高等数学+曲面、曲线的方程+教案

教案首页授课日期班级一、课题：______曲面、曲线的方程_______________二、课型：_______新授_____________________________三、教学目标：1.掌握坐标面方程以及与坐标面平行的平面方程2.掌握球面方程和柱面方程3.能根据两个曲面方程求空间曲线四、教学重点：坐标面方程，球面方程和柱面方程五、教学难点：坐标面方程，球面方程和柱面方程六、教学方法：_讲练结合_________________________七、教学用具：_三角板______八、授课时数：_2_____________________________________九、使用教材：高等数学（简明版）第六版主编盛祥耀高等教育出版社十、教学参考书：__________________________________________十一、教学过程：教案纸教学过程教学内容教学方法一、导入若点的坐标x，y和z之间无任何限制时，即当x，y和z可任意选取时，所得到的点充满整个空间；当点的坐标x，y和z之间满足某个关系时，在一般情况下，这些点构成一个曲面，该关系式就叫做曲面的方程；当点的坐标x，y和z之间同时满足两个关系式时，在一般情况下，这些点构成一条曲线，这两个联立关系式称为曲线的方程；当x，y和z之间满足三个关系式时，在一般情况下，确定了一个点..以上简略地讲了曲面、曲线的方程的含义，下面我们确切地来介绍.若曲面S上每一个点的坐标x，y和z都满足方程f(x，y，z)=0，并且，满足这个方程的任一组解x，y和z，它对应的点(x，y，z)都在这个曲面S上，则称方程f(x，y，z)=0为曲面S的方程，曲面S为方程的图形.下面，我们介绍一些常用的曲面的方程.二、新授1、坐标面的方程与坐标面平行的平面的方程以xy坐标面为例，在该平面上任取一点，它的z坐标为0，即z=0；反之，满足方程即z=0的任一组解所对应的点(x，y，0)在xy坐标面上，所以xy坐标面的方程为z=0.类似地可得：yz坐标面的方程为x=0；zx坐标面的方程为y=0.同样，方程z=a(a≠0)是过点(0，0，a)且平行于xy坐标面的平面的方程.读者可以写出与yz坐标面、zx坐标面平行的各平面的方程.2、球心在点P，(x。，yo，z。)、半径为R的球面的方程设点P(x，y，z)是球面上任一点.利用两点之间的距离公式，则x，y，z满足方程或①反之，满足方程①的点(x,y,z)必在球面上.所以①式是球心在点P0(x0,y0,z0)、半轻为R的球面的方程，①式称为球面的标准方程.当x0=y0=z0=0时，即球心在原点的球面的方程为.将①式展开得.所以，球面方程具有下列两个特点：(1)它是x，y，z之间的二次方程，且方程中缺xy，yz，zx项；(2)x，y.，z的系数相同且不为零，现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢?下面举例说明.例1问方程x2+y2+z2-2x+2y-z+3=0是否表示球面?解把方程左端配方，得，即4显然没有这样的实数x，y，z能使上式成立，因而原方程不代表任何图形.例2若方程x+y*+z*-4x+y=0是球面，请找出球心及半径.解配方，得所以，所给方程为球面，球心为(2.0)，半径为.3、柱面的方程设有一条曲线L及一条直线，过L上每一点作与平行的直线，这些直线所形成的面称为柱面，L称为柱面的准线，这些相互平行的直线称为柱面的母线.我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面.这种柱面的方程应该有什么特点呢(图1-15)?下面举例说明，问方程表示什么曲面(图1-16)?在xy坐标面上，方程表示圆心在原点，半径为R的圆.在空间直角坐板系中它表示什么曲面呢?方程缺z，这意味着不论空间中点的z坐标怎样，凡x坐标和y坐标满足这方程的点，都在方程所表示的曲面S上；反之，凡是点的x坐标和y坐标不满足这个方程的，不论z坐标怎样，这些点都不在曲面S上，即点(x，y，z)在曲面S上的充要条件是点P'(x，y，0)在圆上.而P(x，y，z)是在过点P'(x，y，0)且平行于z轴的直线上，这就是说方程表示：由通过xy坐标面上的圆上每一点且平行于z轴(即垂直于xy坐标面)的直线所组成，即方程表示柱面，该柱面称为圆柱面.一般地，如果方程中缺z，即f(x，y)=0，表示准线在xy坐标面上，母线平行于z轴的柱面.而方程g(y，z)=0，h(x，z)=0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面方程.例3作方程y=x°的图形.解因方程缺：，所以它表示母线平行于z轴，准线为xy坐标面上的抛物线的柱面.该柱面称为抛物柱面(图1-17).例4方程表示什么曲面?解因方程中缺x，所以它表示母线平行于x轴的柱面.它的准线是yz坐标面上的椭圆，所以叫椭圆柱面(图1-18).

4、空间曲线的方程空间曲线L可以看做是两个曲面的交线.设这两个曲面的方程为运动F(x，y，z)=0和则这两个曲面交线上的点P(x，y，z)同时满足这两个方程.所以空间曲线L的方程可表标面示为的联立方程.例5问表示什么曲线?解表示圆柱面，它的母线平行于z轴，而z=a表示平行于xy坐标面的平面，因而它们的交线是圆.所以表示圆.这个圆在z=a的平面上.例6问表示什么曲线?解因为表示球心在原点、半径为R的球面，而表