函数的概念第二课时

汇报人:XXXX2025年11月22日函数的概念第二课时优秀PPTCONTENTS目录01

知识回顾：函数的核心概念02

区间的概念及表示方法03

函数定义域的求解方法04

函数值的计算与表示CONTENTS目录05

同一函数的判定条件06

函数值域的常用求法07

综合应用与拓展提升08

课堂小结与作业布置知识回顾：函数的核心概念01函数的定义与三要素

函数的集合定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A。

定义域：自变量的取值范围定义域是指能使函数解析式有意义的实数x的集合，是研究函数的前提。常见限制条件包括：分式分母不为0、偶次根式被开方数非负、0次幂底数不为0等。

对应关系：变量间的映射规则对应关系f是函数的核心，它表示从自变量x到函数值y的确定映射。不同函数中f的具体含义不同，允许一对一或多对一的对应，但不允许一对多。

值域：函数值的集合值域是函数值的集合{f(x)|x∈A}，由定义域和对应关系共同决定。对于相同的定义域和对应关系，函数的值域必然相同。初中与高中函数概念的对比

初中函数概念核心初中阶段主要关注变量之间的依赖关系，强调“两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，侧重直观描述和实际背景下的应用。

高中函数概念核心高中阶段以集合与对应为基础，定义为“设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数”，突出定义域、对应关系和值域三要素。

概念发展的关键点从“变量说”提升到“对应说”，明确数集限定（A、B为非空实数集），强调对应关系的确定性和唯一性（允许一对一或多对一，不允许一对多），为后续学习抽象函数、复合函数等奠定理论基础。函数符号f(x)的深层含义

符号f(x)的本质理解f(x)表示变量x在对应关系f作用下的函数值，是"y是x的函数"的数学符号表示，不可理解为f与x的乘积。

f(x)与f(a)的区别联系f(x)是表示函数关系的变量，而f(a)是当自变量x=a时的函数值，是一个确定的数，如f(x)=x+3中f(-3)=0。

多函数表示的符号规范同时研究多个函数时，常用不同符号区分，如f(x)、g(x)、F(x)等，其核心区别在于对应关系和定义域的不同。

与传统y表示法的对比优势相较于y=x+3的表示，f(x)=x+3能更简洁地表达函数值，如x=-3的函数值可直接写作f(-3)，无需额外描述。区间的概念及表示方法02区间的定义与分类01区间的基本定义设a，b是两个实数，且a<b，区间是表示介于a与b之间的实数集合的符号表示，是特殊数集的简化形式。02闭区间与开区间满足a≤x≤b的实数x的集合叫闭区间，表示为[a,b]，数轴上用实心点表示端点；满足a<x<b的实数x的集合叫开区间，表示为(a,b)，数轴上用空心点表示端点。03半开半闭区间满足a≤x<b的实数x的集合表示为[a,b)，满足a<x≤b的实数x的集合表示为(a,b]，两者均为半开半闭区间，数轴上分别用“左实右空”和“左空右实”的点表示端点。04无限区间满足x≥a的实数x的集合表示为[a,+∞)，x>a表示为(a,+∞)，x≤b表示为(-∞,b]，x<b表示为(-∞,b)，其中“+∞”和“-∞”分别表示正无穷和负无穷。有限区间的表示方法

闭区间的定义与表示设a，b是两个实数，且a<b，满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]，数轴上用实心点表示端点a和b。

开区间的定义与表示满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)，数轴上用空心点表示端点a和b。

半开半闭区间的定义与表示满足不等式a≤x<b的实数x的集合表示为[a，b)，满足不等式a<x≤b的实数x的集合表示为(a，b]，数轴上分别用实心点和空心点表示不同端点。

区间端点的基本要求区间的左端点a必须小于右端点b，区间符号内两个字母（或数）之间用“，”隔开，区间实质上是一类特殊数集的符号表示。无限区间与数轴表示右无限区间满足不等式x≥a的实数x的集合叫做右闭无限区间，表示为[a，+∞)；满足不等式x>a的实数x的集合叫做右开无限区间，表示为(a，+∞)。左无限区间满足不等式x≤b的实数x的集合叫做左闭无限区间，表示为(-∞，b]；满足不等式x<b的实数x的集合叫做左开无限区间，表示为(-∞，b)。全实数集区间全体实数的集合R可表示为(-∞，+∞)，在数轴上对应整个数轴，没有端点限制。数轴表示规则数轴表示无限区间时，包含端点用实心点，不包含端点用空心点，区间延伸方向用箭头表示无限性。区间表示的注意事项

