数字信号处理（MATLAB版）课件 第2章 离散信号系统的分析

数字信号处理CONTENTS第2章离散时间系统的时域分析01离散时间系统02线性离散卷积03差分方程2.1离散时间系统2.1.1线性系统2.1.2时不变性2.1.3线性时不变系统2.1.4因果稳定系统2.1.5线性时不变系统2.1.1

线性系统系统是一个由若干互相有关联的单元组成，并且有某种功能来用以完成、达到特定目的的一个整体。系统中各子系统的输入、输出信号均表现为脉冲序列或数码形式的离散信号（数字信号），该系统为离散系统。离散时间系统的数学模型是差分方程式，也可以用系统函数、方框图、信号流图来表示，在离散时间系统中，基本运算单元是移位（延迟）、乘系数和相加。2.1.1

线性系统在离散系统中，若满足叠加性和比例性（或齐次性）特点的为线性系统，否则为非线性系统。若对两个激励：式中a、b为任意常数，该式具有满足叠加性和齐次性的特点。线性系统具有“零输入产生零输出”的特性，也可以由此判断是否为线性系统。2.1.1

线性系统2.1.2

时不变性系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统LTI”，描述该离散系统的输入、输出特性使用常系数线性差分方程。若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则该系统为时不变系统。时不变系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，对应输出响应信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。由于在离散系统中时间的变化主要靠移位来实现，故一般也称为移不变系统（LSI）。可表示为：2.1.2

时不变性2.1.3

线性时不变性在离散系统中，既满足叠加原理又具有时不变特性，即同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统，简称为：LSI（LinearShiftInvariant）系统，它可以用单位脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为：任一输入序列的响应：设系统对单位采样序列δ(n)的响应时h(n)2.1.5线性时不变系统的分析方法系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。因此，分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型，然后再进一步求得系统数学模型的解。在建立系统模型方面，系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入、输出描述法（外部法）；另一类称为状态变量描述法（内部法）。时域法是直接分析时间变量的函数，研究系统的时域特性。变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域的某个变量函数。（1）离散卷积。（2）Z变换。（3）傅里叶变换。2.2线性离散卷积2.2.1线性离散卷积的定义2.2.2线性离散卷积的运算规律与性质2.2.3离散序列卷积的图解法2.2.4离散序列卷积的解析法2.2.5使用conv()函数计算序列卷积2.2.1

线性离散卷积的定义对线性时不变系统的任何有意义的输入，都可以用卷积的方式来求其输出。该离散卷积也称为“线性离散卷积”或“直接离散卷积”。卷积结果的长度（即输出的元素个数）为：length(y)=length(x)+length(h)-12.2.2

线性离散卷积的运算规律与性质交换律结合律分配律：筛选特性：与δ(n-k)卷积的移位性离散卷积不存在微分、积分性质2.2.2

线性离散卷积的运算规律与性质结合律：级联（串联）系统的变换，在输出结果上与级联次序无关。其意义是，可以互换级联（串联）系统的顺序。分配律：并联系统的变换，等于各子系统变换之和。或并联系统可以等效为一个系统，系统的输出不变。2.2.3

离散序列卷积的图解法：序列反褶移位相乘取和2.2.3

离散序列卷积的图解法：序列反褶移位相乘取和依此类推，求出其他子项：y(n)=[0.511.522.52.521.510.5]2.2.3

离散序列卷积的图解法：序列反褶移位相乘取和其长度为length(y)=length(x)+length(h)-1=10，其卷积结果序列图形如图2-2-7。2.2.4

