2-1 导数的概念（定义几何意义）

2.1导数的概念

引例1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的关系t0时的瞬时速度v(t0).一、引例

这段时间内的平均速度质点走过的路程

若运动是匀速的,平均速度就等于质点在每个时刻的瞬时速度.若运动是非匀速的,它越近似的表明t0时运动的快慢.平均速度是这段时间内运动快慢的平均值,

越小,故可把t0时的速度定义为称之为t0时的瞬时速度v(t0).试确定

分析：tS(t)S(t0)t0S(t0+△t)t0+△t割线的极限位置——切线位置.引例2曲线在一点的切线问题处切线的斜率.已知曲线的方程确定点

如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,C在点M处的切线.割线的极限位置——切线位置.引例2曲线在一点的切线问题割线MN的斜率为切线MT的斜率为

引例1引例2实际意义各不相同，数学结构相同

定义函数与自称为函数y=f(x)关于x的平均变化率.函数平均变化率的极限增量比增量比的极限

二、导数的定义1.函数在一点处的导数定义设函数y=f(x)在点x0

的某个邻域内有定义,当自变量x

在x0

处取得增量

x(点x0+x

仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量

y=f(x0+x)–f(x0),如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0

处可导，并称这个极限为函数

y=f(x)在点x0

处的导数(值），记为f

(x0)，即也可记作或二、导数的定义1.函数在一点处的导数t0时的瞬时速度v(t0)=已知路程s与时间t的关系

处切线的斜率k=已知曲线的方程点

说明1：点x0导数是因变量在点x0处的变化率,说明2：因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(物理意义)(几何意义)例解：求函数在一点处的导数的基本方法：根据定义函数f(x)在点x=1处可导,说明3：函数f(x)在点x=…....处可导

如果函数y=f(x)在开区间I

内的每点处都可导，就称函数f(x)在开区间I

内可导.这时，对于任一x

I，都对应着f(x)的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数

y=f(x)的导函数，记作：或注意2.导函数简称导数。定义由定义求导数步骤:例1解：常数的导数等于0公式例2-3解：更一般地例如,幂函数求导，降幂

公式例4解和差化积公式：例4解即同理可得

公式例5解即

公式例6解即公式y是x的函数，x是y的函数，求x关于y的导数.u是t的函数，y=lnx

u=t3=3t2双重含义1、是一个整体，表示y是x的函数，x是自变量2、是两部分之比，求y关于x的导数

v是ω的函数，

求y关于x的导数.求u关于t的导数.求v关于ω的导数.

例7右导数

左导数求导数右导数3.单侧导数

左导数=如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，f-(b)都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.定理

函数f(x)在点x0

处可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等.且f+(a)及例解：已知求2-1:19切线方程为表示曲线y=f(x)上点

处切线的斜率。

三.导数的几何意义特别地:)(,0)()1(0xfyxf在点则曲线若==¢;轴的切线平行于Ox))(,(00xfx))(,(00xfxk=切线方程为法线方程为表示曲线y=f(x)上点

处切线的斜率。

三.导数的几何意义法线：过切点且垂直于切线的直线k=解:由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为.,)221(1x例8,方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线y=例9

解：

所以，所求切线的方程可设为：

因为切线通过点(0,-4),可得

回代，整理，可得所求切线方程：

该点必连续.定理如果函数则函数在四、可导与连续的关系在点x处可导,证即根据函数极限与无穷小的关系，可知所以,例10解函数f(x)在x=0点连续但是不可导该点必连续.定理如果函数则函数在四、可导与连续的关系在点x处可导,注：该定理的逆定理不一定成立.可导一定连续，但连续不一定可导，连续是可导的结论：条件。必要不充分函数在一点不连续，则一定不可导，连续但不可导函数举例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x函数图形上有角点

内容小结

一.导数的定义二.导数的几何意义

三.函数的可导性与连续性的关系增量比的极限切线的斜率可导一定连续，但连续不一定可导课后练习习题2-13,4,6--20

求导数最基本的方法:由定义求导数.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.例11解:函数f(x)在x=0点连续但是不可导定义公式的等价形式函数在一点处的导数说明3：定义函数与自速度是路程对时间的变化率平均速度是路程对时间的平均变化率称为函数y=f(x)关于x的平均变化率.

在数量关系上确有如下的共性:上述两例