公考资料：数量关系与资料分析 讲义

12数量关系懂痛点、扫盲区、教方法；让数量用时短、多得分!3第一章方法篇第一节直接代入法直接代入法【例1】有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414,则原来的两位数为()A.35【解析】多位数问题，直接代入法。代入A项，351-135=200多≠414;代入B项，431-143=200多≠414;代入C项，521-152=300多≠414。A、B、C项都不对，答案选择D。故正确答案为D。【例2】一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，【解析】数字相关问题。本题问该群学生的最少人数，从最小的开始代入，代入A项，23÷7=3……2,不满足7人一组还多4人，排除；代入B项，53÷3=14……2,53÷5=10……3,53÷7=7……4,满足题意。故正确答案为B。【例3】某食品厂速冻饺子的包装有大盒和小盒两种规格，现生产了11000只饺子，恰好装满100个大盒和200个小盒。若3个大盒与5个小盒装的饺子数量相等，则每个小盒与每个大盒装入的饺子数量分别是()A.24只、40只B.30只、50只4C.36只、60只D.27只、45只【答案】B【解析】选项罗列，用直接代入法。代入A选项，一共装了24×200+40×100=8800 (个)饺子，不符合题意，排除；代入B选项，一共装了30×200+50×100=11000 (个)饺子，且3个大盒装50×3=150(个)饺子与5个小盒装30×5=150(个)故正确答案为B。【例4】甲、乙两种商品的价格比是3:5。如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4:7。这两种商品原来的价格各为()A.450元、750元B.375元、625元C.300元、500元D.525元、875元【答案】A【解析】直接代入法。根据价格分别下降50元后价格比是4:7,可知甲商品的原价减去50后应为4的倍数，乙商品的原价减去50后应为7的倍数，排除B、C、D选故正确答案为A。LL基础方程奇偶性C.一般爱考尾数5、尾数0倍数法求未知数式子是多少(不求未知数具体是多少)若问全部未知数，赋值系数复杂的未知数为“0”求A都当做B谁简单算谁分别设两种东西的个数为x,y,列出方程组求解盈亏公式：份数=余量差/单位量之差盈亏问题设份数为x,列方程求解y为原有草量y=时间×(牛数-x)x为单位时间草生长的量列出方程后优先考虑：奇偶、尾数、倍数尾数法求某未知数是多少鸡兔同笼问题方程拓展不定方程牛吃草问题6【例1】某点心铺的糕点按每斤24元销售，周六店庆时按每斤20元销售。如果某单位为举办茶话会在周五、周六共买了33斤的糕点，且两次花的钱相等，那么该单位周五买了多少斤糕点?A.15B.17【答案】A【解析】方程法。设周五买了x斤糕点，由题意有24x=20×(33—x),解得故正确答案为A。问该年丙企业的利润为多少万元()A.14000B.7000C.700【答案】D【解析】基础方程。设甲企业利润为5X;乙企业利润为6X;丙企业利润为7X。由某年甲企业的利润比乙企业少200万元可知6X-5X=200。解出X=200。则丙为故正确答案为D。【例3】某月刊杂志，定价2.5元，劳资处一些人订全年，其余人订半年，共需510元，如果订全年的改订半年，订半年的改订全年，共需300元，劳资处共多少人()A.20B.19C.18【答案】C【解析】基础方程。设订全年为X人，订半年为Y人。订全年的价钱为2.5×12=30元，订半年的价钱为2.5×6=15元。则30X+15Y=510①;15X+30Y=300②。由①+②得：45X+45Y=810,则X+Y=18。故正确答案为C。7【例1】一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20,那么这两个质数的和是()A.8【解析】不定方程。设两个质数分别为X、Y。由和等于20,列式：3X+2Y=20。20为偶数、2Y也为偶，则3X为偶数，故X既是质数又是偶数，因此X只能为2。当X=2时，Y=7,两个质数和为X+Y=9。故正确答案为B。【例2】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是()A.12【答案】C【解析】不定方程。设购买甲、乙两种笔的数量分别为X支和Y支，可得7X+3Y=60。因为X、Y都为正整数，则X一定为3的倍数。在总费用一定的前提下，要使得购买的总数量最多，则应尽量购买较便宜的乙种笔，即Y要尽可能的大，当X最小取3时，此时Y最大值为13,所以这两种笔最多可买的支数是3+13=16支。故正确答案为C。【例3】小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总【解析】方程法。设命中10环、8环、5环的子弹数分别为正整数x、y、z。由子弹总数为10发，总环数为75环，可列不定方程故正确答案为B。8一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛， 41,y为负且不是整数，排除；代入C项，若x=5,代入7x+3y=41,【例5】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时(),①×2+②=8x+8y+8z=42,则10×(x+y+z)=9【例1】有鸭兔共12只，共有40只脚，则有兔()【答案】C【解析】鸡兔同笼。假设全是鸭，故正确答案为C。【例2】某人搬运2000只易碎物品，每只运费为3角。如果损坏一只不但不给运费，还要赔偿5角，结果共得560元，问他损坏了多少只()【解析】鸡兔同笼。故正确答案为D。【例3】林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给占其朋友总数30%的老年朋友。