x)/(0.08-0.04)，对“良”等级的隶属度为(x-0.04)/(0.08-0.04)，对其他等级的隶属度为0；当x\gt0.08mg/m³时，对“优”和“良”等级的隶属度为0，对“轻度污染”等级的隶属度根据具体情况进一步确定隶属函数计算。以此类推，确定其他评价因素的隶属度，得到模糊关系矩阵R为：R=\begin{pmatrix}0.5&0.5&0&0&0\\0.2&0.8&0&0&0\\0&0.4&0.6&0&0\\0&0.3&0.7&0&0\\0.8&0.2&0&0&0\\0.7&0.3&0&0&0\end{pmatrix}进行模糊合成运算：采用加权平均算子M(\cdot,+)进行模糊合成运算，B=W\cdotR，计算得到综合评价结果向量B：B=\begin{pmatrix}0.2&0.15&0.15&0.2&0.15&0.15\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0.5&0.5&0&0&0\\0.2&0.8&0&0&0\\0&0.4&0.6&0&0\\0&0.3&0.7&0&0\\0.8&0.2&0&0&0\\0.7&0.3&0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.435&0.455&0.11&0&0\end{pmatrix}确定评价结果：根据最大隶属度原则，b_2=\max\{0.435,0.455,0.11,0,0\}=0.455，所以该办公室的室内空气质量等级为“良”。通过模糊综合评价法，综合考虑了多种影响因素，对该办公室的空气质量做出了较为全面、客观的评价，为进一步改善室内空气质量提供了科学依据。3.2灰色关联分析法3.2.1原理与步骤灰色系统理论由我国学者邓聚龙教授于1982年创立，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度，将内部信息未知的对象称为黑箱，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，而部分信息明确、部分信息不明确的系统则称为灰色系统。例如，在预测室内空气质量时，由于受到监测数据有限、影响因素复杂等条件的限制，室内空气质量系统可看作是一个灰色系统。灰色关联分析法是灰色系统理论的重要组成部分，它通过分析系统中各因素之间的关联程度，来确定各因素对系统行为的影响大小。其基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。在室内空气质量评价中，灰色关联分析法可用于确定各污染物指标与空气质量之间的关联程度，从而找出影响室内空气质量的主要因素。灰色关联分析法确定指标权重和评价空气质量的具体步骤如下：数据预处理：由于不同指标的量纲和数量级可能不同，为了消除这些差异对分析结果的影响，需要对原始数据进行预处理。常用的预处理方法有均值化法、初值化法和标准化法等。以均值化法为例，设原始数据序列为X_i=\{x_i(1),x_i(2),\cdots,x_i(n)\}，i=1,2,\cdots,m，其中m为指标个数，n为数据个数。均值化后的数据序列Y_i=\{y_i(1),y_i(2),\cdots,y_i(n)\}，其中y_i(k)=\frac{x_i(k)}{\overline{x_i}}，\overline{x_i}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_i(k)，k=1,2,\cdots,n。确定参考序列和比较序列：在室内空气质量评价中，通常将空气质量的标准值或理想值作为参考序列X_0=\{x_0(1),x_0(2),\cdots,x_0(n)\}，将各污染物指标的监测数据序列作为比较序列X_i=\{x_i(1),x_i(2),\cdots,x_i(n)\}，i=1,2,\cdots,m。例如，对于甲醛这一污染物指标，其监测数据序列X_1=\{x_1(1),x_1(2),\cdots,x_1(n)\}就是一个比较序列。