离散序列卷积的解析法由x(n)、h(n)、

可得：卷积结果图形与图2-2-7相同。2.2.5

使用conv()函数计算序列卷积式中，x、h分别为待卷积的两序列的向量表示，y是卷积的结果。如果N=length(x)、M=length(h)，则输出序列y的长度length(y)=N+M-1。例如：>>x=[11111];h=[0.50.50.50.50.50.5];>>y=conv(x,h)>>m=length(y)-1;n=0:m;>>stem(n,y);axis([-5,15,0,3]);给出的卷积结果图形与图2-2-7相同，结果存放在数组y中。>>y=0.50001.00001.50002.00002.50002.50002.00001.50001.00000.5000注意：conv()函数默认只能计算从n=0开始的右边序列卷积。2.3差分方程2.3.1差分方程的建立2.3.2差分方程的经典解法2.3.3差分方程的迭代解法及MATLAB实现2.3.4离散系统的冲激响应和阶跃响应及MATLAB实现2.3.1差分方程的建立1差分方程的时域模型2差分方程的获得3差分方程的特点4常系数差分方程的求解方法2差分方程的获得1由实际问题直接得到差分方程2由微分方程导出差分方程3由系统框图写差分方程如图2-3-2所示是一个简单的离散系统。可写为图2-3-2一个简单的离散系统3差分方程的特点（1）系统当前的输出（即在k时刻的输出），不仅与激励有关，而且与系统过去的输出、、…有关，即系统具有记忆功能。（2）差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低序号差数为阶数。（3）微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。（4）差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有一一对应关系。4常系数线性差分方程的求解方法（1）时域经典法。与求解微分方程的步骤相同，先求齐次解和特解，然后代入边界条件求待定系数。（2）递推法，或称迭代法。给定输入序列和初始条件，…，，就可以由上述各式计算n≥0时的输出。该方法简单，但只能给出数值解，不能给出闭式解（即解析式）。（3）卷积法。利用离散卷积求系统的零状态响应。（4）Z变换法。2.3.2差分方程的经典解法离散系统差分方程的经典解法与求解连续系统微分方程的步骤类似，先求齐次解和特解，然后代入边界条件求待定系数。离散系统响应的分解方式与连续系统相同：齐次解代表零输入响应（Zero-input）、自由响应（Natural）或暂态响应（Transient）；特解代表零状态响应（Zero-state）、受迫响应（强迫响应forced）或稳态响应（Steady-state）。1求齐次解2特解3离散系统差分方程的全解3离散系统差分方程的全解3离散系统差分方程的全解2.3.3差分方程的迭代解法及MATLAB实现1差分方程的迭代解法2filter()函数解差分方程1差分方程的迭代解法2

filter()函数解差分方程图2-3-4系统的单位脉冲响应2.3.4离散系统的冲激响应和阶跃响应及MATLAB实现1离散时间系统单位脉冲响应的定义2impz()函数求系统单位冲激响应3LSI系统的阶跃响应与stepz()函数1离散时间系统单位脉冲响应的定义LSI系统单位冲激响应可表示为如下的卷积计算式即为系统的单位冲激响应，是激励信号

与单位冲激序列的卷积和。2impz()函数求系统单位冲激响应在MATLAB中可以使用函数impz()求离散系统冲激响应并绘制其时域波形。（1）[h,t]=impz(b,a)：根据系统函数的分母系数a和分子系数b，自动以t=[0:n-1]‘、n=length(t)计算滤波器的脉冲响应，并返回脉冲响应的列向量h和采样时间列向量t。（2）[h,t]=impz(b,a,n)：指定采样个数n，计算滤波器的n点脉冲响应，t=[0:n-1]'。（3）[h,t]=impz(b,a,n,fs)：求数值解。计算滤波器的采样时间为1/fs的n点脉冲响应。（4）impz(b,a)：绘制其时域波形。根据分母系数a和分子系数b，自动以t=[0:n-1]'、n=length(t)计算滤波器的脉冲响应，在当前窗口绘制脉冲响应曲线图形。（5）impz(Hd)：绘制其时域波形。在fvtool窗口绘制脉冲响应曲线图形。输入参数Hd是一个dfilt滤波器对象或dfilt滤波器对象的数组。2impz()函数求系统单位冲激响应注：需要注意impz()函数自动选择采样长度的方法。3

LSI系统的阶跃响应与stepz()函数

如果输入信号为单位阶跃函数，则引起的零状态响应称为单位阶跃响应。stepz()函数用于离散系统或数字滤波器的阶跃响应：（1）[h,t]

=

stepz(b,a)：以分子多项式系数b和分母多项式系数a计算数字滤波器的阶跃响应。stepz自动选择采样时间并以列向量返回响应h和采样时间t