人教版四年级数学上册：积的变化规律

汇报人:xxxx2025年11月06日人教版四年级数学上册：积的变化规律CONTENTS目录01

复习导入：乘法的秘密02

探索规律一：因数乘几的情况03

探索规律二：因数除以几的情况04

积的变化规律综合总结CONTENTS目录05

巩固练习：基础应用06

提升练习：实际问题解决07

课堂总结与拓展复习导入：乘法的秘密01乘法算式的组成部分乘法算式的基本要素乘法算式由两个因数和一个积组成，例如在算式6×2=12中，6和2是因数，12是积。因数的定义与作用因数是指乘法运算中相乘的两个数，它们表示相同加数的个数或相同的加数，如20×4=80中，20和4都是因数，分别代表不同的数量含义。积的含义与计算结果积是两个因数相乘的结果，它表示几个相同加数的和，例如8×50=400，400就是8与50相乘得到的积。旧知回顾：简单乘法计算乘法算式基本结构在乘法算式中，相乘的两个数称为因数，结果称为积，例如：6×2=12中，6和2是因数，12是积。一位数乘法口算练习计算下列算式：8×3=24，20×4=80，12×5=60，通过基础口算巩固乘法运算能力，为探索规律奠定基础。两位数乘一位数笔算复习以23×3为例，复习笔算步骤：先算3×3=9，再算3×20=60，最后9+60=69，强调相同数位对齐与进位规则。乘法意义回顾乘法是求几个相同加数和的简便运算，如4×5表示5个4相加或4个5相加，理解意义有助于分析因数与积的关系。情境导入：因数变化的猜想生活实例引发思考

每包大米6元，买2包需6×2=12元，买20包需6×20=120元，买200包需6×200=1200元。观察算式，因数与积的变化有规律吗？算式对比提出猜想

第一组：6×2=12，6×20=120，6×200=1200。第二个因数从2→20→200依次乘10，积从12→120→1200也乘10。逆向思维深化猜想

第二组：80×4=320，40×4=160，20×4=80。第一个因数从80→40→20依次除以2，积从320→160→80也除以2。规律假设引导探究

猜想：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积是否也乘或除以相同的数？探索规律一：因数乘几的情况02例题分析：6×2=12的变化

基础算式回顾计算6×2=12，其中6和2是因数，12是积。

因数乘10的变化当第二个因数2乘10变为20时，算式变为6×20=120，积12也乘10变为120。

因数乘100的变化当第二个因数2乘100变为200时，算式变为6×200=1200，积12也乘100变为1200。

规律总结两数相乘，一个因数不变（如6），另一个因数乘几（如10、100），积也乘相同的数。小组活动：观察因数与积的关系

01活动要求：分组观察算式组每组观察两组算式：第一组6×2=12、6×20=120、6×200=1200；第二组80×4=320、40×4=160、20×4=80，记录因数与积的变化特点。

02讨论问题1：不变因数与变化因数分析每组中哪个因数保持不变，另一个因数如何变化（乘或除以几），积相应发生什么变化，用箭头符号（如×10、÷2）标注变化过程。

03讨论问题2：规律的初步归纳尝试用简洁语言描述发现，例如："一个因数不变，另一个因数乘10，积也乘10"；"一个因数不变，另一个因数除以2，积也除以2"。

04活动提示：举例验证规律每组自主编写1组算式（如3×5=15，3×10=30，3×15=45），验证发现的规律是否成立，准备小组汇报。规律总结：一个因数不变，另一个因数乘几01核心规律表述两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘相同的数。（0除外）02算式观察验证以6×2=12为基础，6×20=120（因数2×10，积12×10）；6×200=1200（因数2×100，积12×100）。03关键词解析"不变"指其中一个因数保持恒定；"乘几"表示另一个因数扩大的倍数；"积也乘几"强调积的变化与因数变化倍数一致。04反向思维验证若积乘100（如12→1200），一个因数6不变，则另一个因数2需乘100变为200，符合规律。验证规律：举例说明与计算基础算式验证根据8×50=400，应用规律可得：16×50=800（因数8×2，积400×2）；32×50=1600（因数8×4，积400×4）；8×25=200（因数50÷2，积400÷2）。多维度算式验证以26×48=1248为例：26×24=624（因数48÷2，积1248÷2）；26×12=312（因数48÷4，积1248÷4）。再如17×12=204，则17×24=408（因数12×2，积204×2）；17×36=612（因数12×3，积204×3）。反向验证与0除外说明以20×4=80为基础：10×4=40（因数20÷2，积80÷2）；5×4=20（因数20÷4，积80÷4）。强调规律中“0除外”：若因数除以0无意义，故需排除0的情况。探索规律二：因数除以几的情况03例题分析：80×4=320的变化

