山东省青岛市市南区2024-2025学年八上期末数学试题（解析版）

—2025学年度第一学期期末学业水平质量检测八年级数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！本试题共有25道题，其中1～10题为选择题，共30分；11～16题为填空题，共18分；17题为作图题，共4分；18～25题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1.在3.14，，，，，中，无理数的个数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】【分析】本题考查无理数的定义，无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案；【详解】解：，∴，，是无理数；故选：B．2.下列各式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用平方根和算术平方根的定义运算．根据“()的平方根为，算术平方根为”求解即可．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C．3.以下命题是真命题的是（）A.相等的角是对顶角B.三角形的一个外角大于任何一个内角C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D.在平面直角坐标系内，平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对与它对应【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、平行线的性质及实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、在平面直角坐标系内，平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对与它对应，正确，是真命题，符合题意．故选：D．4.如图，中，，将边延长至，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得出，结合已知条件即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【详解】解：是△的外角，，，，，，故选：D．5.如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据两点间的距离公式求出，然后根据勾股定理求出，从而求出，再次利用两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．【详解】解：如图所示：点表示的数为，点表示的数为，，，，，，，，或（不合题意，舍去），故选：B．6.剪纸是中国古老的民间艺术之一．将一张蝴蝶剪纸的轴对称图案，放在如图的直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化-对称、坐标确定位置，由题意得此图形的对称轴为直线，结合轴对称的性质可得点B的纵坐标为4，横坐标为，进而可得答案．【详解】解：∵，∴此图形的对称轴为直线，∵，∴点B的纵坐标为4，横坐标为，∴点B的坐标为．故选：A．7.小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形．A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．【详解】解：∵小淇同学握住第7个结，∴小惠和小淇之间有6个单位长度，∵6，8，10是一组勾股数，且，∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形，故选：C．8.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方程组即可．【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：；故选B．9.直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解．【详解】解：若，则，此时直线经过一、二、四象限；直线经过一、三象限；无此种情况的选项；若，则，此时直线经过一、三、四象限；直线经过二、四象限；选项B符合题意；故选：B10.如图，直线分别与轴，轴交于、两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到，则光线所经过的路程是（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，轴对称的性质，勾股定理等知识点，由题意由题意知的点，点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则；．由而求得．【详解】解：由题意知中，点，点，∴，∴，∵点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则．作出点P关于的对称点，作出点P关于的对称点，则，∴共线，∵，即；∴．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查轴对称，利用点关于轴对称，纵坐标变相反数，横坐标不变，以及点关于轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变进行分析，即可解题．【详解】解：点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，故答案为：．12.测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，这款手机的各项成绩及占综合成绩的比重如图表所示，则该手机的综合成绩为______分．测试项目操作系统硬件规格屏幕尺寸电池寿命项目成绩/分8797【答案】【解析】【分析】根据加权平均数的定义解答即可．本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．【详解】解：根据题意，得（分）．故答案为：．13.如图，在同一直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则方程组的解为______．【答案】【解析】【分析】根据直线：与直线：相交于点，得于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解．本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握一次函数的交点与方程组的解的关系是解题的关键．【详解】解：∵直线：与直线：相交于点，∴，∴，∴方程组的解为，故答案为：．14.图1是一打孔器实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则______．【答案】56【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质进行计算即可解答，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：，，，，平分，，，，故答案为：56．15.如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是______分米．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，由勾股定理得，分米，∴需要走的最短路程是分米，故答案为：．16.同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是______．①小明的速度是；②，两地相距；③小张中途休息40分钟；④小明行驶与小张相遇．【答案】①②④【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键．①当时，小明落后于小张，当时，小明超过小张，这个期间小张处于静止状态，根据速度路程时间列式计算出小明的速度即可；②根据小明的速度行驶时间列式计算，两地的距离即可；③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可；④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了，根据时间路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇．【详解】解：小明的速度是，①正确，符合题意；，两地相距，②正确，符合题意；小张中途休息的时长为，③不正确，不符合题意；，小明行驶与小张相遇，④正确，符合题意．故答案为：①②④．三、作图题（本大题满分4分）17.如图，在网格中建立直角坐标系后，点、的坐标分别为和．（1）在图中准确画出平面直角坐标系，并写出点的坐标为；（2）顺次连接，，，得到，点在轴上且满足，则点的坐标为．