全等三角形几何问题典型题集

全等三角形几何问题典型题集引言全等三角形是平面几何的核心工具，是证明线段相等、角相等及几何位置关系的关键载体，贯穿初中几何学习与中考命题。本文梳理全等三角形的典型问题类型，结合判定定理与解题技巧，通过实例解析深化对全等三角形的理解，提升几何推理能力。一、全等三角形判定定理回顾全等三角形需满足“对应边、对应角完全相等”，但直接验证所有边、角不具操作性，因此需借助判定定理简化证明：1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。2.SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（“边边角”不成立，需严格区分“夹角”）。3.ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。4.AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。5.HL（斜边、直角边）：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。二、典型题型与实例解析（一）基础型：利用全等证明线段/角相等例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，求证：∠B=∠C。思路分析：要证∠B=∠C，可通过证明△ABE≌△ACD，利用全等三角形对应角相等。证明：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AE=AD（已知），∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。例题2：如图，BD、CE是△ABC的高，BD=CE，求证：AB=AC。思路分析：BD、CE为高，故△ABD和△ACE均为直角三角形，可通过AAS证明全等。证明：∵BD、CE是高，∴∠ADB=∠AEC=90°。在△ABD和△ACE中，∠A=∠A（公共角），∠ADB=∠AEC（均为直角），BD=CE（已知），∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AB=AC（全等三角形对应边相等）。（二）进阶型：利用全等证明线段和差关系例题3：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD=2CE。思路分析：需构造全等三角形，将BD与CE的倍数关系转化为线段相等。延长BA、CE交于F，证明△BEF≌△BEC（ASA）得EF=CE，再证明△ABD≌△ACF（ASA）得BD=CF，从而BD=2CE。证明：延长BA、CE交于点F。∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°。∵BD平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE。在△BEF和△BEC中，∠FBE=∠CBE（角平分线定义），BE=BE（公共边），∠BEF=∠BEC（均为直角），∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=CE，即CF=2CE。又∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°。∵∠ADB=∠CDE（对顶角相等），∴∠ABD=∠ACF。在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF（已证），AB=AC（已知），∠BAD=∠CAF=90°（已知），∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF。∵CF=2CE，∴BD=2CE。（三）综合型：全等与动点、折叠问题结合例题4：如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D从B出发以每秒1个单位的速度向C运动，点E从C出发以每秒2个单位的速度向B运动，当t为何值时，△ABD≌△ACE？思路分析：由AB=AC得∠B=∠C（等边对等角）。要使△ABD≌△ACE，需结合全等判定定理分析：若用SAS，需AB=AC（已知），∠B=∠C（已知），BD=CE（夹∠B、∠C的边）。但BD=t，CE=2t，故t=2t⇒t=0（舍去）。重新观察：当D、E运动至D与E重合时，△ABD与△ACE重合，此时BD=BE，CE=CD（因D、E在BC上相向运动）。解答：设运动时间为t秒，则BD=t，CE=2t，BE=12−2t，CD=12−t。当D、E重合时，BD=BE且CE=CD（即t=12−2t，2t=12−t），解得t=4。此时BD=4，CE=8（矛盾？不，实际当t=4时，D运动至BC上的(4,0)，E运动至(12−8,0)=(4,0)，即D、E重合，△ABD与△ACE重合，故全等。（四）几何综合：全等与角平分线、中垂线结合例题5：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF，求证：AD垂直平分EF。思路分析：先证△AED≌△AFD（AAS）得AE=AF，DE=DF，再证AD是EF的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）。证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠AED=∠AFD=90°。在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD（均为直角），∠EAD=∠FAD（角平分线定义），AD=AD（公共边），∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，DE=DF。∴点A、D都在EF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），∴AD垂直平分EF（两点确定一条直线）。三、解题思路与技巧总结1.找全等条件的策略：优先观察公共边、公共角、对顶角（天然相等条件）。利用角平分线、中垂线、平行线的性质（如角平分线到角两边距离相等）推导相等的边/角。动点问题中，用代数表达式（路程=速度×时间）表示线段长度，结合全等条件列方程。2.辅助线的常见做法：证明线段和差时，常用截长补短法（如例题3中延长CE构造CF=2CE）。涉及角平分线时，可作垂线（如例题5中DE、DF）或翻折三角形构造全等。等腰三角形中，常作底边的高（三线合一）辅助证明。3.易错点提醒：混淆“SSA”与“SAS”：“边边角”（非夹角）不能判定全等，需严格确认角是两边的夹角。动点问题中忽略运动范围（如例题4中E的运动时间上限为6秒），导致方程解不符合实际。四、拓展与提升全等三角形的学习需结合轴对称、旋转、平移（全等变换）深化理解：旋转类问题：将三角形绕某点旋转后，对应边、角仍相等，可通过旋转构造全等（如“半角模型”）。综合题中，全等常与相似三角形、圆的性