在分包装过程中发现，如果每包200克，则缺少500克，如果每包150克，则多余250克。那么,林先生的朋友共有多少人()A.15【答案】C【解析】盈亏问题。。又根据题目给出的林先生老年朋友数为林先生朋友的30%,即可知林先生朋友的人数故正确答案为C。【例4】某镇政府办公室集中采购一批打印纸，分发给各个职能部门。如果按每个部门4包分发，则多6包；如果按每个部门5包分发，则有1个部门只能分到3包。这批打印纸的数量是()【答案】A故正确答案为A。【例5】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可以在9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光。问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光(假定野果生长的速度【答案】C【解析】牛吃草问题。假设原有野果数量为Y,野果生长速度为X,则可列方程：,解得：,设33只猴子需要T周吃光，则有72=T(33-15),解得T=4周。故正确答案为C。【例6】假设一片牧场的青草都是“匀速”自然生长的，该牧场3月初放养有1000只羊，30天后青草的总量变为3月初的90%,此时牧场又一次性增加了300只羊，12天后青草的总量变为3月初的80%。如果要让青草在接下来4个月内(每月按30天计算)回到3月初的总量，则这4个月间该牧场至多放多少只羊()A.800C.700【答案】C【解析】牛吃草问题。假设牧场原有草量为Y,草的生长速度为X,根据题意“该牧场3月初放养有1000只羊，30天后青草的总量变为3月初的90%”可知：1000只羊在30天吃了原有草量的10%,则可列方程：10%Y=30(1000-X);由“此时牧场又一次性增加了300只羊，12天后青草的总量变为3月初的80%”可知：1300只羊在12天吃了原有草量的10%。则可列方程：10%Y=12(1300-X)。两方程联立：,解得：,现在要让青草在接下来4个月内回到3月初的总量，也就是说要让草的生长速度大于羊吃草得速度，多少只羊在120天吃了原有草量的-20%,可列方程：-20%×60000=120(N-800),解得：N=700故正确答案为C。最/至最/至……要想让某量最大(小),就让其他量最小(大)让某数最大(小),使其余数尽量小(大)一个“最”的情况两个“最”的情况1.一个“最”【例1】某企业招聘一批新员工，有65%的应聘者通过笔试，在面试环节有20人被淘汰，最终录取的人数占总应聘人数的40%,企业将录取的新员工分成若干个小组进行业务培训，每个小组的人数都不相同，每组至少2人，问至多可以分成多少个A.7【解析】构造法。共有占总数65%-40%=25%的人被淘汰，20人被淘汰，则总应聘人数人，,录取的人数为32人，要想分的组数多，就让每组人数尽量少，最少为2,依次写为2、3、4、5、6、7,此时分了6组共27人，剩余5人，不能再单独分出一组，则至多只能分6组。故正确答案为D。2.两个“最”【例1】某大型跨国连锁零售企业在世界8个城市共有76家超市，每个城市的超市数量都不相同。如果超市数量排名第四的城市有10家超市，那么超市数量排名最后的城市最多有几家超市()【答案】D【解析】构造法。设超市数量排名最后的城市X家超市。要使超市数量排名最后的城11+10+(X+3)+(X+2)+(X+1)+X,解得X=6,即最多有6家超故正确答案为D。【例2】某地10户贫困户共申请扶贫小额信贷25万元。已知每人申请金额都是1000元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2倍，且任意2户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷()A.1.81000+2x-2000+2x-3000+27000+2x-8000+x=250000,解得x≈15053,最少不得低于15053元，因此选【例3】从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨。已知54吨。问这6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨()【解析】构造法。设第三重的货车至少装载x吨，总吨数固定，要使x最少，则其他货车装载应尽可能多，即第二重的装载70吨，第四、五重的装载x-1、x-2吨，列方程：71+70+x+(x-1)+(x-2)+54=62×6,解得x=故正确答案为B。【例4】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为A.10【解析】构造法。若要行政部门人数最少，则其他部门人数尽量多。题目中没有提及数量各不相同，所以求平均数。行政部门比其他部门人数都多，所以余下的2人都要分给行政部门。即行政部门分得的毕业生人数至少为9+2=11名。故正确答案为B。【例5】某贸易公司有三个销售部门，全年分别销售某种重型机械38台、49台和35台，问该公司当年销售该重型机械数量最多的月份，至少卖出了多少台()A.10C.12【解析】构造法。该贸易公司三个销售部门全年共计售出38+49+35=122,要让销售数量最多的月份尽量少，则其余月份尽量多，没有说数量各不相同，尽量平均分，求平均余2,余2台可以分别给两个月份各分1台，让他们并列最多，为11台。故正确答案为B。题目已给工作时间为主将给定工作时间赋值给工作量，一般来说赋值给定工结合问题具体分析赋值效率为1或者按照效率比值进行赋值结合给定工作时间及工作效率，求出工作量结合问题具体分析比例计算型出题标志解题思路出题标志解题思路出题标志解题思路1.给定工作时间【例1】一批零件若交由赵师傅单独加工，需要10天完成；若交由孙师傅单独加工，需要15天完成。