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微分方程的基本概念第一节

第七章解:设所求曲线上任一点的坐标为（x，y）引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的①(C为任意常数)由②得C=因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程方程为y=y(x),1,引例2.列车在平直路上以的速度行驶,获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知利用后两式可得因此所求运动规律为即求s

=s(t).制动时

v

方程中含有未知函数的一阶导数方程中含有未知函数的二阶导数共性：两个引例得出的式子均含有

未知函数的导数微分方程(微分）特点：特点：一、微分方程的定义与分类

定义1：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。

例都是微分方程。例分类：

定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。一阶微分方程：高阶（n阶）微分方程：是一阶微分方程；是二阶微分方程。

一阶微分方程、高阶（n阶）微分方程

确切地说，对于给定的微分方程

定义3：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为微分方程的解。

如果函数

在区间I上有n阶连续导数，且满足微分方程

那么称函数

是微分方程在区间I上的解。

引例2引例1

微分方程的解二、微分方程的解的概念y=exy=sinx+cosx

特解的图象：微分方程的积分曲线。2.特解：确定了通解中任意常数以后的微分方程的解。

1.通解：包含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的微分方程的解。

微分方程的解分为：

通解的图象：微分方程的积分曲线族。引例2引例1

通解:特解:即：求过定点且在定点的切线

斜率为定值的积分曲线。即：求过定点的积分曲线；

初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。三、初值问题

一阶：

二阶：

初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。—

确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):定解条件初值问题的几何意义有n个的通解，并求满足初始条件的特解。

例3-4

验证函数是微分方程将和的表达式代入原方程，有：

故是原方程的通解。

故所求特解为

x引例2.求微分方程的通解.两端积分得即(C

为任意常数)引例1.解微分方程dy=3x2dxy=x3+C两端积分可分离变量的微分方程分离变量法隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解第二节可分离变量的微分方程求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两端积分,得3、求出通解

分离变量

两端积分

1.1.1.2.解根据题意,有对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:C=M0（2x,0）（0,2y）切线和x轴，y轴的交点内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;

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