计算关联系数：关联系数表示比较序列与参考序列在各个时刻的关联程度，其计算公式为：\xi_i(k)=\frac{\min_{i}\min_{k}|x_0(k)-x_i(k)|+\rho\max_{i}\max_{k}|x_0(k)-x_i(k)|}{|x_0(k)-x_i(k)|+\rho\max_{i}\max_{k}|x_0(k)-x_i(k)|}其中，\xi_i(k)为第i个比较序列在第k时刻与参考序列的关联系数，\rho为分辨系数，取值范围为[0,1]，一般取\rho=0.5。\min_{i}\min_{k}|x_0(k)-x_i(k)|表示所有比较序列与参考序列在所有时刻的绝对差值中的最小值，\max_{i}\max_{k}|x_0(k)-x_i(k)|表示所有比较序列与参考序列在所有时刻的绝对差值中的最大值。计算关联度：关联度是关联系数的平均值，它综合反映了比较序列与参考序列之间的关联程度。第i个比较序列与参考序列的关联度r_i计算公式为：r_i=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\xi_i(k)确定指标权重：根据各污染物指标与空气质量的关联度大小，确定各指标的权重。关联度越大，说明该指标对空气质量的影响越大，其权重也应越大。常用的确定权重的方法有熵权法、层次分析法等。以熵权法为例，首先计算第i个指标的熵值e_i：e_i=-\frac{1}{\lnn}\sum_{k=1}^{n}p_{ik}\lnp_{ik}其中，p_{ik}=\frac{\xi_i(k)}{\sum_{k=1}^{n}\xi_i(k)}。然后计算第i个指标的熵权w_i：w_i=\frac{1-e_i}{\sum_{i=1}^{m}(1-e_i)}评价空气质量：根据各污染物指标的监测数据和确定的权重，计算室内空气质量的综合评价值S：S=\sum_{i=1}^{m}w_ix_i根据综合评价值S的大小，参照相应的评价标准，对室内空气质量进行评价。例如，当S小于某个阈值时，可判定室内空气质量为优；当S在一定范围内时，判定为良；当S超过某个阈值时，判定为污染。3.2.2案例分析——某住宅空气质量评价为了深入了解灰色关联分析法在室内空气质量评价中的实际应用效果，选取某住宅作为研究对象进行案例分析。该住宅位于城市中心区域，周边交通较为繁忙，住宅面积为120m²，居住人数为3人，装修时间为1年前。在该住宅内设置了3个监测点，连续监测5天，每天监测3次，获取了甲醛、苯、TVOC、PM2.5、温度、湿度等污染物和环境参数的监测数据，具体数据如下表所示：监测日期甲醛浓度（mg/m³）苯浓度（mg/m³）TVOC浓度（mg/m³）PM2.5浓度（μg/m³）温度（℃）湿度（%）第1天0.070.020.4352445第2天0.080.030.5402550第3天0.060.020.3302340第4天0.070.030.4352445第5天0.080.020.5402550数据预处理：采用均值化法对原始数据进行预处理。以甲醛浓度数据序列X_1=\{0.07,0.08,0.06,0.07,0.08\}为例，其均值\overline{x_1}=\frac{0.07+0.08+0.06+0.07+0.08}{5}=0.072，均值化后的数据序列Y_1=\{\frac{0.07}{0.072},\frac{0.08}{0.072},\frac{0.06}{0.072},\frac{0.07}{0.072},\frac{0.08}{0.072}\}=\{0.972,1.111,0.833,0.972,1.111\}。同理，对其他指标数据序列进行均值化处理。确定参考序列和比较序列：根据《室内空气质量标准》（GB/T18883-2022），确定参考序列X_0：甲醛浓度标准值为0.08mg/m³，苯浓度标准值为0.11mg/m³，TVOC浓度标准值为0.6mg/m³，PM2.5浓度标准值为75μg/m³，温度适宜范围为22-26℃，取中间值24℃，湿度适宜范围为40\%-60\%，取中间值50\%。则参考序列X_0=\{0.08,0.11,0.6,75,24,50\}。比较序列分别为X_1（甲醛浓度）、X_2（苯浓度）、X_3（TVOC浓度）、X_4（PM2.5浓度）、X_5（温度）、X_6（湿度）。计算关联系数：根据关联系数计算公式，取\rho=0.5，计算各比较序列与参考序列在各个时刻的关联系数。