第三讲：逻辑用语知识总结与题型归纳解析

第三讲：逻辑用语知识总结与题型归纳知识再现一、充分条件、必要条件、充要条件1、定义如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.2、从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).二．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题的否定为，.（2）存在量词命题的否定为.注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1、从集合与集合之间的关系上看设.（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件.2、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于大于小于是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.题型一充分必要条件的判断例1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．充分条件B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B例2.已知，则“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件解析：当时，“x<2”成立，但,故“”，故“x<2”不是“”的充分条件，“”等价于，即能推出，∴“x<2”是“”的必要条件，故“x<2”是“”的必要不充分条件，故选:B.例3．已知、都是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件解析：时，一定有，充分性成立，当时，满足，但不成立，则必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A．例4．已知函数，则“”是“是奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：是奇函数等价于，即，故，所以.则“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.例5.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：设直线a与平面M内一条直线b垂直，则平面内与直线b平行的无数条直线都与直线a垂直，则由“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能得到“直线a与平面M垂直”，即“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不是“直线a与平面M垂直”的充分条件.故A，C错误.当直线a与平面M垂直时，由直线与平面垂直定义可得，直线a与平面M内任意一条直线垂直，则由“直线a与平面M垂直”可得“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”.即“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的必要条件.综上所述，“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的必要不充分条件.故选：B变式训练1．已知，则是的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要解析：记集合，.因为AB，所以是的充分不必要条件.故选：A2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由，解得或，故由能够推出；由不能够推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A．3.“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为指数函数单调递增，由可得：，充分性成立，当时，，但不一定，必要性不成立，故选：A4．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要解析：∵表示双曲线，∴.∴是表示双曲线的充要条件.故选：C.5．已知，为不重合的两个平面，直线，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：记平面为，平面为，直线为，直线为，则直线，，，但，所以“”不是“”的充分条件，记平面为，平面为，直线为，直线为，则直线，，，但，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.题型二充分必要条件的倒装句例6.使成立的一个充分条件是（）A．B．C．D．解析：根据充分条件的定义，由可以得出，B正确；若，取，无法得到，A错误；C显然错误；若，取，无法得到，D错误.故选：B.例7.不等式成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C．或 D．解：不等式即，即，对于A,因为，故是成立的一个必要不充分条件，A正确；而不是集合，的真子集，故错误，故选：A例8．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是()A． B． C． D．【答案】D【解析】“”为真命题，可得，因为，故选:D.变式训练1．命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A． B． C． D．解析:命题为真命题，则对恒成立是的真子集是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：2.（多选）使成立的一个充分条件可以是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】或，故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.故选：AB.3.“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．解:由题知,不等式,恒成立,只需,故,则选项是的必要不充分条件,即真包含于选项中,所以选D,故选:D.题型三：根据充分必要条件求参数的取值范围例9.已知，，若是成立的充分不必要条件，求的取值范围是()A．B．C． D．【答案】A【解析】由解得：，.由，即，解得或..是成立的充分不必要条件，则，或，解得：或.的取值范围是.故选：A.例10.若p:，且是的充分不必要条件，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为是的充分不必要条件，所以，故选:A.例11.已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【解析】由得或，解得：或，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是或的真子集，可得：，故选：B变式训练1.已知：，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，解得，即，由，得，即，因为p是q的充分不必要条件，所以，解得，故选：C2.如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，解得：，所以成立的充分不必要条件是，故是的真子集，所以或，解得：，故实数的取值范围是.故选：B3.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，因此恒成立，则，因此D是其一个充分不必要条件，故选D．题型四全称量词命题、存在量词命题的否定例12.已知命题，，则命题的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题的否定为：，.故选：B.例13.命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由特称命题的否定的定义即可得出结果.【详解】因为，所以其否定为.故选：B.变式训练1．设命题p：，，则命题p的否定为（

）A．， B．，C．， D．，解析：命题p的否定为，.故选：D2．已知命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得为.故选：C题型五：存在与恒成立求参数的取值范围例14.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】命题“，使”是假命题，则命题，恒成立为真命题，所以当时，，不恒成立，当时，需满足可得，解得，故的范围为．故答案为：．例15.