区间与集合的关系区间实质上是一类特殊数集的符号表示，并非所有集合都能用区间表示，如{1,2,3}不能用区间表示。

端点关系与区间长度区间左端点值a必须小于右端点值b，b－a称为区间长度；单元素集合仍用集合表示，如{a}。

端点包含性的表示区间符号中，闭区间用"[]"包含端点（如实心点），开区间用"()"不包含端点（如空心圈），如(1,2)与[1,2)是不同区间。

符号规范与连接方式区间符号内两字母用","隔开；断开的区间用集合中的"∪"连接，例如{x|0<x<3或4≤x≤10}表示为(0,3)∪[4,10]。函数定义域的求解方法03定义域的基本求解原则

分式型函数定义域分式中分母不能为0，例如函数f(x)=1/(x+2)的定义域需满足x+2≠0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)。

偶次根式型函数定义域偶次方根中被开方数非负，例如函数f(x)=√(x+3)的定义域需满足x+3≥0，即x∈[-3,+∞)。

复合型函数定义域由多个部分构成的函数，定义域为各部分有意义的交集，例如f(x)=√(x+3)+1/(x+2)的定义域为[-3,-2)∪(-2,+∞)。

0次幂型函数定义域0次幂式中底数不能为0，例如函数f(x)=x⁰的定义域为x∈(-∞,0)∪(0,+∞)。分式型函数定义域求解分式有意义的核心条件

分式型函数中，分母不能为零，即对于函数f(x)=g(x)/h(x)，需满足h(x)≠0，这是确定定义域的首要条件。求解步骤与示例

以函数f(x)=1/(x+2)为例，定义域需满足x+2≠0，解得x≠-2，用区间表示为(-∞,-2)∪(-2,+∞)。多限制条件的综合处理

若函数同时含分式与根式，如f(x)=√(x+3)/(x+2)，需联立根式条件x+3≥0和分式条件x+2≠0，解得x≥-3且x≠-2，定义域为[-3,-2)∪(-2,+∞)。根式型函数定义域求解偶次根式的定义域要求对于形如\(y=\sqrt{f(x)}\)的偶次根式函数，定义域需满足被开方数非负，即\(f(x)\geq0\)。例如\(\sqrt{x+3}\)的定义域为\(x\geq-3\)。奇次根式的定义域特点奇次根式函数如\(y=\sqrt[3]{x}\)，被开方数可为任意实数，定义域为\(\mathbf{R}\)，无需额外限制条件。含多个根式的定义域求解若函数含多个根式（如同时含偶次和奇次根式），定义域为各根式有意义的交集。例如\(f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x-1}\)的定义域由\(x+3\geq0\)确定，即\(x\geq-3\)。典型例题解析求函数\(f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x+2}\)的定义域：需同时满足\(x+3\geq0\)（根式）和\(x+2\neq0\)（分式），解得\(x\geq-3\)且\(x\neq-2\)，定义域为\([-3,-2)\cup(-2,+\infty)\)。复合型函数定义域例题解析已知f(x)定义域求f(g(x))定义域例：已知函数f(x)的定义域为[-1,3]，求函数f(2x-1)的定义域。解：由-1≤2x-1≤3，解得0≤x≤2，故定义域为[0,2]。已知f(g(x))定义域求f(x)定义域例：若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，则f(x)的定义域为x+1的取值范围，即[-1,4]。定义域求解的核心原则复合函数f(g(x))中，内层函数g(x)的值域须是外层函数f(x)的定义域。求解时需通过不等式等价转化确定自变量范围。函数值的计算与表示04函数值f(a)的含义与计算

01f(a)的核心含义f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的函数值，是一个确定的数；f(x)是变量，f(a)是f(x)的特殊值，两者不可混淆。

02函数值计算的基本步骤1.确认a在函数定义域内；2.将x=a代入函数解析式；3.按运算规则计算结果。例如f(x)=x+3+1/(x+2)，求f(-3)需先验证-3在定义域内，再代入得-3+3+1/(-3+2)=-1。