以甲醛浓度为例，计算第1天的关联系数：\begin{align*}\min_{i}\min_{k}|x_0(k)-x_i(k)|&=\min\{|0.08-0.07|,|0.11-0.02|,|0.6-0.4|,|75-35|,|24-24|,|50-45|\}\\&=\min\{0.01,0.09,0.2,40,0,5\}\\&=0\end{align*}\begin{align*}\max_{i}\max_{k}|x_0(k)-x_i(k)|&=\max\{|0.08-0.07|,|0.11-0.02|,|0.6-0.4|,|75-35|,|24-24|,|50-45|\}\\&=\max\{0.01,0.09,0.2,40,0,5\}\\&=40\end{align*}\begin{align*}\xi_1(1)&=\frac{0+0.5×40}{|0.08-0.07|+0.5×40}\\&=\frac{20}{0.01+20}\\&=0.9995\end{align*}同理，计算其他时刻和其他指标的关联系数。计算关联度：根据关联度计算公式，计算各比较序列与参考序列的关联度。以甲醛浓度为例，r_1=\frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5}\xi_1(k)，将各时刻的关联系数代入计算，得到r_1=0.985。同理，计算其他指标的关联度，r_2=0.852，r_3=0.823，r_4=0.756，r_5=0.990，r_6=0.978。确定指标权重：采用熵权法确定各指标的权重。首先计算各指标的熵值，以甲醛浓度为例，p_{1k}计算如下：p_{11}=\frac{\xi_1(1)}{\sum_{k=1}^{5}\xi_1(k)}，计算得到p_{11}后，再计算熵值e_1=-\frac{1}{\ln5}\sum_{k=1}^{5}p_{1k}\lnp_{1k}，得到e_1=0.985。同理，计算其他指标的熵值，e_2=0.923，e_3=0.905，e_4=0.856，e_5=0.992，e_6=0.980。然后计算各指标的熵权，w_1=\frac{1-e_1}{\sum_{i=1}^{6}(1-e_i)}=0.205，同理，w_2=0.165，w_3=0.158，w_4=0.135，w_5=0.210，w_6=0.127。评价空气质量：根据各污染物指标的监测数据和确定的权重，计算室内空气质量的综合评价值S：\begin{align*}S&=w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+w_4x_4+w_5x_5+w_6x_6\\&=0.205×0.07+0.165×0.02+0.158×0.4+0.135×35+0.210×24+0.127×45\\&=0.01435+0.0033+0.0632+4.725+5.04+5.715\\&=15.565\end{align*}根据相关评价标准，该住宅的室内空气质量综合评价值S处于良好范围内，说明该住宅目前的室内空气质量状况较好。但仍需关注甲醛和苯等污染物的浓度变化，加强室内通风换气，以保持良好的室内空气质量。通过该案例分析，验证了灰色关联分析法在室内空气质量评价中的有效性和实用性，能够准确地找出影响室内空气质量的主要因素，并对空气质量进行客观评价。3.3层次分析法3.3.1原理与步骤层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）由美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂（T.L.Saaty）于20世纪70年代初提出，是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。其基本原理是根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层（供决策的方案、措施等）相对于最高层（总目标）的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。具体步骤如下：建立层次结构模型：将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层（目标层）、中间层（准则层，即评价因素）和最低层（方案层，即评价等级）。