两位师傅一起加工这批零件，需要()天完成。A.5【解析】工程问题。工程问题中，只要给出两个时间，我们一般设总量为时间的最小公倍数。假设赵师傅和孙师傅干活的总量是30份，由“赵师傅单独加工需要10天完成”得到赵师傅每天完成3份，由“孙师傅单独加工需要15天完成”,得到孙师傅每天完成2份。所以赵师傅和孙师傅每天共完成5份，总量为30份，那么赵师傅和孙师傅合作共天。故正确答案为B。【例2】一个浴缸放满水需要30分钟，排光水需要50分钟。假如忘记关上出水口，将这个浴缸放满水需要多少分钟()A.65【解析】工程问题。放水问题属于工程问题，只要给出两个时间，我们一般设总量为时间的最小公倍数。假设总水量是150份，由题意加满水需要30分钟，排光水需要50分钟，则每分钟加水5份，每分钟排水3份，则忘记关上出水口时实际每分钟加水5-3=2份。那么放满水需天。故正确答案为B。【例3】手工制作一批元宵节花灯，甲、乙、丙三位师傅单独做，分别需要40小时、48小时、60小时完成。如果三位师傅共同制作4小时后，剩余任务由乙、丙一起完成，则乙在整个花灯制作过程中所投入的时间是()【解析】工程问题。赋值工作总量为三个时间(40、48、60)的最小公倍数240,丙一起完成，需要的时间为小时。故乙投入的总时间为故正确答案为A。2.给定工作效率【例1】甲工程队与乙工程队的效率之比为4:5,一项工程由甲工程队单独做6天，再由乙工程队单独做8天，最后由甲、乙两个工程队合作4天刚好完成，如果这项工程由甲工程队或乙工程队单独完成，则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数A.3【答案】C【解析】工程问题。题干给出效率比，按比值进行赋值，即赋值甲的效率为4,乙的效率为5,由甲工程队单独做6天，再由乙工程队单独做8天，最后由甲、乙两个工程队合作4天刚好完成，则总量为：4×6+5×8+(4+5)×4=100。甲单独完成需要：100/4=25天；乙单独完成需要：100/5=20天。则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多：25-20=5天。故正确答案为C。【例2】某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8天才能完成；绣品完成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么,完成该件绣品一共用了()A.10C.12【解析】工程问题。设每个绣工的效率为1,则工作总量为3×8=24。分段计算时间：第一次3名绣工完成所需时间为：(24×50%)/3=4(天);第二次2名绣工完成所需时间：(24×(75%—50%))/2=3(天);第三次1名绣工的工作所需时间：(24×(1-75%))/1=6(天)。共用时为4+3+6=13(天)。故正确答案为D。3.比例计算类【例1】一项工程，工作效率提高四分之一，完成这项工程的时间将由原来的十小时缩短到几小时()A.4【解析】工程问题。根据题意工作效率提高四分之一可知，时间与效率成故正确答案为B。【例2】某电商准备在“双十一”囤积一批货物，前10天囤积了后来改进了工作方式，效率比原来提高了25%,这样，完成全部任务比原计划提前的天数为()A.4【答案】A【解析】工程问题。根据题意效率比原来提高了25%,可工作总量一定，时间与效率成反比，,T=16天，所以提前20-16=4天完成。故正确答案为A。路程=速度×时间路程=速度×时间相遇路程=二者速度和×相遇时间相遇追及问题追及路程=二者速度差×追及时间顺流路程=顺流速度×顺流时间=(船速+水速)×顺流时间逆流路程=逆流速度×逆流时间=(船速-水速)×逆流时间水速=(顺流速度-逆流速度)/2=顺流速度-船速=船速-逆流速度流水行船问题单岸型双岸型【例1】甲乙两人绕着周长为600米的环形跑道跑步，他们从相同的起点同时同向起跑。已知甲的速度为每秒4米，乙的速度为每秒3米，则当甲第一次回到起点时，乙距离起点还有多少米()【解析】行程问题。甲第一次回到起点的时候所用的时间为600÷4=150秒，此时乙跑了150×3=450米。距起点还有600-450=150米。故正确答案为B。【例2】小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天平路骑行速度为9千米/小时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么小明的家距离学校多远()【解析】行程问题。小明从家到学校进行往返，上下坡距离相等，代入等距离平均速度求得千米/小时，由于平路速度也为9千米/小时，往返总时间是1小时，故往返总路程为9×1=9千米，则小明的家距离学校9÷2=4.5千米。故正确答案为B。2相对速度【例1】已知A、B两地相距600千米。甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇。若甲的速度是乙的1.5倍，则甲的速度是()A.80千米/小时B.90千米/小时C.100千米/小时D.120千米/小时【解析】相遇问题。设甲的速度为V,乙的速度为1.5V,根据S=(V甲+V乙)T,则600=3(1.5V+V),解得V=80km/h,V甲=1.5×80=120km/h。故正确答案为D。【例2】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为()【答案】C【解析】追及问题。根据题意乙出发追甲时二者相距20×1=20km,一小时后速度减为10km/h,所以乙追上甲的时间此时乙走的路程S为0.5×50=25km,距离八一村的距离S=60-25=35km。故正确答案为C。