5.2 传递函数的频率辨识

北京航空航天大学传递函数的时域和频域辨识

刘金琨传递函数的频率辨识频率特性是描述动态系统的非参数模型，可通过实验方法测取。本节讨论在频率特性的已经测取的情况下，求系统传递函数的方法。被控对象用频率特性描述时，

一般表达式为(5.18)式

中Y(s)是辨识对象输出量的拉式变换，U(s)是辨识对象输入量的拉式变换。上式也可以写为Y(jo)=G(ja)U(jo)工程分析和设计中，常把线性系统的频率特性画成对数频率特性曲线，

该曲线即为Bode

图。对数频率特性曲线的横坐标按lg

w分度，单位是(rad/s),

对数幅频特性曲线的纵坐标按L(w)=20lg|G(jw)|

线性分度，单位是分贝

(dB),

对数相频特性曲线的纵坐标按φ(w)=∠G(jw)线性分度，单位是度(°)。如果实验测得了系统的频率响应数据，则可按频率特性作出对数频率特性曲线，从而求得传递函数。最小相位系统通常可以用以下式来描述：(5.19)其中T₁

和T₃是一阶微分环节和惯性环节的时间常数，ξ1和ξ2;是二阶微分

环节和振荡环节的阻尼比，T₂

和

T₄;是二阶微分环节和振荡环节的时间常数。通过实验测定系统的频率响应之后，就可以利用表5-2中各种基本环节频率特性的渐进特性，获得相应的基本环节特性，从而得到传递函数。具体方

法是用一些斜率为0,±20dB/dec.,±40dB/dec.,……

的直线来逼近幅频特性，

并设法找到频率拐点，就可以求式(5.19)的传递函数。品

一、利用Bode图特性求传递函数基本环节辐频dB辐频斜率dB/dec辐频dB辐频dB辐频斜率dB/decK201gK0201gK201gK0Snn×201gn×20n×201gn×201gn×20Ts+1003dB201g@

+201gT2000-3dB-201g@-201gT-20T²s²+2ξTs00因而异401g@

+401gT401T4+3ĘT800因而异-401g@-401gT-40e-TS00000品

一、利用Bode图特性求传递函数表5-2基本环节的对数幅频响应渐进特性被测对象按最小相位系统处理，得到的传递函数是G(s),

如果所求得的∠G(s)与实

验结果不符，且两者相差一个恒定的角频变化率，则说明被控对象包含延迟环节。若

被控对象传递函数为G(s)e-Ts,则有因此，根据频率の趋于无穷时实验所得相频特性的相角变化率，即可确定延迟环节的延迟时间t

。但在高频时相频特性的实验数据难以测量，所以工程上采用下列方法确

定系统的纯延迟。如图5-6所示，图中实线为实验得到的对数相频曲线，虚线为拟合的传递函数G'(s)

所决定的对数相频特性。如果虚线和实线很接近，则系统不含延迟环节。如果虚线和实

线相差较多，则系统存在纯延迟。选取若干个频率@k(k=1,2,

…

,n),

对应于每一个@可找

出其实测曲线与拟合曲线的相差角△φk=q'-Qk,于

是再求平均值得,t即可作为系统的纯延迟。品

一、利用Bode图特性求传递函数

一、利用Bode图特性求传递函数图5-6(b)对数频率特性曲线(含纯延迟)图5-6(a)对数频率特性曲线(不含延迟)品

一、利用Bode图特性求传递函数例5

.

1[2]

针对系统的实验频率响应曲线确定系统的传递函数。L(ω)/dB-20dB/dec40dB/dec图

5

-

7测

试

系

统

对

数

幅

频

渐

进

特

性

实

验

曲

线10

w/s-

160dB/dec0.1-20dB/dec0

0.01-2060品

一、利用Bode图特性求传递函数假设被测试系统为最小相位系统，其对数幅频特性的近似特性曲线如图5-8所示，则系统具有如下特点：1.在低频段w∈0,0.1](第一个转折频率之前的区域，由表5-2可见，此时

其余环节的增益近似为1(OdB)),

对数幅频特性曲线的斜率为-20dB/dec.,

则由表5-2可知被测对象包含一个积分环节sn(n=-1),

即

2.