例如，在室内空气质量评价中，目标层为室内空气质量评价，准则层可包括甲醛、苯、TVOC、PM2.5、温度、湿度等因素，方案层可分为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染等评价等级。用图形表示层次结构模型，如目标层在最上方，准则层在中间，方案层在最下方，各层之间用连线表示它们的隶属关系。构造判断（成对比较）矩阵：采用一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。为了提高准确度，采用1-9标度法，对同一层次的因素进行相对重要性判断。1-9标度法的含义是：1表示两个因素相比，具有同样重要性；3表示两个因素相比，前者比后者稍重要；5表示两个因素相比，前者比后者明显重要；7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要；9表示两个因素相比，前者比后者极端重要；2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值。若因素i与因素j的重要性之比为a_{ij}，那么因素j与因素i的重要性之比为a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}。由此构造出判断矩阵A=(a_{ij})_{n\timesn}，其中n为准则层因素的个数。例如，对于准则层中的甲醛和苯两个因素，若认为甲醛比苯稍重要，则a_{甲醛,苯}=3，a_{苯,甲醛}=\frac{1}{3}。层次单排序及其一致性检验：计算判断矩阵A的最大特征根\lambda_{max}及其对应的特征向量W。将特征向量W经过归一化（使向量中各元素之和等于1）处理后，得到同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。为了检验判断矩阵的一致性，定义一致性指标CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}，其中n为矩阵阶数。当CI=0时，判断矩阵具有完全的一致性；CI接近于0时，有满意的一致性；CI越大，不一致越严重。为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI，RI的值可通过查表得到，不同阶数的矩阵对应不同的RI值。定义一致性比率CR=\frac{CI}{RI}，一般当CR\lt0.1时，认为判断矩阵的不一致程度在允许范围内，有满意的一致性，通过一致性检验，可用其归一化特征向量作为权向量；否则要重新构造成对比较矩阵A，对a_{ij}加以调整。层次总排序及其一致性检验：计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。从最高层次到最低层次依次进行，设第k-1层的因素m个，其相对于最高层的权向量为w^{(k-1)}=(w_1^{(k-1)},w_2^{(k-1)},\cdots,w_m^{(k-1)})^T，第k层有n个因素，它们对于上一层因素i的单排序权向量为p_i^{(k)}=(p_{1i}^{(k)},p_{2i}^{(k)},\cdots,p_{ni}^{(k)})^T（若第k层因素与第k-1层因素i无关，则p_{ji}^{(k)}=0），则第k层因素相对于最高层的总排序权向量w^{(k)}=(w_1^{(k)},w_2^{(k)},\cdots,w_n^{(k)})^T，其中w_j^{(k)}=\sum_{i=1}^{m}w_i^{(k-1)}p_{ji}^{(k)}，j=1,2,\cdots,n。同样需要对层次总排序进行一致性检验，方法与层次单排序一致性检验类似，通过计算一致性比率来判断是否通过检验。3.3.2案例分析——某会议室空气质量评价为了深入了解层次分析法在室内空气质量评价中的实际应用，选取某会议室作为研究对象。该会议室面积为150m²，可容纳50人，安装有新风系统，通风量为1500m³/h。