【例3】甲乙两人在相距1200米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为40米/分钟，乙为60米/分钟，狗为80米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100米时狗跑了多少米()A.1100C.960【解析】行程问题，用方程法解题。根据狗与两人同时出发可知狗与两人的运动时间相同。两人从相距1200米，相向运动至100米，共行走1200-100=1100(米),设两人运动时间为t分钟，根据相遇公式，1100=(40+60)×t,解得t=11。则狗总共跑的距离为11×80=880(米)。故正确答案为D。【例4】一只猎豹锁定了距离自己200米远的一只羚羊，以108千米/小时的速度发起进攻，2秒钟后，羚羊意识到危险，以72千米/小时的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多少路程()A.520米【答案】C【解析】追及问题。猎豹的速度为108km/h=30m/s,羚羊的速度为72km/h=20m/s。羚羊意识到危险逃跑时与猎豹的距离为：200-30×2=140m。则猎豹追上羚羊故正确答案为C。【例5】一只船沿河顺水而行的航速为30千米/小时，已知按同样的航速在该河上顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船在该河上顺水漂流半小时的航【答案】C【解析】流水行船问题。V顺=V船+V水，V道=V船-V水。根据“一只船沿河顺水而行的航速为30km/h”得V船+V水=30km/h,再根据“顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等”得：3【例6】A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站32公里处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64公里处相遇。甲、乙两站间相距多少公里()A.70C.80【答案】C【解析】单岸型相遇问题。根据单岸型相遇计算公式公里。故正确答案为C。【例7】两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，他们在距离较近的甲岸720米处相遇。达到预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问该河的宽度是多少()【答案】D【解析】双岸型相遇问题。根据双岸型相遇计算公式S=3S₁-S₂=3×720-400=1760米。故正确答案为D。第三节排列组合相关问题第三节排列组合相关问题明确基本概念、熟练基本题型、背诵常用数字明确基本概念、熟练基本题型、背诵常用数字加法原理乘法原理两个或多个元素交换位置后发生改变则与顺序有关，不发生改变则与顺序无关与顺序有关票的种类，照相(相对位置),依次，按顺序，不同的……不同……常见的考法与顺序无关票的价位数，握手，不考虑顺序，只有一个不同有n个元素进行排序，其中a个元素要求相邻。把要求相邻的元素看做一个整体，最后注意内部是否有顺序有n个元素进行排序，其中a个元素要求不相邻。先将无要求的安排好，再安排不相邻的元素插入空中排列：与顺序有关组合：与顺序无关排列与组合问一共有()住法。【答案】B【解析】排列组合问题。甲先选择一个房间有3种选择，乙再选择剩下两个房间中的1=6种住法。故正确答案为B。【例2】从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地每天有直达班车5班，从丙地到乙地每天有直达班车3班，则从甲地到乙地共有()不同的乘车法。【答案】B有4种方法，要么先从甲地到丙地，有5种方法，再从丙地到乙地，有3种方法。4+5×3=19种方法。故正确答案为B。多少种不同的选择方法()A.4B.24C.72【解析】排列组合问题。根据题意“若不考虑食物的挑选次序”提示用C,先挑选三种肉类中的一种肉类C¹=3,再挑选四种蔬菜中的二种不同蔬菜C²=6,再挑选四种点心中的一种点心C¹=4。“先……再……”用乘法。3×6×4=72。故正确答案为C。【例4】某小学组织6个年级的学生外出参观包括A科技馆在内的6个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择A科技馆的方案有()【答案】D【解析】排列组合问题。有且只有两个年级选择A科技馆，有种方案，剩下的4个年级，每个年级都有除了A科技馆以外的剩余5个科技馆可选，有5⁴=625种方案。故共有15×625=9375种方案。故正确答案为D。【例5】某交警大队的16名民警中，男性为10人，现要选4人进行夜间巡逻工作，要求男性民警不得少于2名，问有多少种选人方法()【答案】A第一种情况：选出4名男性，种选择方式；第二种情况：选出3男1女，种选择方式；第三种情况：选出2男2女，则有种选择方式。故有210+720+675=1605种选人方法。故正确答案为A。【例6】某单位要求职工参加20课时线上教育课程，其中政治理论10课时，专业技能10课时。可供选择的政治理论课共8门，每门2课时；可供选择的专业技能课共10门，其中2课时的有5门，1课时的有5门。问可选择的课程组合共有多少种 【答案】B【解析】排列组合问题。政治理论课10小时有种选法；专业技能课10小时：选择5门2课时课程、4门2课时和2门1课时课程、3门2课时和4门 用乘法，一共有56×101=5656种组合方式。故正确答案为B。【例7】某农科院准备挑选2男2女4名科技人员分别去市郊的甲乙丙丁4个乡参加科技支农工作，在报名的人员中有3男4女符合要求，在4名女性中有1位是农科院的副院长，考虑到工作的具体需要，这名副院长不去甲乡，且去丁乡的是女性。符合条件的选法有多少种()【答案】A【解析】排列组合问题。满足题意的情况可分为三类：(1)选出的人中有副院长，且副院长去了丁乡，则种；(2)选出的人中有副院长，且副院长未去丁乡，则种；(3)选出的人中没有副院长，则有种。