因数变化观察第一组算式：80×4=320，40×4=160，20×4=80。第一个因数80依次除以2变为40、20，第二个因数4不变。

积的变化规律与80×4=320相比，40×4的第一个因数除以2，积320也除以2得160；20×4的第一个因数除以4，积320也除以4得80。

规律总结两数相乘，一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。如本例题中，因数4不变，另一个因数除以2（或4），积也相应除以2（或4）。对比观察：因数缩小与积的变化

基础算式组呈现80×4=320；40×4=160；20×4=80。观察发现：第一个因数依次缩小2倍，第二个因数4不变，积也相应缩小2倍。

变化规律分析以80×4=320为基准，40×4中因数80÷2=40，积320÷2=160；20×4中因数40÷2=20，积160÷2=80。规律：一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积就除以几。

反向验证示例80×3=240；20×3=60；8×3=24。因数80→20（÷4），积240→60（÷4）；20→8（÷2.5），积60→24（÷2.5），验证规律成立。

注意事项强调缩小倍数时，除数不能为0。例如“因数除以0”无意义，需明确“0除外”条件，确保规律的严谨性。规律总结：一个因数不变，另一个因数除以几（0除外）

核心规律表述两数相乘，一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以相同的数。

算式对比验证以80×4=320为基础：40×4=160（因数80÷2，积320÷2）；20×4=80（因数40÷2，积160÷2）；5×4=20（因数20÷4，积80÷4）。

关键条件强调除法中除数不能为0，因0做除数无意义，故规律需注明"0除外"。

记忆口诀辅助一个因数没变化，另一个数除以几（0除外）；积随除数同变化，除以相同数字牢记它。验证规律：反向举例与验算反向举例验证规律根据规律“一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几”，以8×50=400为例，反向举例：8×25=200（50÷2，积400÷2），8×10=80（50÷5，积400÷5），验证规律成立。笔算验算规律应用计算26×24，已知26×48=1248，根据规律“一个因数不变，另一个因数除以2，积也除以2”，得出26×24=624，通过笔算26×24=624，结果一致，验证规律正确。跨组算式交叉验证第一组算式6×200=1200，第二组算式20×4=80，交叉验证：6×20=120（200÷10，1200÷10），10×4=40（20÷2，80÷2），不同情境下规律均适用。积的变化规律综合总结04合并规律：乘除变化的统一表述

规律合并的核心思想将因数乘几和除以几（0除外）的两种变化情况，归纳为同一规律，体现乘法运算中因数与积的关联性。

统一规律的完整表述两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）相同的数。

关键词解析“不变”“乘几”“除以几（0除外）”“相同的数”是规律的核心要素，需准确理解和记忆。

规律记忆口诀一个因数没变化，积就跟着另一跑；乘、除要一致，计算快捷少烦恼。记忆口诀：规律的简单记法因数不变，积随另跑一个因数没变化，积就跟着另一跑；另因乘除几（0除外），积也同样乘或除。乘除一致，计算快捷乘、除要一致，计算快捷少烦恼；举例验证规律牢，8×3=24，8×6=48（×2则×2）。0要除外，牢记心间除数为0无意义，规律应用要注意；因数除以几（0除外），积才随之除以几。易错点提醒：0除外的重要性为何要强调“0除外”在除法中，0不能作除数。当研究“一个因数除以几，积也除以几”的规律时，若除以0，算式无意义，因此必须明确“0除外”。反例验证：除以0不成立假设算式6×20=120，若说“一个因数6不变，另一个因数20除以0，积120也除以0”，由于20÷0和120÷0均无意义，所以规律不成立。正确表述完整规律完整规律为：两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。牢记“0除外”，避免规律应用错误。巩固练习：基础应用05填空题：根据规律直接写得数