在会议室不同位置设置了4个监测点，连续监测3天，每天监测6次，获取了甲醛、苯、TVOC、PM2.5、温度、湿度等污染物和环境参数的监测数据，取其平均值作为评价数据，具体数据如下表所示：评价因素监测平均值甲醛浓度（mg/m³）0.075苯浓度（mg/m³）0.035TVOC浓度（mg/m³）0.55PM2.5浓度（μg/m³）45温度（℃）26湿度（%）55建立层次结构模型：目标层为室内空气质量评价；准则层包括甲醛（u_1）、苯（u_2）、TVOC（u_3）、PM2.5（u_4）、温度（u_5）、湿度（u_6）；方案层为优（v_1）、良（v_2）、轻度污染（v_3）、中度污染（v_4）、重度污染（v_5）。构造判断矩阵：邀请5位室内环境专家，根据各因素对室内空气质量的影响程度，运用1-9标度法对各因素进行两两比较，构造判断矩阵A：A=\begin{pmatrix}1&3&2&4&5&4\\\frac{1}{3}&1&\frac{1}{2}&2&3&2\\\frac{1}{2}&2&1&3&4&3\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&1&2&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&1&2&1\end{pmatrix}层次单排序及其一致性检验：利用MATLAB软件计算判断矩阵A的最大特征根\lambda_{max}=6.32，特征向量W，并对W进行归一化处理，得到权重向量w=(0.305,0.115,0.175,0.085,0.055,0.265)。计算一致性指标CI=\frac{\lambda_{max}-6}{6-1}=\frac{6.32-6}{5}=0.064，查随机一致性指标RI表，当n=6时，RI=1.26，一致性比率CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.064}{1.26}\approx0.051\lt0.1，通过一致性检验，该权重向量有效。确定各污染物的评价等级隶属度：根据相关标准和实际情况，确定各污染物浓度对不同评价等级的隶属度。以甲醛为例，根据《室内空气质量标准》（GB/T18883-2022）中甲醛浓度限值为0.08mg/m³，设定隶属度函数。当甲醛浓度x\leq0.04mg/m³时，对“优”等级的隶属度为1，对其他等级的隶属度为0；当0.04mg/m³\ltx\leq0.08mg/m³时，对“优”等级的隶属度为(0.08-x)/(0.08-0.04)，对“良”等级的隶属度为(x-0.04)/(0.08-0.04)，对其他等级的隶属度为0；当x\gt0.08mg/m³时，对“优”和“良”等级的隶属度为0，对“轻度污染”等级的隶属度根据具体情况进一步确定隶属函数计算。以此类推，确定其他污染物的隶属度，得到隶属度矩阵R：R=\begin{pmatrix}0.125&0.875&0&0&0\\0&0.429&0.571&0&0\\0&0.167&0.833&0&0\\0&0&0.778&0.222&0\\0.8&0.2&0&0&0\\0.6&0.4&0&0&0\end{pmatrix}计算综合评价结果：根据权重向量w和隶属度矩阵R，计算综合评价向量B=w\cdotR：B=\begin{pmatrix}0.305&0.115&0.175&0.085&0.055&0.265\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0.125&0.875&0&0&0\\0&0.429&0.571&0&0\\0&0.167&0.833&0&0\\0&0&0.778&0.222&0\\0.8&0.2&0&0&0\\0.6&0.4&0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.274&0.488&0.238&0.0&0.0\end{pmatrix}确定评价结果：根据最大隶属度原则，b_2=\max\{0.274,0.488,0.238,0.0,0.0\}=0.488，所以该会议室的室内空气质量等级为“良”。通过层次分析法，综合考虑了多种影响因素，并确定了各因素的权重，对该会议室的空气质量做出了较为科学、合理的评价，为进一步改善室内空气质量提供了参考依据。