《时间序列分析》课件 第3章 平稳 ARMA模型

时间序列分析张成思2

第三章平稳ARMA模型3.1移动平均过程3.2自回归移动平均过程3.3部分自相关函数、样本自相关函数与样本部分自相关函数3.4ARMA模型的建立与估计

3.1移动平均过程3.1.1MA(1)模型3.1.1.1MA(1)模型的基本定义与性质移动平均过程(MAproces)有时候也被称为滑动平均过程,是指将时间序列过程yt写成一系列不相关的随机变量的线性组合,为避免混淆,本书使用移动平均过程的名称。MA过程最简单的形式是一阶移动平均过程MA(1),模型形式为

3利用滞后算子来定义MA(1)过程,则式MA过程对应的序列表现是怎样的呢图3-1模拟生成的MA(1)序列两侧取期望,就可以获得MA(1)过程的均值3.1.1.2MA(1)过程的方差与自协方差3.1.1.3MA(1)过程的自相关函数MA(1)过程的自相关函数图32MA(1)过程的理论自相关函数图3.1.1.4MA(1)过程的可逆性过滞后算子的一个有用性质,就是如果|α|<1无穷阶AR过程,或写成AR(∞)3.1.2MA(2)模型3.1.2.1MA(2)模型的基本定义二阶移动平均过程,简记为MA(2)利用滞后算子,可以将式重写图3-3MA(2)过程模拟生成的序列:yt=εt+0.5εt-1+0.3εt-23.1.2.2MA(2)过程的均值、自协方差与自相关函数MA(2)过程的均值表达式图3-4MA(2)过程的理论自相关函数图3.1.3MA(q)模型MA(1)模型和MA(2)模型的更一般化的拓展形式,其基本定义j>0,那么自协方差是综合起来,MA(q)过程的自协方差公式可以写成3.2自回归移动平均过程3.2.1ARMA(p,q)过程的基本定义一般的ARMA(p,q)利用滞后算子将式写成以下形式: 3.2.2ARMA(p,q)过程的平稳性与可逆性ARMA过程,其平稳性要求是ARMA(p,q)过程的可逆条件是方程3.2.3ARMA(p,q)过程的均值、方差与自协方差ARMA基本公式两侧取期望可以得到ARMA过程的均值表达式常数项c表示成均值μ和自回归系数的函数,然后代入ARMA模型两侧都乘以(yt-j-μ),并取期望3.2.4ARMA(p,q)过程的自相关函数最后一行各项都变为0推导结果图3-5ARMA(1,1)的理论自相关函数图3.2.5AR模型与MA模型的互相转化从ARMA模型开始考察两侧都乘以θ(L)-1利用滞后算子的特性更为直观的形式3.3

部分自相关函数样本自相关函数

与样本部分自相关函数3.3.1部分自相关函数AR(1)过程中,yt通过yt-1与yt-2相关,尽管yt-2并没有直接出现在AR(1)模型中,yt与yt-2的相关程度由ρ2=ρ21给出,即图3-6AR(1)模型的理论部分自相关函数给定时间序列变量yt,假设其均值为μ,第k期的部分自相关函数定义为下面等式中的系数φk两侧同乘以(yt-j-μ)并且取期望,可以获得矩阵知识,就可以得到图3-7AR模型与MA模型的部分自相关函数比较演示3.3.2样本自相关函数T表示给定序列yt的样本大小,那么样本均值等统计量可以通过以下公式获得从而,可以求出样本自相关函数3.3.3样本部分自相关函数样本数据和样本自相关函数的公式循环计算以获得样本部分自相关函数在其他各滞后期的值图3-8上海证券综合指数:1992年1月—2024年4月3.3.4应用演示图3-9上海综合指数的样本自相关函数、样本部分自相关函数以及Q统计量3-10上海证券综合指数收益率及其样本自相关函数、样本部分自相关函数以及Q统计量3-10上海证券综合指数收益率及其样本自相关函数、样本部分自相关函数以及Q统计量3.4ARMA模型的建立与估计3.4.1ARMA模型的滞后期设立使用ARMA模型分析实际问题,首先需要处理的问题就是模型中的滞后期数。如何设立一个“最优”的滞后期数,从而使得模型能够较好地拟合现实数据的特征呢?对这个问题的回答,可以归结到著名的Box-Jenkins模型选择原则,基本思想是在确立滞后期时,应该兼顾模型的简约度和拟合程度。一个最大的滞后期数,如pm,然后估计A