(完整版)苏教七年级下册期末解答题压轴数学测试题目A卷

（完整版）苏教七年级下册期末解答题压轴数学测试题目A卷一、解答题1．如图，直线，、是、上的两点，直线与、分别交于点、，点是直线上的一个动点（不与点、重合），连接、．（1）当点与点、在一直线上时，，，则_____．（2）若点与点、不在一直线上，试探索、、之间的关系，并证明你的结论．2．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度数；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度数；（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．3．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．4．解读基础：（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由；（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由：应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题（3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系；②如图4，．（4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数．5．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）仔细观察，在图2中有个以线段AC为边的“8字形”；（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数；（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．6．如图1，已知，是直线，外的一点，于点，交于点，满足．（1）求的度数；（2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为秒．①当射线平分时，求的度数；②当直线与直线相交所成的锐角是时，则________．7．已知：如图1直线、被直线所截，．（1）求证：；（2）如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，求的度数．8．如图1，将一副三角板与三角板摆放在一起；如图2，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）．（1）当________度时，；当________度时；（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数；（3）当，连接，利用图4探究的度数是否发生变化，并给出你的证明．9．（概念认识）如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．（问题解决）（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；（延伸推广）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）10．直线与直线垂直相交于O，点A在射线上运动，点B在射线上运动．（1）如图1，已知、分别是和角的平分线，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长至D，己知、的角平分线与的角平分线及其延长线相交于E、F．①求的度数．②在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数．【参考答案】一、解答题1．（1）120°；（2）∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．【分析】（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出解析：（1）120°；（2）∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．【分析】（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出=60°，计算∠PFD即可；（2）根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB上方时；③当点P在CD下方时，分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可．【详解】（1）当点与点、在一直线上时，作图如下，∵AB∥CD，∠FHP=60°，，∴=∠FHP=60°，∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，∴∠PFD=120°，故答案为：120°；（2）满足关系式为∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时，过点P作PQ∥AB，如下图，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，即∠EPF=∠AEP+∠CFP；②当点P在AB上方时，如下图所示，∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，∵AB∥CD，∴∠CFP=∠EQP，∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；③当点P在CD下方时，∵AB∥CD，∴∠AEP=∠EQF，∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，综上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为：∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，故答案为：∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨论问题．2．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠解析：（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，则可得∠E=（∠D+∠B），继而求得答案；（2）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．（3）由三角形内角和定理，可得，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E，∴∠E=（∠D+∠B），∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，∴∠AEC=×（50°+40°）=45°；（2）延长BC交AD于点F，∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－∠BCD=∠B+∠BAE－（∠B+∠BAD+∠D）=（∠B－∠D），∠ADC=α°，∠ABC=β°，即∠AEC=（3）的值不发生变化，理由如下：如图，记与交于，与交于，①，②，①－②得：AD平分∠BAC，【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．3．（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，解析：（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．【详解】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷（1＋3）＝18°，因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．故答案为：18°或36°．（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”证明：∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，∴∠OAB＝3∠ABO，∴△AOB为“梦想三角形”，∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，∴∠AOB＝3∠OAC，∴△AOC是“梦想三角形”．（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵AE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“梦想三角形”，∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，∴∠B＝36°或∠B＝．