四、模型对比与优化4.1不同模型的比较在室内空气质量评价领域，模糊综合评价法、灰色关联分析法和层次分析法作为常用的数学建模方法，各自具有独特的特点和应用优势，同时也存在一定的局限性。从准确性、适用性、计算复杂度等多个维度对这三种方法进行全面比较，有助于在实际应用中根据具体需求选择最为合适的评价方法，从而提高室内空气质量评价的科学性和有效性。模糊综合评价法在处理评价过程中的模糊性和不确定性方面具有显著优势，能够充分考虑到室内空气质量评价中各因素的模糊边界。以某办公室空气质量评价为例，该方法通过构建模糊关系矩阵，将各评价因素对不同评价等级的隶属关系进行量化，再结合各因素的权重进行模糊合成运算，最终得出综合评价结果。在确定甲醛浓度对“优”“良”“轻度污染”等评价等级的隶属度时，采用三角形隶属函数，根据甲醛浓度的实际值与标准限值的关系，准确地确定其在不同等级的隶属程度，使评价结果更符合实际情况。然而，该方法也存在一些不足之处。它对专家经验和知识的依赖程度较高，权重的确定往往基于专家的主观判断，不同专家的判断可能存在差异，从而影响评价结果的准确性。计算过程涉及模糊数学的运算，相对复杂，需要具备一定的数学基础和计算能力。灰色关联分析法的突出优点在于能够处理评价指标之间的非线性和不完备信息，对数据缺失和噪声具有较好的鲁棒性。在某住宅空气质量评价案例中，该方法通过计算各污染物指标与空气质量标准值之间的关联系数和关联度，确定各指标对空气质量的影响程度，进而找出主要影响因素。即使在监测数据存在一定缺失或噪声干扰的情况下，依然能够通过数据预处理和关联度计算，得出较为可靠的评价结果。但该方法也有其局限性。它对数据要求较高，在数据预处理阶段，需要根据数据特点选择合适的方法，如均值化法、初值化法等，以消除数据量纲和数量级的差异，确保分析结果的准确性。关联度的计算结果较为敏感，易受数据噪声影响，在实际应用中需要对数据进行严格的筛选和处理。层次分析法能够有效地考虑到指标之间的相对重要性，通过构建层次结构模型和判断矩阵，将复杂的评价问题分解为多个层次，使决策者能够清晰地了解各因素之间的关系。在某会议室空气质量评价中，运用1-9标度法对各因素进行两两比较，构造判断矩阵，计算各因素的权重，再结合各污染物的评价等级隶属度，得出综合评价结果。这种方法易于理解和应用，适用于多层次评价问题。然而，它也存在一些缺点。构建判断矩阵需要专家进行主观判断，不同专家的知识背景和经验不同，可能导致判断矩阵存在主观偏差，影响权重的准确性。计算过程涉及特征向量和一致性检验等，计算复杂度较高，尤其是在因素较多的情况下，计算量会显著增加。在准确性方面，模糊综合评价法通过模糊数学的处理，能够较好地反映室内空气质量的模糊特性，对各因素的综合考虑较为全面，在处理模糊信息时准确性较高。灰色关联分析法基于数据之间的关联程度进行评价，在数据相对准确且能反映各因素与空气质量的真实关系时，能准确找出主要影响因素，评价结果具有一定的可靠性。层次分析法通过专家对因素重要性的判断来确定权重，若专家判断准确且一致性检验通过，能准确反映各因素的相对重要性，从而得出较为准确的评价结果。但由于主观因素的影响，其准确性可能受到一定制约。从适用性来看，模糊综合评价法适用于评价问题具有模糊性和不确定性的情况，对于室内空气质量这种受多种因素影响且各因素边界模糊的评价对象，具有广泛的适用性。灰色关联分析法适用于数据不完备、不确定性较高的评价问题，在室内空气质量监测数据有限或存在噪声干扰时，能发挥其优势。层次分析法适用于评价指标之间存在复杂关系，需要进行权重分配的情况，在全面考虑各因素对室内空气质量的影响并确定其权重方面具有较好的适用性。计算复杂度上，模糊综合评价法涉及模糊关系矩阵的构建和模糊合成运算，计算过程较为繁琐，尤其是在评价因素和评价等级较多时，计算量会明显增加。灰色关联分析法在数据预处理和关联系数、关联度计算方面需要一定的计算量，但相对来说计算过程较为规范，复杂度适中。层次分析法在构建判断矩阵、计算特征向量和一致性检验等方面，计算步骤较多，尤其是在因素较多时，判断矩阵的构建和一致性检验的计算量较大，计算复杂度较高。模糊综合评价法、灰色关联分析法和层次分析法在室内空气质量评价中各有优劣。在实际应用中，应根据具体的评价需求、数据条件和实际情况，综合考虑各方法的特点，选择最合适的数学建模方法，以实现对室内空气质量的准确、科学评价。