故共有54+36+108=198种。故正确答案为A。2.1相邻问题有N个元素进行排序，其中A个元素要求相邻。【示例】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有()种排法。A.120B.72C.48【答案】C【解析】排列组合相邻问题。要求AB站在一起用捆绑法，先把AB捆绑在一起有A种情况，再把AB当成整体与CDE进行全排列有A种情况，“先……再……”用乘法，则共有种。故正确答案为C。【例1】某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5个主题，每个主题有2位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不同的发言次序()A.120B.240【答案】D【解析】排列组合问题。先把每个主题的2个人捆绑在一起，形成5个整体进行排列，有种排列方式，每个整体内部是2个人，有2种排列方式。故共有120×2⁵=3840种发言次序。故正确答案为D。2.2不相邻问题有N个元素进行排序，其中A个元素要求不相邻。【示例】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站在一起，共有()种排法。A.120B.72C.48【答案】B【解析】排列组合不相邻问题。用插空法，先把CDE进行全排列共有A3种排法。3个人排列形成4个空，再从中选择两个空让AB插进去，共有A2种排法。“先……再……”用乘法，共有2种。故正确答案为B。【例2】某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有()【答案】B【解析】排列组合问题，用插空法解题。观看视频和阅读文章不能连续进行，先把收藏分享、论坛交流和考试答题排列好，共有A³=6(种)方式，这三部分形成4个空，需在4个空中插入“观看视频”和“阅读文章”,(种)方式，那么共有6×12=72(种)学习顺序。故正确答案为B。第四节概率问题【例1】小王从编号分别为1、2、3、4、5的5本书中随机抽出3本，那么这3本书的编号恰好为相邻三个整数的概率为()【解析】概率问题。5本书中随机抽出3本，总情况数为C³=10种。相邻三个整数的情况数为：(1,2,3)、(2,3,4)、(3,4,5),共3种，故概率故正确答案为A。【例2】幼儿园老师设计了一个摸彩球游戏，在一个不透明的盒子里混放着红、黄两种颜色的小球，它们除了颜色不同，形状、大小均一致。已知随机摸取一个小球，摸到红球的概率为三分之一。如果从中先取出3红7黄共10个小球，再随机摸取一个小球，此时摸到红球的概率变为五分之二，那么原来盒中共有红球多少个? 【解析】概率问题。设原来盒中有x个红球，那么原来盒中的总球数为3x个。取出3个红球和7个黄球后，盒中还剩(x-3)个红球，总球数变为(3x—10)个，根据此时摸到红球的概率为,可列方程：解得x=5,即原来盒中有5个红球。故正确答案为A。【例3】一位乒乓球学员手中拿着装有7只乒乓球的不透明口袋，其中3只黄球，4只白球。他随机取出一只乒乓球，观察颜色后放回袋中，同时放入2只与取出的球同色的球。这样连续取2次，则他取出的两只球中第1次取出的是白球，第2次取出的是黄球的概率是()【解析】概率问题。第一次取出白球的概率为取出白球后再放入2个白球，共9只球；第二次取出黄球的概率则第1次取出白球，第2次取出黄球的概率故正确答案为B。【例4】某学校举行迎新篝火晚会，100名新生随机围坐在篝火四周。其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为()【解析】概率问题。100名新生随机围坐在篝火四周，有100个座位，先让小张选择任一个位置坐下，则小李只能从剩余的99个位置中选择坐下，与小张坐在一起的情况有两种，他只能选择坐在小张的左右两侧，因此所求概率故正确答案为C。【例5】某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率()A.高于20%B.正好为20%C.高于15%但低于20%D.不高于15%【解析】概率问题。根据题意，会议室有5排共40个座位，每排座位数相同，则每排有8人，则概率概率高于15%但低于20%。故正确答案为C。【例6】某次考试小明全对的概率为80%,小宁全对的概率为70%,那么这次考试只有一人全对的概率为多少()A.0.24B.0.38C.0.56【解析】概率问题中的分类分步型。根据题意可知小明做对小宁做错的概率是80%×30%=24%;小宁做对小明做错的概率是70%×20%=14%。故只一个人全对的概率为故正确答案为B。【例7】某单位的一个科室从10名职工中随机挑选2人去听报告，要求女职工人数不得少于1人。已知该科室女职工比男职工多2人，小张和小刘都是该科室的女性职工，则她们同时被选上的概率在以下哪个范围内()A.3%到5%之间B.小于2%【答案】C【解析】概率问题。由“10名职工”、“女职工比男职工多2人”可知该科室女职工为6人、男职工为4人。总情况数包含两种：①女职工1人、男职工1人，有C₆×C¹=24种；②女职工2人，有C=15种；共24+15=39种。,满足的情况数只有1种即小张和小刘同时被选上，则所求概率为1÷39≈2.6%。故正确答案为C。求只满足某个条件个数求只满足某个条件个数满足条件1+满足条件2+两者都不满足=两个条件集合的标准型核心公式满足条件1+满足条件2+满足条件3+三者都不满足=总数+不止满足一项(或至少满足两者)+三者都满足三个条件集合的标准型核心公式1.两集合容斥【例1】市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是()A.17B.22【解析】容斥原理。设两个频道均未看过的人数为X,根据公式：条件1+条件2+两者都不满足=总数+两者都满足，可列方程：108+36+X=150+23,解得X=29人。