【《三维网格模型变换中的四元数旋转基础分析案例》3200字】

三维网格模型变换中的四元数旋转基础分析案例 使向量发生旋转除了乘旋转矩阵，还可以使用欧拉旋转和四元数进行旋转的操作，矩阵旋转的优点是原转轴可以是任意向量，但是其计算量比较大、消耗时间且占用内存；欧拉旋转是将向量按照固定的旋转轴（坐标轴）分别按次序旋转一定的角度，这种方式简单直观、容易理解，但是缺点是会造成万向锁，导致失去一个方向上的旋转能力；四元数旋转可以避免万向锁，且可以绕任意过原点的向量进行旋转，在某些情况下实现效率比矩阵旋转高，并且可以提供平滑的插值。四元数旋转更适合三维网格变形，但缺点是不够直观、复杂难以理解。本文使用四元数进行旋转操作，下面简单介绍利用四元数旋转的原理： 一个四元数通常被定义为下面这种形式：q=a+bi+cj+dk,其中：(2-13) 一般将a称为四元数的实数部分，b、c、d称为虚数部分，四元数又可以写为以下形式REF_Ref72247347\r\h[20]:q=(2-14)公式（2-13）也就是一个实数与一个向量的组合（向量可以看作是实数部分为0的四元数、实数也可以看作是虚数部分为零的四元数）。四元数的加减就是按照实数部分相加减，虚数部分相加减的规则进行运算，但是四元数的乘法则比较复杂，假设q1=a+bi+cj+dk，q1q2=(2-15) 如果令v=b,c,dv·u=(bf+cg+dh)(2-16)v×u=(2-17)这里i、g、k是向量的基，所以如果用标量向量和有序对来表示四元数乘法的话：q(2-18)必须要注意的是，四元数的乘法运算并不符合交换律，也就是说q1另外，如果两个四元数q1=a+bi+cj+dk，q2 本文已经给出四元数的定义和简单的运算方法，下面介绍如何用四元数表示旋转。首先我介绍一下三维空间中向量的旋转。表示三维向量空间中的旋转方法很多，这里介绍轴角式的旋转，也就是给定一个旋转轴和旋转角度，计算被旋转后的向量的方法。 给定一个经过原点（如果旋转轴不经过原点可以先将其平移到原点，进行旋转之后再将其平移到原处，不会影响旋转的结果）的旋转轴u=(x,y,z)T，使一个向量v沿着这条旋转轴旋转θ度，变换到图2-2三维空间内向量的旋转 本篇论文默认使用右手坐标系，根据右手定则上图所表示的方向（逆时针）即旋转的正方向。在这里我们只需要使向量绕着u的方向进行旋转，所以我们可以规定旋转轴为单位向量也就是：u= 在向量旋转的过程中，把向量分解为两个向量，一个是平行于旋转轴的向量v||，另一个是垂直于旋转轴的向量v图2-3旋转向量的分解 那么向量v=v 然后可以分别旋转v的分量v⊥和v||得到v⊥'和v||',将他们相加便可以得到旋转后的向量: 实际上可以将向量v||看作是向量v在旋转轴uv(2-19)那么根据向量的合成与分解：v(2-20)从图中可以看出，旋转过后在平行于旋转轴方向上的分向量没有发生变化，所以我们可以得到结论（1）：当v||与旋转轴平行时，旋转后的向量与旋转的角度无关，且与旋转之前相等即：v现在分析垂直于坐标轴的分量v⊥图2-4向量分解 但是在这个平面内只有一个向量v⊥，我们需要构造另一个向量来表示旋转，这个向量可以由u和vω=u×(2-21) 因此旋转后的向量v⊥'可以由ω和v⊥经过伸缩变换后合成。因为向量w的模长w=u×v⊥v⊥(2-22) 所以我们得到结论（2）:当v⊥与旋转轴垂直时旋转之后的向量v⊥' 根据结论（1）（2）可以得到向量v绕轴u旋转θ度后的结果：v'=(2-23) 将v||=(u⋅v)u、v=vcosθ+(2-24) 上述公式就是三维坐标的旋转变换公式，只需要确定一个旋转轴和旋转角度即可通过公式（2-24）得到经过旋转变换后的向量坐标。 将四元数跟三维旋转联系起来，用四元数表示三维旋转。为了方便区分四元数与向量的表示，将四元数表示为Q(a),那么我们可以定义以下四元数：Qv=Qv⊥ 同理可以定义Qv∥、Q(v∥')、 根据四元数的加法运算法则：Q(2-25)Q(2-26) 根据公式（2-22），如果用四元数代替向量,根据四元数的运算法则，下列等式仍然成立：Q((2-27) 我们期望将这个等式写成全部是四元数的运算形式，对上式进行变形：Q(2-28) 不妨令QqQ(2-29) 也就是说，如果旋转轴u的坐标为(x,y,z)T，旋转角度为θQ(2-30) 下面再考虑v∥用四元数表示旋转的方式，很容易得到Q 至此可以获得向量在三维空间中旋转用的四元数表达式：Q(2-31) 在对这一等式进行简化之前，必须先声明几个引理： （1）如果Qq=[cosθ,usinθ]，且u为单位向量，那么 （2）假设一个纯四元数Qv∥=[0,v∥],Qq=[α,βu],其中向量u是单位向量， （3）假设一个纯四元数Qv⊥=[0,v⊥],Qq=[α,βu],其中向量u是单位向量， （4）单位四元数的逆与其共轭四元数相等即Q 这些引理根据四元数的运算法则和性质可以得到证明，这里不具体展开证明。由引理（1）（2）（3）（4）得：Qv'=Qv(2-32) 在上述过程中，本文使用Qq的形式表示一个四元数，以避免对四元数和向量的表示出现混乱。一般的，四元数用一个小写字母来表示。把公式（2-32）换成一般的形式，也就是：v'=pvp',在这里p和p 在这里，q=pq=Q(2-33) 根据引理（1）：p=cos⁡(θ/2)+sin⁡(θ/2)xi+sin⁡(θ/2)yi+sin⁡(θ/2)zi