2026届高三数学二轮复习：板块二　数列　提优点5　数列中的放缩问题

数列中的放缩问题【知识拓展】1.数列放缩是高考重点考查的内容之一,数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度,其核心技能是放缩技巧的应用.2.通项放缩常见结论(1)1n2>1n(n(2)1n2<1n2-n=1(3)1n2<1n2-1=(4)1n2=44n2(5)Tr+1=Cnr·1nr=n!r!(n-r)!·1n(6)1+1nn<1+1+11×2+(7)1n=2n+n<2n-1+n=2((8)1n=2n+n>2n+(9)1n=2n+222n-1+2n+1(10)2n(2n-1)2=2n(2n-1)(2(11)1n3=1=n+1-=1(n=1n-1<21n-1-1(12)1n3=2nn-1+(n-1)n=2(n-1)(13)12n-1==2n(n+1)=(14)12n-1<2n-1(2n【类型突破】类型一先求和再放缩证明不等式例1(2025·成都诊断)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=(n-1)·2n+1+2.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1an+1an2,证明:b1+b2+…+(1)解由题意可知,当n=1时,a1=2;当n≥2时,由a1+2a2+…+nan=(n-1)·2n+1+2得,a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-2)·2n+2,两式作差可得,nan=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n=n·2n,∴an=2n,a1=2也适合该式,故an=2n.(2)证明由题意知bn=1an+1an2故b1+b2+…+bn=121-12n1-12+141-14n1-由于n∈N*,则12n+1故43-12n即b1+b2+…+bn<43规律方法此类不等式一般另一端为常数,求和以后常利用去项放缩或利用函数的单调性放缩.训练1(2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求满足an>3n+52的(3)已知bn=16an+6n-20,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:-12(1)解由已知Sn+1+2=an+3n+Sn,则an+1=Sn+1-Sn=an+3n-2,即an+1-an=3n-2,则an-an-1=3n-5,an-1-an-2=3n-8,…,a2-a1=1,等式左右分别相加可得an-a1=(3n-5)+(3n-8)+…+1=(3n-5+1)(n则an=3n2-7n+42(2)解由(1)得an=3n且an>3n+52,即3化简可得(3n-1)(n-3)>0,又n∈N*,即n>3,所以满足an>3n+52的(3)证明依题意得bn=1=19n=13则Tn=1=13-1-13n-1又n∈N*,所以19n-3所以Tn=-13-19n即-12≤Tn<-1类型二先放缩通项再求和证明不等式例2设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=n2+n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=1an+an(3)求证:12a1+12a2+(1)解因为2Sn=n2+n,①当n≥2时,2Sn-1=(n-1)2+n-1,②所以①-②得到2an=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,即an=n,又a1=1,满足an=n,所以an=n.(2)解因为bn=1an+an+1=所以T99=b1+b2+…+b99=2-1+3-2+…+100-99=100-1=9.(3)证明因为12an=12n>1所以12a1+12a2+…+12a99=121+122+…+1299>2-即12a1+12a2+规律方法此类题型关键是如何放缩数列的通项,需要熟悉常见的放缩技巧及结论.训练2(2025·巴中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=2n(1)求证:12≤an(2)令bn=log211-an,求证:1b12+1b证明(1)an=2n-12n可知数列{an}单调递增,则an=1-12n则当n=1时,{an}取最小值为12故12≤an<1,得证(2)bn=log211-an当n≥3时,1bn2=1n2<11b12+1b22+…+1bn2<1+14+12-13+…+类型三通项放缩与求值例3已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an,Sn,an2(1)求数列{an}的通项公式;(2)若m为正整数,记集合anan2+2an≤m的元素个数为bm,求数列解(1)由已知得2Sn=an+an当n=1时,有a1=1,当n≥2时,有2Sn-1=an-1+an∴2an=an2-an-12+an-(an-an-1)(an+an-1)=an+an-1,an+an-1>0,∴an-an-1=1,∴数列{an}为等差数列,∴an=n.(2)由an2+2an≤m,得m-m2-4≤a令m=1,m=2,显然b1=0,b2=1.当m≥3时,令m-m2-4≤得(m-1)2<m2-4,得m>52易证2m-1<m+m2-4<2∴1≤an≤2m-1,bm=2m-1,从而{bn}的前50项和T50=0+1+(5+7+…+99)=1+48×1042规律方法1.通项放缩确定新数列注意解相关不等式;2.先放缩再求和式及和式的应用,应注意考虑所得式子的性质.训练3已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积,且a1=3,Tn2=(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an-1an+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求[S2026]([x解(1)当n≥2时,Tn2=ann+1相除得an2=ann+1an1n=an-1∴数列{an1n}是常数列,a∴an1n=3,an(2)bn=3n-13n+1=1-∴Sn=1-231+1+1-232+1+…+而Sn>n-231+232+…+23n=n∴2025<S2026<2026,故[S2026]=2025.【精准强化练】1.(2025·重庆部分学校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=2n+1.(1)证明:数列an2n-23为等比数列,并求数列(2)设Tn=1a1+1a2+…+1an,证明:Tn<74证明(1)由an+an+1=2n+1,得an+12n+1+因为an+12n+1-a121-23所以数列an2n-公比为-12的等比数列因此,an2n-23=-所以an=2n(2)由已知得a1=1,a2=3,a3=5,…,显然Tn单调递增,T1<T2=1a1+1a2=当n>2且n是奇数时,1an-1+=3×2n+2=312所以Tn=1a1+1a2<1+3×1=1+3×14-12n+1=当n>2且n是偶数时,n+1是奇数,有Tn<Tn+1<74所以对任意n∈N*,Tn=1a1+1a2+…+2.(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1=1,a2n+1=a2n+1,a2n=2a2n-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn=1a1+1a2+…+1an,(1)解将a2n=2a2n-1代入a2n+1=a2n+1中,得a2n+1=2a2n-1+1.下面构造等比数列:令a2n+1-k=2(a2n-1-k),得a2n+1=2a2n-1-k,则-k=1,则k=-1,∴a2n+1+1=2(a2n-1+1),故数列{a2n-1+1}是首项为2,公比为2的等比数列,∴a2n-1+1=2·2n-1,∴a2n-1=2n-1,a