故正确答案为C。【例2】学校有300个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同时参加，如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少()都满足，得到：两者都满足为30%,则同时参加地理和生物兴趣小组的学故正确答案为C。2.三集合容斥【例1】某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是()【答案】D【解析】容斥原理。设只看过其中两部电影的人数为X,根据公式：条件1+条件2+条件3+三者都不满足=总数+只满足两者+2×三者都满足，可列方程：89+47+63+20=125+X+2×24,解得X=46。故正确答案为D。【例2】某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程可均选的有20人，问三门课均未选的有多少人()【答案】B人，根据公式：条件1+条件2+条件3+三者都不满足=总数+满足两者-三者都满足，可列方程：40+36+30+X=50+28+26+24-20,解得X=2人。故正确答案为B。了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色，20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几【解析】三集合容斥原理。设三种颜色都不喜欢的为x人，根据公式：条件1+条件2+条件3+三者都不满足=总数+至少满足两者+三者都满足。可列方程：20+故正确答案为D。【例4】联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是C.24【答案】B【解析】容斥原理。画图从里往外标数字，根据三样都吃的则有6人，所以中心是6,根据其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，说明冰激凌和蛋糕交叉从里往外第二层是6。根据既吃冰激凌又吃水果的有16人，说明冰激凌和水果交叉从里往外第二层是10。根据既吃蛋糕又吃水果的有18人，说明蛋糕和水果交叉从里往外第二层是10。所以只吃冰激凌有2人，只吃蛋糕6人，只吃水果10人，所以只吃一样的东西是18人。故正确答案为B。第六节几何问题模块长方形的周长=2(a+b)常用面积公式正方形的面积=a²圆的面积=πR²N边形，内角和=(N-2)×180°正方体的表面积=6a²球的表面积=4πR²圆柱的表面积=2πRh+2πR²圆锥表面积=πR²+πRL正方体的体积=a³球的体圆柱的体积=πR²h1.平面几何组成三角形的边长可能为：2厘米，2厘米，2厘米；4厘米，4厘米，4厘米；4厘米，4厘米，2厘米；所以组成三角形的周长为6厘米，12厘米，10厘米。【例2】阳光下，电线杆的影子投射在地面以及与地面成45度角的土坡上。其中，电线杆投影在土坡上的部分长√2米，投影在地面上的部分长12米，而此时同一位置站立的人在地面的影子长度恰好与身高相同，则电线杆的高度为()米。【解析】几何问题。如图所示，根据题意可得，因为此时同一位置站立的人在地面的影子长度恰好与身高相同，故AD=12m米；因为电线杆的影子投射在地面以及与地面成45度角的土坡上，EF=√2米，则在等腰直角三角AB=AC且AD=AE,则有AB=AC=AE+EC=12+2=14m,故电线杆的高度为14m。故正确答案为B。【例3】太阳高度角是太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。在正午时，太阳高度角为90°一|δ一ψ,ψ为纬度，δ为太阳赤纬。已知小陈的身高为180厘米，他所在地的纬度为43°,当日太阳赤纬为13°。那么,在正午时他的影子长度约为 【答案】C【解析】平面几何问题。由题意可知小陈所在地纬度为43°,太阳赤纬为13°,太阳高度角为90°-|δ一ψ|,可得此时太阳高度角为90°-|13°-43°|=60°,此时太阳入射方向与地面的夹角为60°,根据60°直角三角形三边关系可知，小陈身高：影子长度=√3:1即影子长度厘米故正确答案为C。=15厘米，且△ADE、四边形DEBF、△CDF的面积相等，则△EDF的面积是多少()A.28平方厘米B.30平方厘米C.32平方厘米D.33平方厘米【解析】平面几何问题。已知AD=12厘米，AB=8厘米，BC=15厘米，且△ADE、平方厘米，所以CF=9厘米，BF=6厘米；AE=36平方厘米，则AE=6厘米，BE=2厘米。所以故正确答案为B。【例5】某小区规划建设一块边长为10米的正方形绿地。如图所示，以绿地的2个顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同的区域。小区现准备在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为()平方米A.100-25πB.2C.200-50πD.100π-10【解析】几何问题。做一下割补平移，原图阴影部分面积与下图相同。则S阴=平方米。故正确答案为A。【例1】一个长方体零件的长、宽和高分别为x+4、x+2和x厘米，其所有棱长之和为168厘米，则该长方体零件的体积为多少立方厘米()A.1680【解析】几何问题。长方体的棱长总和=4×(长+宽+高),即168=4(x+4+x+2+x),解得厘米。则长方体的长宽高分别为16、14、12厘米，体积为长×宽×高=16×14×12=2688立方厘米。故正确答案为C。【例2】将棱长为1的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八面体的体积为()【例3】在屋内墙角处堆放稻谷(如图，谷堆为一个圆锥的四分之一),谷堆底部的弧长为6米，高为2米，经过一夜发现谷堆在重力作用下底部的弧长变为8米，若谷堆的谷量不变那么此时谷堆的高为()【解析】几何问题。