【答案】（1）作图见解析，（2）或【解析】【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形的面积计算公式及平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．（1）根据点A和B的坐标确定坐标原点、建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标即可；（2）设点D到的距离为h，分别将和的面积表示出来，再根据二者之间的数量关系得到h的值，从而求出点D的纵坐标，进而得到点D的坐标．【小问1详解】解：根据点、坐标分别为和建立如下平面直角坐标系：点C的坐标为．故答案为：．【小问2详解】解：设点D到的距离为h，则，，∵，∴，∴，∴点D的坐标纵坐标为或，∴点D的坐标为或．故答案为：或．四、解答题（本大题满分68分，共8道小题）18.计算：（1）；（2）；（3）解方程组：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（）利用完全平方公式计算即可；（）根据二次根式的性质和立方根的定义计算即可；（）利用加减法解答即可；本题考查了二次函数的混合运算，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：由①得，③，③＋②得，，∴，把代入②得，，∴，方程组的解是．19.甲数的2倍与乙数的和是81，乙数比丙数的2倍大5，求甲数与丙数的和．【答案】甲数与丙数的和为38【解析】【分析】本题主要考查整式的加减运用，设丙数为x，则乙数为，那么甲数为，然后将甲，丙两数相加即可．【详解】解：设丙数为x，则乙数为，那么甲数为，

则．20.今年是中国共产主义青年团成立102周年，某校为了了解八年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：收集数据】甲班10名学生测试成绩分别为：78，83，89，98，100，94，90，93，95，100乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：91，94，90，93【整理数据】班级甲11134乙12142【分析数据】班级平均数众数中位数方差甲9293.546.8乙908750.2应用数据】（1）根据以上信息，可以求出：分，分；（2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人；（3）甲班的平均分是92分，小明的成绩是93分．小华说：“小明的成绩高于平均分，所以小明的成绩高于甲班一半学生的成绩．”你认为小华的说法正确吗？请说明理由．（4）根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）．【答案】（1）100，90.5（2）成绩为优秀的有390人（3）不对，理由见解析（4）甲班，理由见解析【解析】【分析】本题考查了频数分布表、中位数、众数和方差，用样本估计总体，利用平均数和方差做决策，熟练掌握中位数、众数和平均数定义是解题的关键．（1）根据中位数和众数的求法解答，即可求解；（2）用600乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；（3）根据中位数的意义求解即可；（4）从平均数和方差的角度分析，即可求解（答案不唯一）．【小问1详解】解：在78，83，89，98，100，94，90，93，95，100这组数据中，100出现的次数最多，故；乙班10名学生测试成绩中，中位数是，∴．故答案为：100，90.5；【小问2详解】解：根据题意得：（人）．答：估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有390人；【小问3详解】解：小华的说法不正确，理由如下：小明的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数93.5比较，∵小明的成绩是93分低于中位数93.5，∴小明的成绩低于一半学生的成绩；【小问4详解】解：甲班本次测试的整体成绩较好．理由如下：∵甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班平均数90，且甲班方差46.8＜乙班方差50.2，∴甲班本次测试的整体成绩较好（答案不唯一）．21.甲、乙两个草莓采摘园，草莓售价均为20元/千克．为吸引顾客两园分别推出优惠方案．甲园：顾客入园需购买门票，采摘的草莓按八折销售；乙园：顾客免门票，采摘草莓超过，超过的部分打折销售．活动期间，设草莓采摘量为千克，在甲园采摘的总费用为元，在乙园采摘的总费用为元，，与之间的函数图象如图所示．已知：在甲园采摘3千克草莓总费用为58元，采摘4千克草莓两园的总费用相同．（1）请在图中标记出已知（划线部分）的数据；（2）甲园的门票是多少元？（3）求点的坐标，并说明点的实际意义．【答案】（1）见解析（2）10元（3）点A的实际意义是采摘2.5千克草莓两园的总费用都是50元【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出甲园的门票．（1）根据题意标记数据即可；（2）求出在甲园打折后草莓价格，根据在甲园采摘3千克58元，列式计算即可；（3）设，根据题意可得，即可解得答案．【小问1详解】解：在图中标记出已知的数据如下：【小问2详解】解：∵在甲园顾客入园需购买门票，采摘的草莓按八折销售，∴打折后草莓价格为（元），∵在甲园采摘3千克58元，∴甲园的门票是（元）；【小问3详解】解：设，根据题意可得，解得，∴，即：点A的实际意义是采摘2.5千克草莓两园的总费用都是50元．22.如图，已知，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题．①是的角平分线；②；③．你选的条件是，结论是．请加以证明．【答案】条件：①②，结论：③，证明见解析【解析】【分析】本题考查命题与定理，平行线的判定，由角平分线定义得到，因此，判定，推出，由补角的性质推出，判定．【详解】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下：∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：①②，③．23.“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．”随着春节临近，某小区物业公司准备购买一些灯笼和春联，对该小区100户业主开展“春节送福”活动．物业公司经过调查得到以下信息：信息一：若购买5个灯笼和4幅春联需要花费255元；若购买3个灯笼和8幅春联需要花费265元；信息二：每户业主只能在灯笼和春联中选一种，且选灯笼的业主数量不超过30户．（1）求每个灯笼和每幅春联的价格分别是多少元？（2）物业公司要为本次活动进行预算支持，请你帮物业公司填写下面的预算表，并说明理由．物业公司日常费用预算表费用类别费用明细预算支持/元实际支出/元预算时间赠送活动费用购买灯笼和春联费用2024年1月【答案】（1）每个灯笼35元，每副春联20元（2）物业应提供的预算支持为2450元，理由见解析【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程求解是解题关键．（1）根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题；（2）设有户业主选择灯笼，总费用为元，根据题意得到与的关系式，再结合的取值范围和一次函数性质进行求解，即可解题．【小问1详解】解：设每个灯笼元，每副春联元．根据题意可得：，解得：，答：每个灯笼35元，每副春联20元．【小问2详解】解：填写：2450，理由如下：设有户业主选择灯笼，总费用为元．根据题意可得：，，，随的增大而增大，当时，（元），答：物业应提供的预算支持为2450元．24.小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢?要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证．（1）2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的更接近；（2）请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程．（3）通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证．【答案】（1）2（2）56.5的算术平方根在7和8之间，更接近8（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）比较1.5的平方和2.5的大小即可得解；（2）观察56.5在哪两个连续整数之间，再计算这两个连续整数的中间值的平方和56.5的大小即可得解；（3）由前述两问可猜想若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同