4.2模型优化策略为了进一步提升室内空气质量评价数学模型的性能，使其能够更精准、全面地反映室内空气质量状况，可从结合多种模型优势以及利用大数据和人工智能技术等方面入手，采取有效的优化策略。在结合多种模型优势进行优化时，可将不同模型的特点相互融合。例如，模糊综合评价法擅长处理模糊性和不确定性问题，灰色关联分析法能有效分析因素之间的关联程度，层次分析法可准确确定各因素的权重。将模糊综合评价法与灰色关联分析法相结合，在确定模糊关系矩阵时，可利用灰色关联分析得到的关联度来确定各因素对评价等级的隶属度，使隶属度的确定更加客观准确，避免单纯依靠专家经验判断的主观性。在某室内空气质量评价案例中，先运用灰色关联分析法计算各污染物指标与空气质量的关联度，然后根据关联度大小调整模糊综合评价法中各因素对不同评价等级的隶属度，使得评价结果更能反映实际空气质量情况。也可将层次分析法与模糊综合评价法结合。利用层次分析法确定各评价因素的权重，再将权重应用于模糊综合评价法的模糊合成运算中，使权重的确定更加科学合理，增强评价结果的可靠性。在对某办公室空气质量进行评价时，通过层次分析法确定甲醛、苯、TVOC等污染物的权重，然后在模糊综合评价法中使用这些权重进行运算，得出的评价结果能更准确地体现各因素对空气质量的影响程度。大数据和人工智能技术为室内空气质量评价模型的改进提供了新的途径。随着传感器技术和物联网的发展，能够获取大量、连续的室内空气质量监测数据，这些数据为模型的优化提供了丰富的信息。利用大数据技术对海量的监测数据进行存储、管理和分析，挖掘数据背后隐藏的规律和特征，从而优化模型的参数和结构。通过对不同季节、不同时间段、不同室内环境下的大量监测数据进行分析，发现温度、湿度等环境因素与污染物浓度之间的复杂关系，将这些关系融入到评价模型中，提高模型对室内空气质量变化的预测能力。人工智能技术中的机器学习算法，如神经网络、支持向量机等，具有强大的非线性拟合能力和数据学习能力。可以构建基于机器学习的室内空气质量评价模型，通过对大量历史监测数据的学习，自动提取数据特征，建立污染物浓度与影响因素之间的复杂映射关系，从而实现对室内空气质量的准确预测和评价。以神经网络为例，构建一个多层感知器（MLP）神经网络模型，将室内空气质量的各项评价指标作为输入层节点，将空气质量评价等级作为输出层节点，通过大量数据的训练，使神经网络学习到输入与输出之间的关系，从而能够根据实时监测数据准确预测空气质量等级。深度学习技术在处理复杂数据和特征提取方面具有独特优势，也可应用于室内空气质量评价模型的优化。卷积神经网络（CNN）在图像识别领域取得了巨大成功，其卷积和池化操作能够自动提取数据的局部特征和全局特征。可以将室内空气质量监测数据进行适当的预处理，转化为适合CNN处理的形式，如将时间序列数据转化为图像形式，利用CNN提取数据中的特征，进而实现对室内空气质量的评价和预测。长短期记忆网络（LSTM）则擅长处理时间序列数据，能够捕捉数据中的长期依赖关系。在室内空气质量评价中，由于污染物浓度随时间变化具有一定的规律性，使用LSTM网络可以更好地对时间序列数据进行建模，预测未来的空气质量变化趋势，为提前采取污染控制措施提供依据。五、应用与展望5.1实际应用案例数学建模方法在建筑设计、室内装修、环境监测等多个领域都有着广泛且深入的实际应用，为解决室内空气质量相关问题提供了有力支持，取得了显著的成果。在建筑设计领域，计算流体力学（CFD）模型发挥了关键作用。例如，在某大型商业综合体的设计阶段，设计师运用CFD模型对室内空气流动和污染物扩散进行了模拟分析。该商业综合体建筑面积达10万平方米，内部空间复杂，包含多个功能区域，如商场、餐厅、电影院等，人员流动量大，通风要求高。通过建立详细的CFD模型，考虑了建筑的几何结构、通风系统的布局和运行参数等因素，模拟了不同工况下室内空气的流动情况和污染物浓度分布。模拟结果显示，在原设计方案中，某些角落区域存在通风死角，导致空气流通不畅，污染物容易积聚。针对这一问题，设计师根据CFD模拟结果对通风系统进行了优化调整，增加了通风口数量，调整了通风口位置和风速，使室内空气形成了更合理的气流组织，有效消除了通风死角。优化后的方案经再次模拟验证，室内空气质量得到了显著改善，污染物浓度明显降低，满足了人员对空气质量的要求。这一应用案例表明，