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文档简介

*

曲线的凹凸与拐点

A

B

C

D

弧ACB与弧ADB的凹向不同。a

b

*1.凹凸性的定义*若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方，则称曲线在这区间内是凹的；直观观察在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。

下方

凸的

*2.判定定理:证明对于（1），设且记并记则上面两式相减，得在上用拉格朗日中值定理，得对*3、判定函数曲线凹凸的步骤:（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求f”(x),找出使f”(x)=0和f”(x)不存在的点xi

；（3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线的凹凸。例1.解对在用拉格朗日中值定理，得由假设因此即*例2.解拐点：曲线由凸变凹（或由凹变凸）的分界点。（1）拐点是曲线上的点，应由两个坐标表示（x0,f(x0)）.（2）前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记为x=xi

两者不同。（3）作业中常见记法的错误：注意：*例3.解*例4.但当时，总有因此，（0，0）不是这曲线的拐点。即解*例5求曲线的拐点。解当时，当时，都不存在。所以，在不连续且不具有零点。但把分成两个部分区间：曲线在上是凹的。曲线在上是凸的。则点是曲线的拐点。下面的点可能对应着曲线的拐点：（1）（2）*例6设在的某邻域内具有三阶连续的导数，如果试问是否为极值点？为什么？又是否为拐点？为什么？解由于在的某邻域内具有三阶连续的导数，则不妨设由保号性定理，即在此区域内，单调增加。而因此因此，是拐点。

因此不是极值点。

习题3-79*第八节函数图形的描绘1.一般步骤:(1)(2)(3)(4)(5)(6)*（4）第四行曲线y=f(x)，用适当凹向的带箭头的曲线，表明函数在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头在右；2、关于函数形态表的说明（P202表格）（1）第一行x

，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的分界点；（3）第三行y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；以下表示不正确（2）第二行y’，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；*3、曲线的渐近线(1)、水平渐近线(2)、垂直渐近线CxyOxyO

x0*(3)、斜渐近线*解例1.4、应用举例：+0－的图形－－0+－－－+++0极大值拐点极小值*得到函数图形上三个点:辅助点:所以该曲线既无水平渐近线，也无铅直渐近线。*例2.解的图形0(0,1)1(1,+∞）0－－－－－0+极大拐点*得到曲线上的两个点:加辅助点（1）利用函数的奇偶性；（2）补充点（0，f(0)），（2，f(2)）；（3）有水平渐近线。注：的图形0(0,1)1(1,+∞）0－－－－－0+极大拐点*例3解的图形－－－－－－－－++00极大值拐点*得曲线上的点:辅助点:的图形－－－－－－－－++00极

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