对数幅频特性曲线有3个转折频率，即0.1rad/sec,1rad/sec和10rad/sec,

按转折频率处的斜率变化，可写出被测系统的传递函数为品

一、利用Bode图特性求传递函数分析如下：(1)在低频情况下,各个基本环节除

之外幅频都为0;(2)当转折频率为w=0.1rad/sec

时，T=10,对应频带的斜率分别为-20dB/dec和-

40dB/dec,转折点处的实际幅值为37dB

(渐进值为40dB,修正幅值为-3dB),

考虑到在之

前有1个基本积分环节,则该环节实际对应的幅频斜率值应分别加上20dB/dec,即分别

为0dB/dec和-20dB/dec,转折点的修正幅值为-3dB,由表5-2可得，所对应的基本环节为(3)当转折频率为w=1rad/sec

时，对应频带的斜率分别为-40dB/dec和-20dB/dec,转折点处的实际幅值为3dB

(渐进值为0dB,修正幅值为3dB),考虑到在之前有2个基本环节和

的作用，则该环节实际对应的幅频斜率值应分别加上40dB/dec,

即分别为

OdB/dec和20dB/dec,

转折点的修正幅值为3dB,由表5-2可得，所对应的基本环节为s+1。◎品

一、利用Bode图特性求传递函数(4)当转折频率为w=10rad/sec

时，对应幅频斜率分别为-20dB/dec和-

60dB/dec,转折点处的实际幅值为-20dB(渐进值为-20dB,

修正幅值为0dB),则修正幅值为-20lg2ξdB=0,即2ξ=1,ξ=0.5。考虑到在之前有3个基本

环节

和s+1

的作用，则该环节实际对应的幅频斜率分别加上20dB/dec,

即分别为OdB/dec和-40dB/dec,转折点的修正幅值为OdB。由表5-2可得，所对应的基本环节为(5)由图5-8可见，w=0.01

时，幅频为60dB,

即20lg|G(jw)|w=0.01=60,则可得201,则被测系统的比例环节可

近似为K=10。品

一、利用Bode图特性求传递函数则可以写出被测系统的传递函数为针对表5-2,有以下几点说明：注1:以基本环节Ts+1

为例，其幅频值为

|jwT+1|,

当

时

，wT》1,则幅频值近似为|jwT|,注2:单独考虑积分环节和比例环节,当w=0.1时，图中对应点的幅频

为40dB,

而在实际曲线中对应的幅频为37dB,

如果将积分环节和比例环节

的影响去除，则w=0.1

处的幅频为-3dB。品

一、利用Bode图特性求传递函数上式只是根据幅频特性得出的传递函数，可得到相应的相频特性曲线，即∠G渐进曲线，如果∠G渐进曲线与实验所得的实际相频曲线不符，例如，在

w=1时，实验曲线与∠G之差约-5°,w=10时，实验曲线与∠G之差约-60°,

这说明实际传递函数包含延迟环节，考虑G(s)e-TS,t=0.1

与实验曲线的相

频特性相符，则被测系统的传递函数可修正为给定离散频率采样点{Wi},i=1,2,…,N,

假定已测试出系统的频率响应数据{Pi,Qi},

其中Hi=Pi+jQi。在MATLAB信号处理工具箱中，给出了一个辨识系统传递函数模型的函

数invfreqs(),该函数的调用格式是[B,A]=invfreqs(H,W,n,

m),

其中W为由

离散频率点构成的向量，n和m

为待辨识系统的分子和分母阶次，H

为频域响

应的复数向量，其实部和虚部为辨识时用到的实部和虚部。返回的B和A分别

为辨识出的传递函数的分子和分母的系数向量。下面通过两个实例说明Matlab

函数invfreqs的用法8。品

二、利用MATLAB

工具求系统传递函数假设系统的传递函数为：(5.20)通过Maltab仿真，可实现对G(s)的频率响应测试及通过频率响应测试结果求传递函

数，仿真程序见chap5_2.m。假设在频率范围W上测出系统频率响应数值为H,则可得

到频率范围w

及频率响应数值H,

频率值采用logspace函数实现，其中logspace(a,b,n)为

Matlab函数，其中a、b、n分别表示开始值、结束值和元素个数，其功能为生成从

[10°,10°]内，按对数等分的n个元素的行向量。n如果省略，则默认值为50。品

二、利用MATLAB

工具求系统传递函数例5.2对一阶连续系统传递函数辨识close

all;w=logspace(-1,1)num

=[1]den

=[1,5]H=freqs(num,den,w)[num,den]=invfreqs(H,w,0,1);

G=tf(num,den)仿真程序：chap5_2.m品

二、利用MATLAB

工具求系统传递函数例5.3假设实验得到的频域特性，其中频率范围为W,

频率响应数值为H,求传递函数。仿真中，根据实验测定的W和H,

采用invfreqs(H,W,n,m)求传递函数，不妨分别取传递函数分子与分母的阶数为n=3,m=4,则得到辨识的传递

函数为

：品

二、利用MATLAB

工具求系统传递函数clear

all;close

all;w=logspace(-1,1)H=[0.9892-0.1073i0.9870-0.1176i0.9843-0.1289i0.9812-0.1412i0.9773-0.1545i0.9728-0.1691i0.9673-0.1848i0.9608-0.2017i0.9530-0.2200i0.9437-0.2396i

0.9328-0.2605i0.9198-0.2826i0.9047-0.3058i0.8869-0.3301i0.8662-0.3551i0.8424-0.3805i0.8150-0.4060i0.7840-0.4310i0.7491-0.4549i0.7103-0.4771i0.6677-0.4968i0.6216-0.5133i0.5725-0.5258i0.5210-0.5335i0.4680-0.5361i0.4144-0.5331i0.3613-0.5242i0.3099-0.5098i0.2613-0.4900i0.2164-0.4654i0.1762-0.4370i0.1413-0.4057i0.1121-0.3728i0.0886-0.3393i0.0706-0.3064i0.0577-0.2753i0.0489-0.2466i0.0