03含参数的函数值计算当a>0时，求f(a)需先判断a是否使解析式有意义，再代入计算。如f(x)=x+3+1/(x+2)，f(a)=a+3+1/(a+2)（a>0且a≠-2，因a>0故直接成立）。

04f(a)与f(x)的区别联系区别：f(x)是函数整体表示，f(a)是特定值；联系：f(a)是f(x)在x=a处的取值。例如f(x)=3x³+2x，则f(a)=3a³+2a，f(-a)=-3a³-2a，且f(a)+f(-a)=0。抽象函数值求解方法

代入法：直接替换自变量已知函数解析式时，将自变量具体值代入表达式计算。例如：若f(x)=2x+3，求f(5)，则f(5)=2×5+3=13。

整体代换法：复合函数求值将复合函数内层表达式视为整体代入外层函数。例如：已知f(x+1)=x²-2x，令t=x+1，则x=t-1，f(t)=(t-1)²-2(t-1)=t²-4t+3，即f(x)=x²-4x+3。

赋值法：利用函数性质求特殊值通过赋予自变量特定值（如0、1、相反数等）推导函数值。例如：若f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2，求f(3)，则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=4，f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=6。

方程法：建立等式求解未知值根据函数关系列方程求解。例如：已知2f(x)+f(-x)=3x，用-x替换x得2f(-x)+f(x)=-3x，联立解得f(x)=3x。含参数的函数值计算参数函数值计算的基本步骤已知函数解析式y=f(x)及参数a，将x=a代入解析式，按运算规则计算得到f(a)。需先确认a在函数定义域内，保证运算有意义。含参数函数值计算示例设f(x)=x+3+1/(x+2)，当a>0时，f(a)=a+3+1/(a+2)，f(a-1)=(a-1)+3+1/((a-1)+2)=a+2+1/(a+1)，因a>0使分母非零，表达式有效。参数取值对函数值的影响参数取值需满足函数定义域要求，如f(x)=1/x，当参数a=0时函数值无意义；当a=2时，f(2)=1/2。参数符号、范围可能改变函数值正负或表达式形式。复合参数的函数值计算若f(x)=3x³+2x，求f(a)+f(-a)，代入得3a³+2a+[3(-a)³+2(-a)]=0，体现奇函数f(-x)=-f(x)的性质，参数的相反数关系导致函数值互为相反数。同一函数的判定条件05定义域与对应关系的一致性定义域相同是函数一致的前提两个函数若为同一函数，其自变量的取值范围必须完全相同。例如函数f(x)=x与g(x)=√(x²)，虽对应关系形式相似，但f(x)定义域为全体实数，g(x)化简后为|x|，定义域也为全体实数，但对应关系不同，故不是同一函数。对应关系完全一致的判定标准对于定义域内的任意自变量x，两个函数的函数值必须相等。如f(x)=x²-2x-1与g(t)=t²-2t-1，尽管自变量所用字母不同，但定义域均为R，且对任意实数输入，函数值计算结果相同，因此是同一函数。实例分析：定义域与对应关系的影响函数h(x)=x⁰与φ(x)=1，h(x)定义域为{x|x≠0}，φ(x)定义域为R，因定义域不同，不是同一函数；而f(x)=√(x²)与g(x)=|x|，定义域均为R，对应关系一致（均为取绝对值），则是同一函数。易混淆函数对比分析定义域不同的函数对比函数\(y=(\sqrt{x})^2\)与\(y=x\)，前者定义域为\([0,+\infty)\)，后者为\(\mathbb{R}\)，因定义域不同不是同一函数。对应关系不同的函数对比函数\(y=\sqrt{x^2}\)与\(y=x\)，前者对应关系为\(y=|x|\)，后者为\(y=x\)，对应关系不同不是同一函数。字母表示差异的函数对比函数\(f(x)=x^2-2x+1\)与\(g(t)=t^2-2t+1\)，虽自变量字母不同，但定义域均为\(\mathbb{R}\)且对应关系相同，是同一函数。实际背景差异的函数对比炮弹飞行高度函数\(h=130t-5t^2\)（定义域\([0,26]\)）与二次函数\(y=130x-5x^2\)（定义域\(\mathbb{R}\)），因实际背景导致定义域不同不是同一函数。同一函数判定例题精讲典型例题1：基础概念辨析判断函数y=(√x)²与y=x是否为同一函数。解：前者定义域为{x|x≥0}，后者为R，定义域不同，故不是同一函数。典型例题2：对应关系验证判断函数f(x)=x与g(x)=³√x³是否为同一函数。解：定义域均为R，且g(x)=x，对应关系相同，故是同一函数。典型例题3：综合要素判断判断函数f(x)=x²-1与g(t)=t²-1是否为同一函数。解：定义域均为R，对应关系相同，与变量符号无关，故是同一函数。解题步骤总结1.求定义域，若不同直接排除；2.化简解析式，比较对应关系；3.两要素均相同则为同一函数。注意等价变形与符号无关性。函数值域的常用求法06观察法与配方法求值域

