第17讲 三角函数中的ω取值与范围问题（解析版）

第17讲三角函数中的ω取值与范围问题【典型例题】例1．（2024·高三·福建泉州·阶段练习）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知，的实数解可转化为或的实数解，即，当时，所以时，，单调递增，时，，单调递减，如图所示：所以时有最大值：所以时，由图可知，当时，因为，，所以，令，则则有且，如图所示：因为时，已有两个交点，所以只需保证与及与有四个交点即可，所以只需，解得．故选：D例2．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题知，零点的个数可转化为与交点的个数，当时，所以时，，单调递增，时，，单调递减，如图所示：所以时有最大值：所以时，由图可知必有两个交点；当时，因为，，所以，令，则则有且，如图所示：因为时，已有两个交点，所以只需保证与有三个交点即可，所以只需，解得.故选：D例3．（2024·高一·四川成都·开学考试）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，，所以最小正周期满足所以，所以有：，故选：B例4．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）已知，且在单增，上单减，则【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以，因为在单增，上单减，所以是的最大值点，所以，所以，因为在单增，上单减，所以单调区间长度大于等于，所以，且，所以，所以.故答案为：.例5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的图象的对称轴，为的零点.若使得的图象在处的切线与轴平行，则的最小值为；若在上单调，则的最大值为．【答案】39【解析】设的周期为，因为为图象的对称轴，为的零点，所以，所以有，所以，所以，即为正奇数．又因为使得的图象在处的切线与轴平行，则是的图象的对称轴.所以，，，满足条件.所以，的最小值为3；因为在上单调，则有，即，解得．检验当时，由为的零点可知，．因为，所以，此时．当时，，结合正弦函数的性质可知，此时在上不单调，不符合题意；检验当时，由为的零点可知，．因为，所以，此时．当时，，此时在上单调，符合题意.所以的最大值为9，此时．故答案为：3；9.例6．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，且满足，，则．【答案】【解析】由题意可知的一个对称中心为，一条对称轴为直线，所以其中，，解得，其中．又因为单调区间不超过半个周期，所以，则．①当时，，解得，此时，当时，，故在上单调递增；②当时，，无解；③当时，，解得，此时，当时，，所以在上单调递减，舍去；④当时，，解得，此时，当时，，此时在上单调递减，舍去；⑤当时，，无解．综上，．故答案为：例7．（2024·陕西西安·二模）已知函数，若，，且在区间上没有零点，则的一个取值为．【答案】（答案不唯一）.【解析】由题意，在中，，∴,所以，两式相减得，所以，即，，因为，所以，令，，由题意知在上无零点，故，，所以，即，两式相加得，所以，又，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，所以的取值有5个，取其中一个填写即可.故答案为：（答案不唯一）.例8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为．【答案】【解析】由题意知函数在区间上有且仅有一个零点，故函数的最小正周期,又，则，而，当时，即时，需有，即，此时；当时，即时，，此时函数在上无零点，不合题意；当时，即时，需有，即，此时；当时，即时，，此时函数在上有一零点，符合题意；当时，即时，需有，即，此时；综合上述，得的取值范围为，故答案为：例9．（2024·山西晋城·一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为．【答案】【解析】令，，得的极大值点为，，则存在整数，使得，解得．因为函数在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以．当时，．当时，．当时，．又，所以的取值范围为．故答案为：例10．（2024·江苏宿迁·一模）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以，其中，相邻的后面一个使得成立的值为：，且，当且仅当，解得：．故答案是：.【过关测试】一、单选题1．（2024·高三·云南·开学考试）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，解得，即在上仅有一个零点，所以只需在上有个不同零点即可．当时，，所以，即故选：A2．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数化简得，由，可得函数的对称轴为，由题意知，且，即，，若使该不等式组有解，则需满足，即，又，故，即，所以，又，所以或，所以．3．（2024·陕西·模拟预测）已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，令，即，所以，在上有且只有5个零点，因为，所以，所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，则，即，所以实数的范围是.

故选：C4．（2024·高三·全国·阶段练习）已知函数在上恰有5个不同的零点，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根据二倍角三角函数公式化简解析式，再把问题转化为在内有五个根，借助于正弦函数的性质即可求解．依题意，；令，即，故，而，且，故，，要使得函数在上恰有5个零点，则方程在上有5个实数根，故，解得.故选：C5．（2024·高三·云南·阶段练习）已知函数（），，下述五个结论：①若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；②若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有3个极小值点；③若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增；④若，且在有且仅有4个零点，则的范围是；⑤若的图象关于对称，为它的一个零点，且在上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是（