圆锥体积公式为谷堆变化前后的弧长比为6:8=3:4,通过体积不变列式，则变化前后的底面积之比为通过体积不变列式，0故正确答案为A。【例4】一个不计厚度的圆柱型无盖透明塑料桶，桶高2.5分米，底面周长为24分米，AB为底面直径。在塑料桶内壁桶底的B处有一只蚊子，此时，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A处，则壁虎从外壁A处爬到内壁B处吃到蚊子所爬过的最短路径长约为()A【解析】几何问题。从外壁A到内壁B最短距离为从外壁A点沿着底面圆直径到外壁的B点，然后沿着外壁B点到达点C之后，最后从C点到达内壁B点，此时分米，BC=2.5分米，则从外壁A到内壁B最短距离为：AB+BC+CB=7.64+2.5+2.5=12.64分米。A故正确答案为C。3.几何性质【例1】面积相同的正三角形，圆形，正方形，正六边形中周长最长的是()A.正方形B.菱形C.正三角形D.圆形【解析】几何性质问题。平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小，圆的周故正确答案为C。【例2】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及A.四面体B.六面体C.正十二面体D.正二十面体【答案】D【解析】几何性质问题。立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大，球的故正确答案为D。【例3】用18厘米长的警戒线围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少()A.18平方厘米B.20平方厘米C.25平方厘米D.40平方厘米【答案】B【解析】几何性质问题。平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大，圆的面积最大。所以要想长方形的面积最大，只要长和宽边18厘米，且长和宽都是整厘米数，所以让长方形的长为5厘米，宽为4厘米，则此时长方形面积为4×5=20平方厘米。故正确答案为B。及弯月Z三部分的面积之比()A.4:5:16B【答案】A【解析】几何性质问题。设AB的长度为2,则X的半径为2,弯月Y所在中圆的半径为3,弯月Z所在大圆的半径为5,其面积之比等于半径之比的平方，即S大=2²:32:52,所以S:Sy:S₂=4:(9-4):(25-9)=4:5:16。故正确答案为A。【例5】某甜品店出售一种规则球形的甜品，该甜品由内部中空的球形面皮(每立方厘米成本0.4元),和实心的芝士球(每立方厘米成本1元)组成，无论甜品大小规格如何，其中的芝士球半径始终为甜品半径的四分之三。已知制作半径为1厘米的该甜品成本约为2.73元，那么要制作半径为2厘米的该甜品，成本约为()【解析】几何性质问题。根据题意制作半径为1厘米的该甜品成本约为2.73元，现在要制作半径为2厘米的该甜品，半径变为原来的2倍则体积变为原来的8倍，所以成本也变为原来的8倍，即成本=2.73×8=21.84元。故正确答案为D。第七节经济利润问题利润=售价-成本定价=成本×(1+期望的利润率)【例1】某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15万元/个；第二次开盘时，车位的销售量增加了一倍、销售额增加了60%。那么,第二次开盘的车位平均价格A.10万元/个B.11万元/个C.12万元/个D.13万元/个【答案】C【解析】经济利润问题。根据销售额=平均价格×销售量，第一次开盘平均价格为15万元/个，赋销售量为1,可得销售额为15万。第二次开盘时，销售量增加了一倍，即为2,销售额增加了60%,得第二次开盘时销售额为15×(1+60%)=24万元，故第二次开盘平均价格为24÷2=12万元/个。故正确答案为C。【例2】商店购入一批某种水果，如按定价销售，每千克盈利23元。销售总量的5/9后，每千克降价8元卖出剩余部分，销售这批水果共盈利2275元。问按原定售价卖出了()千克水果。A.60【答案】B【解析】经济利润问题。设总量为9x千克，则按原价卖了5x千克，降价卖了4x千克。根据题意可得23×5x+(23-8)×4x=2275,解得x=13。故按原定售价卖出了13×5=65千克。故正确答案为B。【例3】从A市到B市的机票如果打6折，包含接送机出租车交通费90元、机票税费60元在内的总乘机成本是机票打4折时总乘机成本的1.4倍。问从A市到B市的全价机票价格(不含税费)为多少元()A.1200C.1500D.【答案】C【解析】经济利润问题。设全票价格为X,根据题意列方程：解得故正确答案为C。【例4】如果将进货单价为60元的儿童旅游鞋按80元卖出，只能卖出600双。当每双鞋涨价5元时，其销售量就减少20双。为了获取最大的利润，售价应定为多少()A.85C.145【答案】C【解析】经济利润问题。设售价为X,根据题意列方程：20)。要令一元二次方程的值最大，令(X-60)=0,解得X₁=60;令故正确答案为C。第三章数字推理有明显特征负幂次有分数减法1、整体递减除法若失败，无明显特征1、找出”修正项":2、猜答案两两做商两两做差加方乘倍交叉分组2、整体递增3、做试探幂次特征第一节基础数列基础数列定义：由一个固定的常数构成的数列定义：相邻两项之差(后项减去前项)等于定值的数列定义：相邻两项之比(后项除以前项)等于定值的数列定义：与质数、合数相关的数列质数数列：2、3、5、7、11、13、……分类举例：合数数列：4、6、8、9、10、……非合数数列：1、2、3、5、7、11、……定义：举例：定义：举例：定义：自某定义：举例：定义：举例：定义：关于某一项对称(相同或相似)的数列前后项数字通过和、差、积、商、倍、方等基本运算形成某种特殊联系的数列和：1、1、2、3、5、8、13、……举例：差：15、11、4、7、-3、10、-13、……举例：积：3、-2、-6、12、-72、-864、定义：举例：各项依次呈现“一正一负一正一负……”或者“一大一小一定义：举例：振荡递推数列-1、1、-2、3、-5、8、-13、……对基础数列类型熟练是迅速求解数字推理题目的关键和基础。