基础型题目：单因素变化根据8×50=400，直接写出得数：16×50=800（因数8×2，积400×2）；32×50=1600（因数8×4，积400×4）；8×25=200（因数50÷2，积400÷2）。

进阶型题目：双因素变化根据12×3=36，直接写出得数：120×30=3600（因数12×10，因数3×10，积36×100）；24×15=360（因数12×2，因数3×5，积36×10）；6×6=36（因数12÷2，因数3×2，积不变）。

验证型题目：规律反向应用根据26×48=1248，填空：26×24=624（因数48÷2，积1248÷2）；13×48=624（因数26÷2，积1248÷2）；26×12=312（因数48÷4，积1248÷4）。判断题：辨析规律的应用

因数变化与积的关系判断两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘5，积应该乘4。（×）解析：根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘5，积应乘5。

因数缩小对积的影响判断两数相乘，一个因数除以10，另一个因数不变，积也除以10。（√）解析：符合“一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几”的规律。

双因数变化的积不变判断一个因数乘7，另一个因数除以7，它们的积不变。（√）解析：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数（0除外），积不变。

单一因数扩大的积变化判断一个因数扩大4倍，积也一定扩大4倍。（×）解析：需强调“另一个因数不变”的前提，若另一个因数变化，则积的变化不确定。计算题：利用规律简化计算

基础规律应用根据8×50=400，直接写出结果：16×50=800（因数8×2，积400×2）；32×50=1600（因数8×4，积400×4）；8×25=200（因数50÷2，积400÷2）。

算式接龙练习26×48=1248，则26×24=624（48÷2，积1248÷2）；26×12=312（24÷2，积624÷2）；17×12=204，则17×24=408（12×2，积204×2）；17×36=612（24×1.5，积408×1.5）。

因数双向变化△×○=600，若△÷10，○不变，则积=600÷10=60；若△不变，○÷10，则积=600÷10=60；若△×10，○÷10，则积=600×10÷10=600（积不变）。

实际问题应用长方形果园面积400平方米，宽8米，长=400÷8=50米；宽增加到24米（×3），面积=400×3=1200平方米（长不变，宽×3，积×3）。提升练习：实际问题解决06长方形面积的变化问题

01典型例题解析已知长方形绿地宽8米，面积400平方米，宽增加到24米，长不变。宽扩大倍数为24÷8=3，面积变为400×3=1200平方米。

02解题关键步骤1.确定不变量：长方形的长；2.计算变化量：宽的扩大倍数；3.应用规律：面积随宽的扩大而扩大相同倍数。

03变式练习一个长方形果园面积200平方米，长不变，宽从5米增加到20米，扩大后的面积是多少？（答案：800平方米）

04规律应用总结长方形面积=长×宽，当长不变时，宽乘（或除以）几，面积也相应乘（或除以）几，体现积的变化规律在几何中的应用。购物情境中的规律应用

单价不变，数量变化求总价每包大米6元，买2包需6×2=12元；买20包（数量×10）需6×20=120元（总价×10）；买200包（数量×100）需6×200=1200元（总价×100）。

总价不变，单价调整算数量用400元买笔记本，单价8元可买50本；单价降至4元（÷2），可买100本（数量×2）；单价升至20元（×2.5），可买20本（数量÷2.5）。

促销活动中的规律运用某零食单价15元，买3送1（实际付3份钱得4份）。买4份时，原总价60元，现付45元（总价×3/4），相当于单价降至11.25元（单价×3/4）。拓展题：两个因数都变化的情况

规律一：两因数同时扩大倍数一个因数乘A，另一个因数乘B，积就乘(A×B)。例：2×3=6，(2×2)×(3×3)=6×6=36，积乘(2×3)=6。

规律二：两因数同时缩小倍数一个因数除以A，另一个因数除以B（A、B≠0），积就除以(A×B)。例：24×15=360，(24÷4)×(15÷3)=6×5=30，积除以(4×3)=12。

规律三：两因数扩大