）A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④【答案】D【解析】结合正弦函数的性质进行判断．作出的大致图象，由上的零点个数判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式．再由单调性得周期的范围，然后从最大的验证，判断⑤．①若，在上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，在有且仅有3个极大值点，故①正确；②若，且在有且仅有4个零点，同样由图可知在有且仅有2个极小值点，故②错误；③若，由在上有5个零点，得，即，当时，，所以，所以在上单调递增，故③正确；④若，因为，∴，∴，因为在有且仅有4个零点，所以，所以，所以④正确；⑤若的图象关于对称，为它的零点，则(，T为周期)，得，又在上单调，所以，，又当时，，，在上不单调；当时，，，在上单调，满足题意，故的最大值为9，故⑤不正确，故选：D.6．（2024·全国·二模）函数（），当时，的值域为，则的范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，若值域为，所以只需，∴.故选：B7．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若，，且在上恰有3个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，得，，即，，所以．因为，，所以．又在上恰有3个极值点，所以解得；或（无解）；或（无解）．综上，实数的取值范围为.故选：C．8．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【解析】因为，故时，函数取到最大值，又，可知为的对称中心，故，故；又在上单调，故，即，结合选项，当时，，时，函数取到最大值，故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；当时，，时，函数取到最大值，故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，由，得，由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，满足为的对称中心，由，得，由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；故故选：A9．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数，其导函数为且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满足，且对任意角在区间上均不是单调函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，故，故，而，故，故，故.由可得的图象关于点对称，，即，其中.当时，，因函数在上的前5个零点依次为，可得，解得，又在上不是单调函数，，解得，综上.故选：B.10．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，故，则，即，由函数在上单调，得，即，即，解得，而，故或1，或2，当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上不单调，故在上不单调，此时不合题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；综上，或.故选：B二、多选题11．（2024·高三·湖北荆州·阶段练习）已知函数，则下述结论中错误的是（）A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为11【答案】BD【解析】因为,因为在有且仅有个零点，所以，所以.所以选项C正确；此时，在有且仅有个极小值点，故选项A正确；因为，因为，所以当时，所以，此时函数不是单调函数，所以选项B错误；若的图象关于对称，则，.，，，.当时，，当时，，此时，函数在区间上单调递减，故的最大值为9．故选项D错误.故选：BD12．（2024·广东汕头·一模）知函数，则下述结论中正确的是（

）A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增C．若在有且仅有个零点，则的范围是D．若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为【答案】ACD【解析】令，由，可得出，作出函数在区间上的图象，如下图所示：对于A选项，若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点，A选项正确；对于C选项，若在有且仅有个零点，则，解得，C选项正确；对于B选项，若，则，所以，函数在区间上不单调，B选项错误；对于D选项，若的图象关于对称，则，.，，，.当时，，当时，，此时，函数在区间上单调递减，合乎题意，D选项正确.故选：ACD.13．（2024·高三·山西·期末）函数，则以下说法正确的有（

）A．若，则在内恰有3个零点B．若，则在内恰有3个极值点C．若在内有最小值点，则D．若在区间单调，则【答案】ACD【解析】对于A，当时，，其零点满足，故，故，其中在区间内恰有3个，故A正确；对于B，当时，，其极值点满足，故，故，其中在区间内只有2个，故B错误；对于C，的最小值点满足，解得，因为，则最小值为，令，得，故C正确；对于D，的极值点满足，即，若在单调，需（*），由得，即，当时，解得；当时，解得；当，解（*）得，又，故；当时，对应的均为负值，故D正确.故选：ACD.14．（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（

）A．B．若，则函数的最小正周期为C．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为【答案】ABD【解析】函数满足.对A：因为，所以，故A正确；对B：由于，所以函数的一条对称轴方程为.又为一个对称中心，由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期满足，即.又区间上单调，故，即，故，故B正确；对C：函数在区间上单调，且满足，可得：，所以周期，又周期越大，的根的个数越少.当时，，又，，得.所以在区间上有3个不相等的实数根：，或，故至多3个不同的实数解，故C错误.对D：函数在区间上恰有5个零点，所以，所以，解得：，且满足，即，即，故.故D正确.故选：ABD15．（2024·广东广州·模拟预测）已知点是函数的图象的一个对称中心，则（

）A．是奇函数B．，C．若在区间上有且仅有条对称轴，则D．若在区间上单调递减，则或【答案】BC【解析】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，所以，且①，B选项正确.则，所以，由于是奇数，所以是偶函数，A选项错误.C选项，，将代入得：，整理得，由于在区间上有且仅有条对称轴，所以，解得，由于，所以，对应，所以C选项正确.D选项，在区间上单调递减，，将代入得：，整理得，则，解得，而，所以或，时，，符合单调性，时，，不符合单调性，所以舍去所以，所以D选项错误.故选：BC16．（2024·高三·广东惠州·阶段练习）已知函数在上单调，，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】在上单调，则，而，有以下情况，①，而，则，，，②，而，则，，，或，，，综上，的可能取值为，，，故选：ABD三、填空题17．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为.【答案】【解析】，则，函数有且仅有2个不同的零点，则，解得.故答案为：18．（2024·贵州黔西·一模）已知函数，下述四个结论：①若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；②若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有2个极