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．4．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）；.【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结解析：（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）；.【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）．理由如下：如图1，，，，；（2）．理由如下：在中，，在中，，，；（3）①，，、分别平分和，，．故答案为：．②连结．∵，．故答案为：；（4）由（1）知，，，，，，，，，，，；．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键．5．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.【分析】（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.【分析】（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入计算即可；（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=（2∠C+∠B）．（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．【详解】解：（1）在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”，故答案为3；（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），∵∠C=100°，∠B=96°∴∠P=（100°+96°）=98°；（3）∠P=（β+2α）；理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC，∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，∴∠P=（∠B+2∠C），∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=（β+2α）；（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为360°．6．（1）；（2）①；②．【分析】（1）根据，，可以得到，即，再根据三角形外角定理求解即可．（2）①射线平分时，可知此时，根据题意可以确定运动时间t=3s或t=9s，从而计算的度数即可；②用含t的解析：（1）；（2）①；②．【分析】（1）根据，，可以得到，即，再根据三角形外角定理求解即可．（2）①射线平分时，可知此时，根据题意可以确定运动时间t=3s或t=9s，从而计算的度数即可；②用含t的代数式表示出所成的角度，然后进行动态分析求解即可．【详解】解（1）∵，∴∴又∵∴（2）①∵射线平分∴∵射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动，∴运动的总时间∵射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转∴第一次，，第二次时，，第三次时，以此类推故当第一次，∴故第二次时，∴故第三次时，∴∵∴②如图所示直线与直线相交所成的锐角是∴∵，，∴∴又∵∴第一种情况，当时∴当时解得当解得第二种情况，当∴此时t无解，第三种情况当同理可以计算出，综上所述：【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键在于能够正确的分析动态过程．7．（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．【分析】（1）只需要证明即可证明；（2）作．由平行线的性质即可证明，同理可证明，由此再根据角平分线的定义和平角的性质可得；（3）设，．，则，想办解析：（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．【分析】（1）只需要证明即可证明；（2）作．由平行线的性质即可证明，同理可证明，由此再根据角平分线的定义和平角的性质可得；（3）设，．，则，想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，，，，．（2）结论：如图2中，．理由：作．，，，，，，，同理可证：，∵平分，平分，，，∵，，；（3）设，．，∵，∴，∵，∴，，，，平分，，，平分，，，，，，．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，（2）中能正确作出辅助线是解题关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题关键．8．（1）105，15；（2）旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；（3），保持不变；见解析【分析】（1）三角板ADE顺时针旋转后的三角板为，当时，，则可求得旋转角解析：（1）105，15；（2）旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；（3），保持不变；见解析【分析】（1）三角板ADE顺时针旋转后的三角板为，当时，，则可求得旋转角度；当∥BC时，，则可求得旋转角度；（2）分五种情况考虑：AD∥BC，DE∥AB，DE∥BC，DE∥AC，AE∥BC，即可分别求出旋转角；（3）设BD分别交、于点M、N，利用三角形的内外角的相等关系分别得出：及，由的内角和为180°，即可得出结论．【详解】（1）三角板ADE顺时针旋转后的三角板为，当时，如图，∵，∠EAD=45°∴即旋转角当时，如图，则∴=45°-30°=15°即旋转角°故答案为：105，15（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况当AD∥BC时，由（1）知旋转角为15°；如图（1），当DE∥AB时，旋转角为45°；当DE∥BC时，由AD⊥DE，则有AD⊥BC，此时由（1）知，旋转角为105°；如图（2），当DE∥AC时，则旋转角为135°；如图（3），当AE∥BC时，则旋转角为150°；所以旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°（3）当，，保持不变；理由如下：设BD分别交、于点M、N，如图在中，，，【点睛】本题考查了图形旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角与不相邻的两个内角的相等关系等知识，注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度．9．（1）95°或110°；（2）60°；（3）m°或m°或m°＋°或m°﹣18°【分析】（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的度数；（2）根据、分别是邻三分线和邻解析：（1）95°或110°；（2）60°；（3）m°或m°或m°＋°或m°﹣18°【分析】（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的度数；（2）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且可得，进而可求的度数；（3）根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．分四种情况画图：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据，，根据三角形外角性质，即可求出的度数．【详解】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，；当BD是“邻BC三分线”时，；（2）在△BPC中，∵，∴，又∵BP、CP分别是邻BC三分线和邻BC三分线，∴，∴，∴，在△ABC中，，∴．（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，∴；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∴；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∴；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，；综上所述：的度数为：或或或．【