观察法求值域的适用场景适用于解析式简单的函数，通过直接观察自变量取值范围及对应关系确定函数值范围，如一次函数、简单根式函数等.

观察法应用示例对于函数y＝√x＋1，因√x≥0，可得y≥1，故值域为[1,＋∞)；对于函数y＝x²(x∈{1,2,3})，直接计算得值域{1,4,9}.

配方法求值域的核心步骤将二次函数解析式通过配方转化为y＝a(x-h)²＋k的形式，结合定义域及二次函数图象开口方向确定最值，进而得到值域.

配方法应用示例求函数y＝x²-4x＋6(x∈[1,5])的值域，配方得y＝(x-2)²＋2，x∈[1,5]时，当x=2时y最小为2，x=5时y最大为11，故值域[2,11].分离常数法在值域中的应用

分离常数法的定义分离常数法是通过恒等变形将有理分式函数转化为"常数+反比例函数"形式的方法，常用于求形如y=(ax+b)/(cx+d)(c≠0)的函数值域。

核心步骤与示例以y=(2x+1)/(x-1)为例：1.分子变形为2(x-1)+3；2.拆分得y=2+3/(x-1)；3.由3/(x-1)≠0得值域为{y|y≠2}。关键是将分子表示为分母的倍数加常数项。

适用类型与常见误区适用于分子分母均为一次多项式的分式函数。注意变形过程需保持等价性，避免因分母为零扩大定义域；结果需用集合或区间表示，如y=5/(2x²+4x+3)的值域为(0,5]。二次函数值域的分类讨论

开口方向与定义域范围二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的值域受开口方向(a的符号)和定义域区间共同影响，需分情况讨论。

定义域为R时的值域当a>0时，值域为[(4ac-b²)/4a,+∞)；当a<0时，值域为(-∞,(4ac-b²)/4a]。

定义域为闭区间时的值域先求对称轴x=-b/(2a)，判断对称轴是否在区间内：若在区间内，最值在顶点和端点处取；若不在，最值在区间端点处取。

含参数定义域的值域对参数进行分类讨论，确定不同参数取值下函数的单调性，进而求出对应的值域范围，注意参数边界值的验证。综合应用与拓展提升07定义域与值域的综合问题

定义域对值域的影响函数的定义域是研究值域的前提，不同定义域可能导致相同对应关系下的值域差异。例如函数y=x²，当定义域为[0,2]时值域为[0,4]，当定义域为[-1,1]时值域为[0,1]。已知定义域求值域的方法对于给定定义域的函数，可通过配方法、单调性法、分离常数法等求值域。如二次函数y=x²-4x+6，x∈[1,5]，配方得y=(x-2)²+2，结合定义域可得值域为[2,11]。已知值域求定义域的逆向问题若函数y=2x+1的值域为[3,7]，则由3≤2x+1≤7，解得1≤x≤3，即定义域为[1,3]。此类问题需根据函数单调性或图象特征建立不等式求解。实际问题中定义域与值域的限制在应用问题中，定义域需考虑自变量实际意义，如炮弹飞行高度函数h=130t-5t²，定义域为t∈[0,26]（时间非负且高度非负），对应值域为[0,845]。实际问题中的函数三要素

01定义域：结合实际意义的取值范围在炮弹飞行高度h与时间t的关系h=130t-5t²中，定义域需满足实际物理意义，即t≥0且h≥0，解得t∈[0,26]，而非单纯数学解析式的全体实数R。

02对应关系：问题本质的数学表达人口统计中“年份-人口数”的对应通过表格形式呈现，每个年份唯一对