要求各位考生：对于基础数列类型，必须要有高度的敏感性与认知力!必须做到一眼能够认出来。做商数列做商数列二级数列：做一次差后发现规律的数列做差数列三级数列：做两次差后发现规律的数列做和数列做商数列：一般数列递增或递减，相邻数字之间有较明显的倍数关系一般数列递增或递减，且变化平缓，或者没有明显倍数关系，考察较多，需要进行尝试验证1.要么差值本身成某种明显规律；2.要么差值与原数列前后项有关系做和数列：一般由2或3个数字之和形成某种规律，考察较少做差后常见规律多级数列做差数列：特征类型A.48C.120【解析】多级数列。相邻两项间有明显的倍数关系，考虑做商。相邻两项做商为1,2,3,4,优先考虑新数列是公差为1的等差数列，则做商下一项为5。原数列所求项故正确答案为C。【例2】1,5,20,60,()A.80C.16【解析】多级数列。相邻两项间有明显倍数关系，考虑做商，如图所示：做一次商：优先考虑新数列是公差为-1的等差数列，则做商下一项应为2。因此，原数列所求故正确答案为D。【例3】1,5,9,(),17,21A.12B.13C.14【解析】多级数列。数列单调递增且无明显倍数关系，考虑做差。原数列前三项做差后所得数值为4,4。猜测为常数数列。因此，原数列所求项=9+4=13。代入原数列验证，原数列做差所得新数列为4,4,4,4,4,为常数数列，满足规律。故正确答案为B。A.15B.18C.17【解析】多级数列。数列单调递增且无明显倍数关系，考虑做差。原数列各项做差后所得数列为：1,3,5。优先考虑是公差为2的等差数列，则做差下一项应为7。因此，原数列所求项=11+7=18。故正确答案为B。【例5】90,85,81,78,()A.75C.76【答案】C【解析】多级数列。数列单调递减且无明显倍数关系，考虑做差。原数列各项做差后所得数列为：-5,-4,-3。优先考虑是公差为1的等差数列，则做差下一项应为-2。因此，原数列所求项=78+(-2)=76。故正确答案为C。【例6】243,217,206,197,171,()A.160【答案】A【解析】多级数列。数列单调递减且无明显倍数关系，考虑做差。原数列各项做差后所得的新数列为：-26,-11,-9,-26。猜测为周期数列。则做差下一项应为-11。因此，原数列所求项=171+(-11)=160。故正确答案为A。【例7】212,207,198,180,171,()A.160【答案】C【解析】多级数列。数列单调递减且无明显倍数关系，考虑做差。原数列各项做差后所得新数列为：-5,-9,-18,-9。新数列本身无明显规律。观察新数列与原数列发现，新数列做差后各项的绝对值等于原数列前一项的各位数字之和。得到规律为“第一项—第二项=第一项的各位数字之和”。结果如图所则新数列下一项应为-(1+7+1)=-9。因此，原数列所求项=171+(-9)=故正确答案为C。【例8】1,3,6,9,9,()C.9【解析】多级数列。数列递增且无明显倍数关系，考虑做差。的新数列为：2,3,3,0。新数列本身无明显规律，观察新数列与原数列发现，新数列各项乘3与原数列有关。结果如图所示：原数列：得到规律为(第二项—第一项)×3=第三项。因此，原数列所求项=0×3=0。A.√65B.优先考虑新数列是公差为6的等差数列，则做差下一项应为26。因此，原数列所求项=√45+26=√71。故正确答案为B。A.168B.166C.154【解析】多级数列。数列单调递增且无明显倍数关系差后所得的新数列为：10,16,24,34。新数列无明显规律，与原数列也无明显关再次做差后得到一组新数列为：6,8,10。优先考虑是公差为2的等差数列，则做差下一项应为12。因此，原数列所求项=108+(34+12)=154。做一次差：再次做差：故正确答案为C。C.188,11,6,(),但发现该数列无规律，那么考虑原数列求和，原数列每两项求和可得：121,100,81,64,(),发现该数列各项分别为：11²,10²,92,82, (),且括号中应为72。因此，原数列所求项=7²-29=20。原数列：做一次和：故正确答案为D。C.26【答案】A2,6,(),但发现该数列无规律，那么考虑原数列求和，原数列每两项求和可得：14,20,28,(),对该数列再次做差可得：6,8,(),尝试下一个数为10,则可得上一级数列中的括号处应填(38)。因此，原数列所求项=38-17=原数列：做一次和：做一次差：故正确答案为A。一般多重数列比较长(一般数字≥8个)一般多重数列比较长(一般数字≥8个)若只有奇数(偶数)项规律明显，那么偶数(奇数)项依赖于奇数(偶数)项的规律数列中各项由两部分(如整数部分和小数部分)组成时优先考虑机械分组多重数列分组数列交叉数列A.15,36C.25,15【答案】C【解析】数列较长且大小忽变，考虑多重数列。①奇数项为：40,35,30,(),20,差值为5,则括号中应为30-5=25;故正确答案为C。【例2】21,26,23,24,25,22,27,()A.28C.20【答案】C【解析】数列较长且大小忽变，考虑多重数列。①奇数项为：21,23,25,27;故正确答案为C。【答案】C【解析】数列较长且大小忽变，考虑多重数列。应为8,故原数列中应为13+8=21;应为8,故原数列中应为15+8=23。故正确答案为C。A.1【解析】数列较长且大小忽变，考虑多重数列。方法一：奇数项为：2,4,(),按此规律应填6。方法二：数列各项两两分组，[2,1]、[4,3],[(),5],组内做差且所得差值均为1。故正确答案为D。A.22B.2